============== Page 1/1 ============== Grundlagen der Schaltungstechnik Eine Reihe, herausgegeben von Prof. n g . Wolfgang Hilberg Die Buchreihe umfaßt Themen aus dem Gebiet des Entwurfs, der technologischen Realisierung und der Anwendung von Schaltungen. Vorzugsweise sind dies inte• grierte Halbleiterschaltungen, die heute die gemeinsame „hardware"-Basis rür viele Anwendungen, z. B. in der Nachrichtentechnik, Meßtechnik, Digitaltechnik, Ratentechnik bzw. der Elektronik bilden. Die Darstellungen sollen dem heutigen Stand der Technik entsprechend die grundlegenden Kenntnisse vermitteln. Bisher erschienen: Großintegration herausgegeben von Bernd Höffinger Samuel D. Stearns Digitale Verarbeitung analoger Signale, 5. Auflage Wolfgang Hilberg Impulse auf Leitungen Klaus Schumacher Integrationsgerechter Entwurf analoger MOS-Schaltungen Frank-Thomas Meliert Rechnergestützter Entwurf elektrischer Schaltungen Wolfgang Hilberg/Robert Piloty Grundlagen elektronischer Digitalschaltungen Adolf Finger Digitale Signalstrukturen in der Informationstechnik Wolfgang Hilbcrg Grundprobleme der Mikroelektronik Günter Zimmer CMOS-Technologie Manfred Lobjinski Meßtechnik mit Mikrocomputern 2. Auflage Wolfgang Hilberg Assoziative Gedächtnisstrukturen. Funktionale Komplexität Hans Spiro Simulation integrierter Schaltungen 2. Auflage Steffen Graf/Michael Gössel Fehle rerke nnungsschal t ungen Digitale Verarbeitung analoger Signale Digital Signal Analysis von Samuel D. Steams 5., verbesserte Auflage Mit 251 Bildern und 20 Tabellen Wolfgang Hilberg Digitale Speicher I Hochintegrierte analoge Schaltungen herausgegeben von Bernd I lölllinger und Günter Zimmer Friedberth Riedel MOS-Analogtechnik Wolfgang Hilberg Grundlagen elektronischer Schaltungen Robert Schwarz Analyse nichtlinearer Netzwerke Albrecht Rothennel Digitale BiCMOS-Schaltungen Manfred Gemer/ Bruno Müller/ Gerd Sandweg Selbsttest digitaler Schaltungen R.Oldenbourg Verlag München Wien 1991 Die Originalausgabe "Digital Signal Analysis" ist erschienen im Verlag Ilayden Book Company, Inc. Rochelle Park, New Jersey, USA Copyright 0 1975 by Hayden Book Company, Inc. Deutsche Obersetzung: Wolfgang Hilberg Inhalt Vorwort von Hamming 9 Vorwort des Autors 1 1 Vorwort des Herausgebers 1 3 Vorwort zur zweiten (deutschen) Auflage KAPITEL 1 Einführung 1 4 1 5 1. Moderne Signalanalysis 2. Einige nützliche Formeln 3. Die folgenden Kapitel 1 2 2 5 0 3 KAPITEL 2 Überblick über das Prinzip der kleinsten Quadrate, Orthogonalität 2 5 und Fourier-Reihe CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek Stearns, Samuel D.: Digitale Verarbeitung analoger Signale = Digital signal analysis / von Samuel 0 . Stearns. !Dt. Obers.: Wolfgang H i t b e r n — 5., verh. Aufl. — München ; Wien : Oldenbourg, 1991 (Grundlagen der Schaltungstechnik) Einheitssacht.: Digital signal analysis (dt.) ISBN 3-486-21986-3 I. Einleitung 2 2. Das Prinzip der kleinsten Quadrate 3. Orthogonale Funktionen 4. Die Fourier-Reihe 5. Übungen 1 5 2 5 3 0 3 2 7 KAPITEL 3 Überblick über kontinuierliche Transformationen, Übertragungsfunktionen und die Faltung 4 1. Fourier- und Laplace•Transformationen 2. Übertragungsfunktionen 3. Faltung 5 4. Pol-Nullstellen-Verteilungen 5. Übungen 5 2 4 2 4 8 2 5 4 7 KAPITEL 4 © 1991 R . Oldenbourg Verlag GmbH, München Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb d e r Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere f ü r Vervielfältigungen, Obersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Gesamtherstellung: Grafik + Druck, München ISBN 3-486.21986.3 Das Abtasten und Messen von Signalen I. Einleitung 2. Das Abtasttheorem 3. Reine Abtastsysteme 4. Analog-Digital-Wandlung 5. Digital-Analog-Wandlung 6. Übungen 6 60 0 61 65 69 72 7 4 Inhalt 6 I n h a l t KAPITEL 5 Die diskrete Fourier-Transformation 1. Einleitung 2. Definition des DFT-Paares 3. Beziehung zur Fourier-Transformation; spektrale Überschneidungen 4. Rekonstruktion durch Fourier-Reihen 5. Whittakersche Rekonstruktion 6. Änderung der Zahl der Abtastungen 7. Verkürzung 8. Endliche Dauer der Abiastung 9. Übungen 76 76 76 85 90 93 94 96 101 KAPITEL 6 Die schnelle Fourier-Transformation 105 I. Einleitung 2. Die Redundanz in der DFT 3. Zerlegungen des Abtastwertesatzes 4. Signal flußdiagramme 5. Die FFT mit Zeitzerlegung 6. Die FFT mit Frequenzzerlegung 7. Matrix-Faktorisierung 8. Die FFT in der Praxis 9. Übungen 105 105 108 1I 0 I II 113 117 119 120 KAPITEL 7 Spektrale Berechnungen bei abgetasteten Signalen 123 I. Einleitung 2. Die berechnete DFT einer sinusfönnigen Funktion 3. Einschränkung der Spektralverbreitcrung 4. Theoreme über die diskrete Faltung 5. Beispiele diskreter Spektren 6. Übungen 123 123 127 128 132 136 KAPITEL 8 Nichtrekursive digitale Systeme 138 1. Digitale Filterung 2. Der nichtrekursive Algorithmus 3. Übertragungsfunktion 4. Tiefpaßfilter mit Phasenverschiebung Null 5. Impulsantwort 138 139 140 144 147 6. Die z-Tranforrnation 7. Blockschaltbilder 8. Synthese nichtrekursiver Filter 9. Übungen 1 1 5 1 7 0 3 5 1 5 5 1 6 4 7 KAPITEL 9 Rekursive digitale Systeme 1. Einleitung 2. Der rekursive Algorithmus 1 6 3. Übertragungsfunktion 1 6 4. Lösung von Differenzengleichungen: Nadelimpuls- und Schittfunktionsantwort 1 6 5. Blockschaltbilder 1 7 6. Pol-Nullstellendiagramme 1 7 7. Tabelle der z-Transformationen 1 7 8. Lineare Phasenverschiebung und Phasenverschiebung Null 9. Übungen 1 8 2 162 2 4 7 0 4 9 1 8 2 6 KAPITEL 10 Digitale und kontinuierliche Systeme 1 8 9 1. Einleitung 1 8 9 2. Näherung nullter Ordnung oder impulsinvariante Näherung 1 3. Faltung 1 9 3 4. Endwerttheoreme 1 9 5 5. Pol-Nullstellenvergleiche 6. Abschließende Bemerkungen 7. Übungen 9 197 200 201 KAPITEL 11 Simulation kontinuierlicher Systeme 2 0 1. Einleitung 2 0 3 2. Klassifizierung der Simulationsmethoden 2 0 3. Anregungsinvariante Simulationen 2 0 4. Andere Simulationen 2 1 5. Vergleich der linearen Simulationen 2 1 6. Mehrfache und nichtlineare Systeme 2 2 7. Abschließende Bemerkungen 2 3 8. Übungen 2 3 2 0 3 3 6 2 6 1 1 8 I n h a l t KAPITEL 12 Entwurf analoger und digitaler Filter 236 1. Einleitung 2. Butterworth-Filter 3. Tschebyscheff-Filter 4. Digitale,Filter über die bilineare Transformation 5. Frequenztransformationen 6. Digitale Filter mit Frequenzabtastung 7. Fehler, die durch Worte endlicher Länge bedingt sind 8. Übungen 236 237 242 250 259 265 276 281 KAPITEL 13 Überblick über Zufallsfunktionen, Korrelation und Leistungsspektren 285 I. Zufallsfunktionen 2. Gleichmäßige und normale Dichtefunktionen 3. Multivariate Dichtefunktionen 4. Stationäre und ergodische Eigenschaften 5. Korrelationsfunktionen 6. Leistungs- und Energiespektren 7. Übungen 285 289 292 295 297 301 305 KAPITEL 14 Zufallsfolgen und spektrale Schätzungen 309 I. Einleitung 2. Weißes Rauschen 3. Farbige Zufallsfolgen aus gefiltertem weißem Rauschen 4. Schätzungen des-Leistungsspektrums 5. Übungen 309 310 313 316 325 Anhang A: Laplace- und z-Transformationen 328 Anhang B: Routine für die schnelle Fourier-Transformation 335 Anhang C: Programme für den Entwurf digitaler Filter 339 Anhang D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben 347 Deutschsprachige Literatur zum Thema des Buches Index 432 433 Vorwort von Hamming Das Informationszeitalter, in dem wir leben, hat die Bedeutung einer Verarbeitung von Signalen hervorgehoben, während die Entwicklung der integrierten Festkörperschaltkreise und besonders der Altzweck-Minirechner die vielen theoretischen Vorteile einer digitalen Signalverarbeitung auch realisierbar gemacht hat. Aus diesen Gründen wird ein gutes Buch über die digitale Signalverarbeitung von Menschen in einem weiten Bereich willkommen geheißen, seien es Ingenieure, Wissenschaftler, Computer-Experten, oder angewandte Mathematiker. Obwohl der Großteil der Signalverarbeitung heute digital durchgeführt wird, entstehen viele Daten ursprünglich als kontinuierliche, analoge Signale, und oft wird das Ergebnis der digitalen Signalverarbeitung, ehe es schließlich gebraucht wird, wieder in die analoge Form zurückübetsetzt. Somit müssen die komplexen und oft schwer zu verstehenden Beziehungen zwischen den digitalen und analogen Signalformen sorgfältig untersucht werden. Diese Beziehungen bilden ein immer wiederkehrendes Thema durch das ganze Buch hindurch. Die Theorie der digitalen Signalverarbeitung enthält einen beträchtlichen Anteil an Mathematik. Der an der Mathematik nicht sehr interessierte Leser sollte sich aber nicht durch die Menge der Formeln und Gleichungen in diesem Buch abschrecken lassen, da der Autor sich viel Mühe gemacht hat, die physikalische Basis dessen, um was es geht, zu begründen und zu erklären, und da er gleichzeitig unnötig verspielte Mathematik und künstliche Abstraktionen vermieden hat. Es ist deshalb ein Vergnügen, dieses Buch dem ernsthaft interessierten Studenten der digitalen Signalverarbeitung zu empfehlen. Es ist sorgfältig geschrieben und mit vielen nützlichen Beispielen und Übungen versehen, und die Stoffauswahl ist so getroffen, daß die relevanten Schwerpunkte in diesem sich rasch entwickelnden Wissensbereich erfaßt werden. R. W. Hamming Bell Laboratorien Murray Hill, N. J. Vorwort des Autors Dieses Buch enthält die Grundlagen der Signalanalysis (signal analysis) bzw. der Signalverarbeitung (signal processing) für den Ingenieur, den Mathematiker und den rechnenden Wissenschaftler. Das Schwergewicht liegt dabei auf der digitalen Signalanalysis, wobei die analoge oder kontinuierliche Signalanalysis eine unterstützende Rolle einnimmt. Die Ähnlichkeiten zwischen digitalen und kontinuierlichen Signalen oder signalverarbeitenden Systemen werden in den meisten Kapiteln deutlich sichtbar gemacht. Man kann wohl von der Voraussetzung ausgehen, daß, wenn ein Student. die Theorie von digitalen und kontinuierlichen linearen Systemen in einem einzigen Kurs studiert, uizwangsläufig die grundsätzlichen Ähnlichkeiten zwischen den zwei Systemen entdecken und zu der Erkenntnis kommen wird, daß dieselben mathematischen Disziplinen auf beide anwendbar sind. Der Text ist ganz grob in vier Stoffgebiete eingeteilt, die aber nicht gleich lang sind. ‚Die Kapitel 1, 2 und 3 sind hauptsächlich einem Überblick über die klassischen Gebiete der linearen Signalanalysis gewidmet und Enthalten die grundlegenden Formeln und Operationen, das Prinzip der kleinsten Quadrate, die FourierReihen, die kontinuierlichen Transformationen, die Übertragungsfunktionen usw. Die klassischen Konzepte werden mit besonderer Betonung derjenigen Aspekte dargestellt, die besonders auch auf die digitale Signalanalysis anwendbar sind. Die Kapitel 4 bis 7 haben es in erster Linie mit dem Abtasten, der Analog-DigitalWandlung und der digitalen Spektralanalyse zu tun, wobei das Kapitel 6 besonders der schnellen Fourier-Transformation gewidmet ist. In diesen Kapiteln werden die Beziehungen zwischen den kontinuierlichen und den abgetasteten Funktionsverläufen und Spektren besonders herausgearbeitet. Die Kapitel 8 bis 12 sind Schwerpunkten der Synthese und Analyse von digitalen signalverarbeitenden Systemen gewidmet. Die z-Transformation wird eingeführt und dazu benutzt, nichtrekursive und rekursive Systeme, digitale Übertragungsfunktionen und ihre Beziehungen zu kontinuierlichen Übertragungsfunktionen sowie deren Simulation und auch den Entwurf digitaler Filter zu diskutieren. Schließlich beschäftigen sich die Kapitel 13 und 14 mit abgetasteten Zufallszeitfunktionen und der Berechnung von Leistungsspektren. Der Text hat sich aus einer einjährigen Vorlesung über digitale Signalanalysis entwickelt, die vom Jahre 1969 an in der Universität von New Mexico gehalten wurde und vom Jahre 1970 an in den Sandia Laboratorien in Albuquerque, New Mexico. Die meisten Studenten in diesen Vorlesungen sind Elektrotechnik-Ingenieure mit guten Grundkenntnissen in den oben erwähnten nklassischen Gebieten" gewesen, aber einige waren auch Mathematiker oder Informatiker, die weniger vertraut mit Operationsrechnung, Spektralanalyse usw. waren. Gerade diese Studenten haben 12 V o r w o r t des Autors aber, besonders bei vorhandener Neigung zur Mathematik, diese Vorlesung mit großem Erfolg besucht. Für den Ingenieur, den Mathematiker oder den Informatiker soll diese Vorlesung im wesentlichen alles enthalten bzw. in sich abgeschlossen sein. Die traditionellen Ingenieur-Vorlesungen über Transformationstheorie oder die lineare Systemanalyse sind nützlich, jedoch keine wesentlichen Voraussetzungen. Die einzigen Voraussetzungen sind eine einigermaßen entwickelte mathematische Denkweise, wie man sie vielleicht in einer Vorlesung über höhere Mathematik erwerben kann, und ein bescheidenes Maß an Erfahrung, Probleme mit irgendeinem Computer, groß oder klein, zu lösen. Es ist die Absicht oder wenigstens die Hoffnung des Autors, daß dieses Buch als Grundlage für Vorlesungen dienen kann, die ähnlich den oben erwähnten sind, und daß die Ingenieure es in der praktischen Arbeit als ein nützliches Nachschlagewerk für Formeln und Techniken der digitalen Signalverarbeitung aufnehmen und benutzen werden. Kein signifikanter Teil der hier entwickelten Theorie stammt von dem Autor. Er hat nur versucht, die Arbeit vieler anderer in einem einzigen Buch zusammenzufassen. Wenn man ein Lehrbuch wie dieses schreibt, muß man immer wieder die vielen großen Männern bewundern, von Fourier bis Hamming, deren Ideen die modernen Theorien der linearen Analysis begründen. Der Autor steht auch in der Schuld vieler Freunde, ohne deren Hilfe und Ermutigung dieses Lehrbuch nie geschrieben worden wäre. Er ist besonders dankbar für den Rat der Professoren Lambert H. Koopmans, Donald R. Morrison und Bruce R. Peterson von der Universität von New Mexico wie auch für den von Professor Richard W. Hamming von den Bell Telephone Laboratorien. Besonderer Dank gilt auch Dr. Man B. Campbell von den Sandia Laboratorien und Tim S. McDonald von der Dikewood Corporation, Albuquerque, New Mexico, für die geduldige Durchsicht des ganzen Manuskriptes. Schließlich möchte der Autor den Sandia Laboratorien für die Benutzung ihrer Einrichtungen danken und ihren vielen Mitarbeitern, die Teile des Textes durchgesehen und kommentiert haben, namentlich Dr. Winzer E. Alexander, Dr. Ronald D. Andreas, Nolan A. Bourgeois, Robert H. Croll Jr., Rondall E. Jones, James R. Kelsey, Thomas F. Marker, Dr. Donald H. Schroeder, Dr. Michael A. Soderstrand und Dr. George P. Steck. Schließlich hat der Autor eine Dankesschuld bei Noelle, Jeni, Laune und Chip für ihre Liebe und Ermutigung, bei den verwirrend vielen geduldigen Damen, die das Manuskript getippt und immer wieder getippt haben, und bei den vielen Studenten, deren Fragen und Ideen in das Gewebe des Lehrbuches eingewoben wurden. Albuquerque, N. M. S a m u e l Vorwort des Herausgebers Nach den Vorworten von Hamming und Stearns ist es wohl nicht mehr nötig, zu dem Buch selbst noch etwas zu bemerken. Es sei hier lediglich noch ergänzt, warum es jetzt auch ins Deutsche übersetzt wurde. Der Grund liegt einfach darin, daß es ein solches Lehrbuch, das nicht zu hohe Ansprüche an die Vorbildung des Lesers stellt, bisher in Deutschland nicht gibt. Gewiß können wir hier auf einige wichtige und gute Publikationen verweisen, von den frühen systemtheoretischen Grundlagenarbeiten Küpfmüllers bis hin zu den späteren Arbeiten von Schüssler. Ackermann, Föllinger, Fettweis, Klein und anderen'), die digitale Filter, digitale Systeme oder eine finite Systemtheorie betreffen. In der Breite und Intensität aber, in der sich das Gebiet des „digital signal processing" in den letzten Jahren besonders in den USA entwickelt und auch seinen Niederschlag in vielen Publikationen gefunden hat. haben wir hier in Deutschland nichts entsprechendes vorzuweisen. Der Herausgeber meint nun, daß Stearns ein Buch geschrieben hat, das eine leicht verständliche und umfassende Einführung in dieses große und wichtige. und parallel zu den Fortschritten der Halbleitertechnik erst jüngst intensiv erforschte Gebiet geben kann, und das deshalb auch geeignet ist, die Lücke auf dem deutschen Buchmarkt zu füllen. Es besteht kein Zweifel, daß es umfassendere, tiefergehende, gewichtigere Bücher über dieses Thema auf dem amerikanischen Markt gibt. Der Autor hat an vielen Stellen auf die entsprechende Literatur verwiesen, und diese ist zweifellos für ein nachfolgendes gründlicheres Studium sehr geeignet (z.B. die Bücher von Gold, Rader, Kaiser, Rabiner und anderen).') Für ein erstes Kennenlernen und Verstehen der Probleme ist aber ein gutes Lehrbuch für Studenten wie dieses hier mit vielen in der Praxis erprobten Beispielen und Übungsaufgaben wohl das beste. Schließlich noch eine Bemerkung zur Eingliederung in die Reihe Grundlagen der Schaltungstechnik. Es ist geradezu typisch für die Ergebnisse dieser neuen Disziplin „Digitale Signalverarbeitung", daß man die Aufgaben entweder durch spezielle „hardware", also digitale Schaltungen, oder aber mit Hilfe eines geeignet programmierten Rechners erledigen kann. Man kann daher die „digital signal analysis" mit gleichem Recht als Grundlage für eine Schaltungstechnik oder auch als eine reine in Programme umzusetzende Theorie auffassen. Auf jeden Fall handelt es sich aber um ein Gebiet, mit dem sich jeder Schaltungstechniker unbedingt vertraut machen muß. D. Stearns Wolfgang H ilberg *) siehe die Listen am Ende eines jeden Kapitels und die Liste deutschsprachiger Bücher am Endedes Buches. Vorwort zur zweiten (deutschen) Auflage KAPITEL 1 Einführung Da „der Stearns" auch in der deutschen Übersetzung eine fast so gute Aufnahme gefunden hat wie in seinem Heimatland, ist jetzt eine Neuauflage fällig. Dabei bietet sich sogar eine gute Gelegenheit, es nicht wie üblich bei der Korrektur einiger Schreib- und Übersetzungsfehler zu belassen, sondern das Buch für den Gebrauch zum Selbststudium noch wesentlich zu verbessern. Dies war möglich, weil von Mitarbeitern, Freunden und Kollegen des Verfassers, die als Hochschullehrer tätig sind, inzwischen viel Erfahrung im Gebrauch des Lehrbuches gewonnen wurde. Dabei hat sich insbesondere bei der Durchführung der Übungen herausgestellt, daß manche i m Buch zu den Aufgaben angegebenen Lösungen für viele Studenten doch zu kurz geraten sind. Daher wurde im Jahr 1982 eine Sammlung ausführlicherer Lösungen zusammengestellt, die jetzt zum erstenmal den Buchtext ergänzen sollen. Die Beiträge stammen hauptsächlich von Professor D . M . Etter, University o f New Mexico, von Date R . Breding und Ken B. Kimball von den Sandia National Laboratorien und von Dr. Tim S. Mc Donald, einem wissenschaftlichen Berater von Sandia. 1. Moderne Signalanalysis Der Ausdruck „Signalanalysis", der meist als "Signaltheorie" ins Deutsche übersetzt wird, bezieht sich im allgemeinen auf die Wissenschaft des Analysierens oder Interpretierens der Signale, die durch zeitabhängige physikalische Prozesse erzeugt werden. Die Signale selbst können von zeitlich vorübergehender Art sein, nur in einem kurzen Zeitabschnitt auftreten, sie können periodisch (mit Wiederholungen) sein, oder sie können zufällig und nicht vorhersagbar sein. Die Methoden der Signalanalysis lassen sich auf alle diese Signaltypen anwenden, von denen einige in Bild 1-1 als Beispiele wiedergegeben sind. r(t) Sollten sich bei der Übertragung noch einige Fehler eingeschlichen haben, bittet der Verlag um freundliche Mitteilung. • D e r Herausgeber Iapu la p e r i o d i s c h e F u n k t i o n Z u f a l l s f u n k t i o n Bild 1-1. Signalarten Vorwort zur fünften Auflage Aus der raschen Aufeinanderfolge der Neuauflagen darf man schließen, daß sich immer mehr Leser der wachsenden Aktualität des Themas bewußt geworden sind, vielleicht auch, daß das Buch wegen guter Erfahrungen zunehmend weiter empfohlen worden ist. Die Neuauflage bot Gelegenheit, einige, offenbar unvermeidliche, Druckfehler zu korrigieren und einige Passagen der Übersetzung zu verbessern. Der Herausgeber Die Anwendungen der Signalanalysis reichen in viele verschiedene Bereiche und Wissenschaften: Nachrichtentechnik, Steuer- und Regelsysteme, Biologie und Medizin, Seismologie, mechanische Schwingungs- und Stoßstudien, Flüssigkeitsdynamik und Radar-Entwurf. All dies sind Bereiche, in denen die Signalanalysis heute hilft, den Fortschritt zu beschleunigen. Die angegebene Liste ist nicht vollständig. Die Signalanalysis wird fortwährend in neuer Art und in neuen Bereichen angewendet. Viele moderne Anwendungen der Signalanalysis sind dem ungeheuren Wachstum und der Verbesserung der digitalen Datenverarbeitungsgeräte zu verdanken. Heute sind digitale Rechensysteme in allen Größen und Preisen vorhanden. Was einst als ein Rechner an sich angesehen wurde, ist heute ein signalverarbeitender Bestandteil geworden, der oft einer besonderen Aufgabe in einem komplexen System gewidmet ist und weder als Allzweck-Rechner angesehen noch als solcher gebraucht wird. Digitale Datenverarbeitungssysteme sind zuverlässig, unempfindlich und 16 E i n f ü h r u n g M o d tragbar geworden. Sie sind auch an Orten und in Umgebungen zu finden, die für Menschen nicht zugänglich sind. Einige typische Operationen und Systeme im Blickfeld der digitalen Signalanalysis sind in den Bildern 1.2 bis 14 veranschaulicht. Bild 1-2 deutet einige der bekanntesten Operationen an, die in der Signalanalysis benötigt werden. Eine physikalische Größe — z.B. eine Wegstrecke, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Intensität, Kraft, ein Druck, eine Temperatur, Farbe, Ladung, Wiederholfrequenz, usw. — wird durch einen Umformer in eine elektrische Spannung umgewandelt. Dann wird das Ausgangssignal des Umformers meist in regelmäßigen Zeitabständen digitalisiert d.h. durch einen Analog-Digital-Wandler (engl. Analog Digital Converter = ADC) in eine Zahl umgewandelt. (Die Wirkungsweise des ADC wird in Kapitel 4 behandelt.) Die Folge von Zahlen bzw. die Abtastreihe, die von dem ADC erzeugt wird, könnte für eine weitere Verarbeitung aufgezeichnet oder, wie in Bild 1.2 angedeutet, ohne Aufzeichnung in Echtzeit verarbeitet werden. e r n e Signalanalysis Physikalische Größe Umformer Filter Andere Signale r e . - Spektrum Gefiltertes Signal dorre- [ - e i r o t r e l a t i o n s f u n k t i o n lator !Analoger Analoge Steuerung S e n s o r l — F u r n — iknaloger Senso A D C DAC 1 - - - - ! A n a l o g e S t e u e r u n Digitaler Signal Prozessor DAG Analoge Steuerung Bild 1-3. Digitales Steuerungs- oder Nachrichtensyst •in Bild 1-4 zeigt ein typisches Datenerfassungssystem. Hier wird eine Alternative zu der Eingangsschaltung in Bild 1-3 gezeigt, in der die eintreffenden Analogsignale in Multiplextechnik zusammengefaßt werden, d.h. sie werden nacheinander abgetastet und dann mit Hilfe eines einzigen ADC in digitale Abtastfolgen umgewandelt. Der Signalprozessor führt dann mit den Daten eine Filterung oder andere erforderliche Operationen aus, bevor er sie in einem digitalen Aufzeichnungsgerät speichert. Bild 1-2. Einige Operationen in der digitalen Signalanalysis a l e F i a o r Eine verbreitete Verarbeitung der Abtastreihe ist die Berechnung des Spektrums, welches im allgemeinen die Verteilung von Amplitude, Phase, Leistung oder Energie über der Frequenz wiedergibt. Einige Eigenschaften des Spektrums und seine Berechnung werden in den Kapiteln 2, 3, 5,6, 7, 13 und 14 diskutiert. laut loger Sensor Eine andere verbreitete Operation in der digitalen Signalanalysis ist die digitale Filterung, die im allgemeinen gebraucht wird, um von der Original- bzw. EingangsAbtastreffie eine davon verschiedene Ausgangs-Abtastreihe zu erzeugen. Dabei werden solche Zwecke verfolgt wie das Eliminieren hoher Frequenzen, das Reduzieren des Rauschens usw. Die digitale Filterung wird hauptsächlich in den Kapiteln 8, 9 und 12 diskutiert. Analoger S e n s o r l — Die dritte in Bild 1.2 gezeigte Operation ist die Korrelation, worunter man einen speziellen Prozeß versteht, Signale mit sich selbst oder mit anderen Signalen zu vergleichen. Die Korrelation wird hauptsächlich im Kapitel 13 diskutiert. Alle diese Operationen können mit einem Allzweck-Rechner durchgeführt werden, es ist jedoch auch möglich, dafür Spezial-Prozessoren zu entwerfen. 7 Ein typisches digitales Steuerungs- oder Nachrichtenübertragungssystem ist in Bild 1-3 gezeigt. In diesem System werden analoge Signale in die digitale Darstellung umgewandelt, dann gefiltert oder in einer anderen Weise, zusammen oder getrennt, durch den digitalen Signalprozessor verarbeitet. Der Prozessor erzeugt dann digitale Ausgangssignale, von denen jedes durch einen Digital-Analog-Wandler (DAC) in ein analoges Steuersignal umgewandelt wird. !Analoger Sensor Analysator 1 Analoger Multiplexer ADC Digitaler SignalProzessor Speicher Bild 1-4. Digitales Datenerfassungssystem In den folgenden Kapiteln wird der Leser viele Dinge finden, die für die Signalanalysis grundlegend sind. Man wird finden, daß von der Mathematik und den Methoden her vieles gleich ist, unabhängig davon, ob gerade digitale oder kontinuierliche Signale analysiert werden. Es bestehen natürlich grundsätzliche Unterschiede zwischen diesen beiden Signalformen und den entsprechenden beteiligten Systemen, wie dies in Bild 1-5 veranschaulicht ist. Das analoge oder kontinuierliche System verarbeitet im allgemeinen eine kontinuierlich zeitabhängige physikalische 18 E i n f ü h r u n g Moderne Signalanalysis r(t) alt) I \ Z - - fOflf2t3 . . . 9 verarbeitet. Ein vollständiges Signalverarbeitungssystem könnte beispielsweise wie in Bild 1-3 aus einem A D -Wandler bestehen, der zu einem digitalen Prozessor führt, der wiederum mit einem DA-Wandler verbunden ist, um ein kontinuierliches Ausgangssignal zu erzeugen. A n a l o g e s System _,1 Digitales S y s t e m g 0 g 1 g 2 g 3 1 • " Bild 1-5. Analoge und digitale Systeme Größe f(t) und erzeugt eine ähnliche Größe g(t). Diese Größen sind typischerweise Spannungen, Ströme, Wegstrecken, Winkel usw. Andererseits verarbeitet das digitale System wie oben beschrieben eine Folge von Zahlen fo f l f 2 . . . so. daß am Ausgang eine Zahlenfolge go g/ g2 . . . entsteht. Ein großer Teil der Diskussion in den folgenden Kapiteln basiert auf diesen elementaren Vorstellungen und auf einer zusätzlichen grundlegenden Annahme: Eine gemeinsame theoretische Grundlage für digitale und analoge Systeme wird dadurch erreicht, daß man die Zahlenfolgen des digitalen Systems so behandelt, als ob sie Abtastwerte aus kontinuierlichen Signalen wären, die durch ein analoges, System verarbeitet werden (oder werden könnten). Diese Vorstellung wird in Bild 1-6 veranschaulicht. Die Abtastreihe [fm 1= [fo, , f2, . . . ] wird aus der kontinuierlichen Funktion f(t) abgeleitet, indem man die Werte von 0 9 zu den Zeiten t = 0, T, 2T, . . . in einer geordneten Folge zusammenstellt. Dadurch, daß man die Abtastreffien-Vorstellung benutzt, kann man dann einen Vergleich zwischen einem analogen Signalverarbeitungssystem und einem digitalen Signalverarbeitungssystem, deren Ausgangssignale in den Abtastpunkten identisch sind, durchführen. Andererseits kann vielleicht das Ausgangssignal eines digitalen Systems in digitaler Form gewünscht werden, oder ein AD-Wandler kann am Ausgang eines analogen Systems Verwendung finden usw. Die Hauptsache hierbei ist, daß die mathematischen Methoden zum Analysieren dieser Systeme und Signale ziemlich gleich sind — mit größtem Nutzen kann man kontinuierliche und digitale Signalanalysis betreiben, indem man beide gleichzeitig betrachtet. Als letztes Beispiel in dieser einführenden Betrachtung liefert Bild 1-7 einen Vergleich zwischen einfachen analogen und digitalen Systemen mit ähnlichen Leistungs-Charakteristiken. In der oberen Hälfte des Bildes bildet ein kontinuierlicher zeitlich abklingender Impuls das Eingangssignal zu einem einfachen RC-Integrierglied (R steht für Widelstand und C für Kapazität), das wohl den meisten Ingenieuren bekannt ist. Für eine Zeitkonstante (RC) von 1,67 msec ist der Ausgangsimpuls oben rechts aufgetragen. Die untere Hälfte des Bildes zeigt das Ergebnis der Verarbeitung der Abtastreihe des Eingangsimpulses (wenn man einen Zeitabstand von 0,2 ursec von einem Abtastpunkt zum anderen wählt) in einem einfachen digitalen System. Das Symbol z-1 steht für eine Zeitverzögerung um ein Abtastintervall. Daher multipliziert der digitale Prozessor in diesem Falle zu jedem Abtastzeitpunkt einfach den vorhergehenden Abtastwert am Ausgang mit 7,85, addiert das Ergebnis zu dem aktuellen Abtastwert am Eingang und multipliziert die Summe mit 0,113, wodurch der aktuelle Abtastwert am Ausgang entsteht. Die Analyse solcher Systeme wird in späteren Kapiteln behandelt. Dieses einfache BeiKontinuierliches PC - 1 . 6 7 e s t e Eingangssignal 2 l Kontinuierliches A u s g a n g s s i g n a l 2 t l t Zelt (msec) Z e i t (msec) Digitales Eingangssignal D i g i t a l e s Ausgangssignal pM Bild 1-6. Abgetastetes kontinuierlichestiSignal 6 In der Tat legt Bild 1-6 die Verbindung zwischen den drei Signalarten in Bild 1-1 und der Zahlenfolge in Bild 1-5 nahe: In dem digitalen System werden gerade diejenigen Abtastreihen, die aus diesen kontinuierlichen Signalen abgeleitet wurden, 2 Z e i t (msec) Bild 1 7. Kontinuierliche und digitale Systeme mit ähnlichem Verhalten l t 6 Zeit (msec) 20 2. Einige nützliche Formeln E i n f ü h r u n g spiele sollte hier nur dazu dienen, die Ähnlichkeit zwischen geeignet gewählten digitalen und kontinuierlichen Systemen zu veranschaulichen, eine Erscheinung, die noch weiterhin im ganzen Buch hervorgehoben werden wird. 2. Einige nützliche Formeln Das folgende Kapitel beginnt m i t einem Überblick über einige grundlegende mathematische Sätze wie den des Prinzips der kleinsten Quadrate, der Orthogonalität, usw. bevor man zu den wichtigen Themen der Signalanalysis kommt. Um mit dem Überblick über grundlegende mathematische Beziehungen zu beginnen, enthält dieser Abschnitt einige einfache Formeln der Algebra, Trigonometrie und der Matrizenrechnung, die ausgiebig in späteren Kapiteln gebraucht werden. Diese und andere nützliche Formeln, Tabellen usw. kann man in bekannten Handbüchern finden, wie sie z.B. in den Literaturhinweisen am Ende dieses Kapitels enthalten sind. Trigonometrische Identitäten (Additionstheoreme) werden bei der Behandlung von Fourier-Reihen und -Transformationen und überhaupt allgemein in der harmonischen Analysis benötigt. Einige der bekanntesten Identitäten sind in der nachstehenden Tabelle 1-1 aufgelistet (das Symbol „ j " bezeichnet N C -I, während „ i " für den Augenblickswert des Stromes benutzt wird, ein Gebrauch, der in der Elektrotechnik allgemein üblich ist). 2 Tabelle 1-2. Hyperbolische Funktionen sinh(-a) - -sinh a cosh ( - a ) - + cosh a (1-9) sinh (a + ß) c O S h ß + cosh a sinh O f cosh(a + ß) - cosh a cosh ß + sinh a sinhß (1.10) 2 sinh ex coshß s i n h (a + 8 ) + sinh (a 2 cosh a cosh c o s h (a + $ 1 + cosh(a - 41) 2 sinh a sinhß - cosh(a + 0) - cosh(a - 8 ) . cosh2a - sinh2a 1 sinh ( 1 / 2 ) (ea cosh a ( 1 / 2 ) ( e a + r -°) sinh a + cosh sinh I a l o g (a + 4 7 7 « 1) cosh I es l o g (a + N r a l i ) Die geometrische Reihe wird wiederholt in der Signalanalysis und auch an anderer Stelle benötigt, um Funktionen in geschlossener Form zu berechnen. In einfacher Form lautet sie + x + x1 + x) + • • X (1-161 Ta b e l l e l t Tr i g o n o m e t r i s c h e U m f o r m u n g e n sin(-a) - cos(-a)sin(a + sin a o n a . 1 *in a cosß + c o s a 'in $ 1 c o s ( a + ß ) - c o s a t o s ß — sin a sin ß Die Summe enthält N Tenne, und N ist auch der Exponent im Zähler der geschlossenen Form. Wenn der Betrag von x, dh. lxl, kleiner als 1 ist, konvergiert die tutendliche geometrische Reihe gegen 2 sin a sin ß c o s ( a - 0 ) - c o s ( a + 2 cos a c o s ß - c o s ( a + 0 ) + c o s ( a - / 3 1 . 2 sin q cor ß - s i n ( a + 0 ) + s i n ( a - ß ) I - x sin 2 a - 2 sin a c o s a t ixi < I ( 1 - 1 7 ) cos 2 a - 2 c e l 2 a sin a / 2 - i l ( 1 1 / 2 ) ( I - c a l a l l cos a / 2 i l ( 1 / 2 ) ( I + cos a ) sin2a - 1 - cos2a sin a - (112j)(ele - e - 1 1 w i e ( 1 / 2 ) ( e fit + e r b ' ) e cos + / s i n a - Die hyperbolischen Funktionen werden bei dem Entwurf einiger digitaler Filter benötigt, die i n Kapitel 12 diskutiert werden. Einige nützliche hyperbolische Beziehungen sind in der Tabelle 1-2 zusammengefaßt. Komplexere Formen der Gleichungen 1-16 und 1-17 sind manchmal schwierig zu erkennen. Zum Beispiel erkennt man N-1 N - 1 E e — E (e-»). _ I — leicht als geometrische Reihe, aber (1-18) 22 E i n f ü h r u n g Die folgenden Kapitel Enx" - x x n.0 e - 0 d x IL dx 3 wenn C - A • B " - 2 dann E 4.1 Ixt < I x )1 (1-24) (4.kb4, —1 I x 1 (1-19) (1 - x)2 Beispiel: 0 1 (1-25) 2 2 ist in seiner ursprünglichen Form schwieriger als geometrische Reihe zu erkennen. I I Vektoren und Matrizen werden in der Signalanalysis oft gebraucht, um den Zustand eines SystenTs zu einer bestimmten Zeit, einen Satz von Signalwerten, einen Satz linearer Gleichungen usw. darzustellen. Ein Vektor ist eine lineare Anordnung reeller oder komplexer Zahlen, z.B. 3 Die Einheitsmatf x (I) ist eine quadratische Anordnung, die nur auf der Diagonalen Einsen und sonst überall Nullen hat. Zum Beispiel für N = 3: 1 0 0 1 Man erkennt aus der Definition eines Produktes, daß die Einheitsmatrix die folgende Eigenschaft hat, wenn sie mit einer beliebigen quadratischen Matrix A multipliziert wird: xN Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung, z.B. au • • • A•I=I•A -A 1 Die Summe zweier solcher Matrizen kann unter der Voraussetzung gleicher Zeilenund Spaltenzahlen gebildet werden. Jedes Element der Summe ist die Summe der entsprechenden Elemente: C— A + 1 0 (1 -22) b,„„ I 3 2 3 (1-23) Beispiel: —1 — 2 1 - 2 7 ) In der Signalanalysis werden Matrizen hauptsächlich zur Darstellung linearer Gleic h u n g e n gebraucht. Zum Beispiel stellt CM + ( a I N (1-21) dann c.„ - (1-26) 0 0 ( 1-20) X wenn 0 1 0 2 2 I • • • C i N x, (1-28) (Ni • • • C N N x„ Y N einen Satz von N Gleichungen dar, in dem C die Koeffizientenmatrix, X ein unbekannter Vektor und Y ein bekannter Vektor ist. In Kurzform können die Gleichungen wie folgt geschrieben werden: C X = Y. Verschiedene Prozeduren sind in Gebrauch, um die Gleichung 1-28 nach dem unbekannten Vektor X aufzulösen. Siehe z.B. (Gerald 19701. 0 Das Produkt zweier Matrizen kann unter der Voraussetzung gebildet werden, daß die Zahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Zahl der Zeilen der zweiten Matrix ist. Jedes Element der Produktmatrix ergibt sich, indem man entlang einer Zeile der ersten Matrix und einer Spalte der zweiten Matrix fortschreitet, entsprechende Tenne miteinander multipliziert und die Produkte summiert: 3. Die folgenden Kapitel Die nächsten drei Kapitel behandeln Themen, die für die Analyse aller Arten von Signalen und linearen Systemen, seien sie nun digital oder analog, grundlegend sind. Der Leser sollte wenigstens mit den Kapiteln 2 und 3 vertraut sein, bevor er zu Kapitel 5 und darüber hinaus fortschreitet, da die Fourier-Reihen, -Transfor- 24 E i n f ü h r u n g mationen und -Übertragungsfunktionen usw. durchgehend in den folgenden Kapiteln gebraucht werden. KAPITEL 2 Nach Kapitel 3 liegt das Schwergewicht auf Themen, die für die analoge oder digitale Signalanalysis grundlegend sind, sowie auf Vergleichen zwischen einer analogen und einer digitalen Signalverarbeitung. Kapitel 4 behandelt das Abtasten und die AD-Wandlung. Die Kapitel 5 bis 7 sind allgemein auf die spektrale Analyse ausgerichtet. Die Kapitel 8 bis 12 sind ganz der „digitalen Filterung" im weitesten Sinne des Wortes gewidmet. Zum Schluß gehen die Kapitel 13 und 14 auf einige Vorstellungen ein, die am häufigsten in der Analysis statistischer Signale gebraucht werden. Überblick über das Prinzip der kleinsten Quadrate, Orthogonalität und Fourier-Reihe 1. Einleitung Literaturhinweise Bfrkhan: G., und AfacLane. S.: A Survey o f Modern Algebra. Kap. 10. New Yo r k : Manunian, 1950. Ihrington, R. S.: Handbook o f Mathenunieal Tables and Formulas. New Yo r k : McGraw-Rill. 1965. Dwight, H . B . : Tables o f Integrals a n d O t h e r Mathematical Data. New Yo r k : Macmillan. 1961. Gerald, C. F. : Applied Numerical Analysis. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1970. Kaplan, W. K . : Advanced Calculus, Kap. 6. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1952. Kelly, L . G J Handbook o f Numerical Methods and Applications, Kap. 7 u n d 8 . Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1967. Perlis. S.: Theory o f Matrices. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1956. Die drei Themen, die in diesem Kapitel betrachtet werden, sind in der linearen Analysis von grundlegendem Interesse. Sie haben enge gegenseitige Beziehungen zueinander, wie in der folgenden Diskussion gezeigt wird. Man wird selten, wie die Einführung der orthogonalen Funktionen die Aufgabe, die „Anpassung der kleinsten Quadrate" einer linearen Funktion zu einer anderen Funktion oder einem Datenutz zu finden, ersichtlich verändert und vereinfacht. Ferner ist die Fourier-Reihe sowohl eine Reihe orthogonaler Funktionen als auch eine wichtige Anwendung des Prinzips der kleinsten Quadrate. Die Liste der Literaturhinweise enthält einige ausgezeichnete Darstellungen über diese Themen. 2. Das Prinzip der kleinsten Quadrate Deutschsprachige Literatur zum Thema des Buches siehe Seite 432. Das Prinzip der kleinsten Quadratc wird ausgiebig in der ganzen Ingenieurwissenschaft und der Statistik gebraucht. Es wird weitgehend angewendet (jedoch nicht immer in angemessener Weise), wann immer ein Maß der "guten Anpassung" benötigt wird. Bild 2-1 veranschaulicht den Gebrauch des Prinzips der kleinsten Quadrate im kontinuierlichen Fall. Eine „gewünschte" Funktion f(t) soll so gut wie möglich durch eine „aktuelle" Funktion (*(c, t) angenähert werden, in der c ein Parameter ist, der so angepaßt werden kann, daß die beste Annäherung erreicht wird. (Im r.te,t) t(t) Bild 2 - L A k t u e l l e und gewünschte Funktionen, f*(e, 0 und f( Das Prinzip der kleinsten Quadrate 26 Ü b e r b l i c k über das Prinzip der kleinsten Quadrate f (2-1) Q ) - f•(c.t)12d1 H i e Es wird vorausgesetzt, daß ein Minimum von E2(c) durch geeignete Wahl von c erreicht werden kann. - (2-2) fs(c, 1.)11 ist f*(t) eine lineare Kombination eines Satzes von Funktionen [00,01 t], in dem es M Parameter Co, C1C M _1 gibt, die abzugleichen sind, um E2 zu einem Minimum zu machen. 0s-1"; m = 0, M - I (2-4) Die Koeffizienten werden so bestimmt, daß das Polynom f *0) = c0 + cir + cjr2 + • • • + (2-5) das Polynom der kleinsten Quadrate vom Grade M-1 ist. N- I E r Man beachte, daß nur der Satz [cm] abgeglichen werden muß, wenn der Satz von Funktionen [0m] festgesetzt worden ist. Ein bekannter Fall ist zum Beispiel Bild 2.2 veranschaulicht einen analogen Fall für diskrete Werte. Hier ist f(t) in der Tat nur bei einer endlichen Zahl von Zeitwerten t gegeben. Der Satz von Werten für 1(t) wird die Abtastfolge genannt und mit [f0, f l , f2, f N _ 1 ] bezeichnet. Ersichtlich sind N Abtastwerte vorhanden. Jeder Abtastwert fn wird zu einer entsprechenden Zeit tr, entnommen, wie es im Bild gezeigt ist. Wieder gibt es eine Familie von Funktionen f*(c, t), die (in diesem Falle) den einen Parameter c hat, und es gibt eine analoge Gleichung 2-1 für den gesamten quadrierten Fehler: E2(c) 7 chen. Eine allgemeine lineare Form für die „abzugleichende" Funktion f•(t) ist folgende: m-1 fe(c, t) = I E (2-3) allgemeinen gibt es viele Parameter, die anstelle von nur einem anzupassen sind, aber für die einfache Veranschaulichung hier wird nur ein einziger angenommen.) Der gesamte quadrierte Fehler von f*(c, t) ist dann eine Funktion von c und gegeben durch E2(c) 2 F e h l Im allgemeinen Falle wird mit f•(t) von Gleichung 2-3 der gesamte quadrierte e r nach Gleichung 2-2 a-0 M- I N- I E2(1c„,l) - E r c t J . -E m.0 (2-6) 2 so daß E2 von dem Satz der Koeffizienten [cm] abhängt. Um die Schreibweise zu vereinfachen, ist hier ilimr, für Ifrm(tn) eingeführt worden. Zur Erreichung des Minimums von E2 müssen die partiellen Ableitungen von E2 nach ck für alle k gleich Null sein: N-1 6E2 »Co — 2 E ( [ Ob, — 1 E (2-7) C 3 " en- 0 oder, indem man Gleichung 2-7 umschreibt, Bild 2-2. Abtast-Wertesatz [fn] und angepaßte Funktion (•(c, 0 Wie im kontinuierlichen Fall bedeutet das Prinzip der kleinsten Quadrate wieder eine solche Wahl von c, daß E2(c) zu einem Minimum wird. (Manchmal wird jeder Term in der Summe in Gleichung 2-2 mit einem Gewicht wn > 0 multipliziert, um damit die relative Genauigkeit oder die Glaubwürdigkeit der Messung fn in Rechnung zu setzen. Siehe z.B. [Hildebrand 1956] oder [Kelly 1967]. Hier sind alle diese Gewichte als gleich angenommen.) Wo digitale Rechner in Betracht kommen, ist der Fall diskreter Abtastwerte gewöhnlich eher als der Fall kontinuierlicher Funktionen anwendbar. Auch ist gewöhnlich, wie erwähnt, eine Abstimmung nicht nur eines Parameters, sondern eines ganzen Satzes von Parametern möglich, um E2 zu einem Minimum zu ma- N-1 M -I N - 1 :E: 2 : cal.m°b, : 0E : .404.; 0.0 m-0 a . k 0,I - ( 2 - 8 ) Die Gleichung 2-8 stellt ersichtlich einen Satz von M linearen Gleichungen mit den M unbekannten Koeffizienten co . . . . . cm _1 dar. Die zu Gleichung 2-8 äquivalente Matrixform ist fkoissou, 1 1 $ 0 . 0 1 1 - 1 , a Co ELoo. (2-9), Es5N-1..eso, • E C _1 1.16Ar- t.. 28 Ü b e r b l i c k über das Prinzip der kleinsten Quadrate Das Prinzip der kleinsten Quadrate in der jede Summe von n = 0 bis n = N-1 geht. Wie bei jedem Satz linearer Gleichungen kann Gleichung 2-9 eine einzige Lösung für den Satz [cm], der E2 zum Minimum führt, haben oder auch nicht. Die Zahl der Lösungen hängt sowohl von der Natur des Funktionensatzes [bm] als auch von dem Abtastsatz [fri] ab. Beispiel 2-1: Es sei f•(t) das Polynom der kleinsten Quadrate mit 0m = tm , wie in den Gleichungen 2-4 und 2-5, und wir nehmen an, daß die Abtastreihe nur aus den drei folgenden Werten besteht: 0 I 1,, 9 reit1 reit) ri(t) 2 t -2 0 1 2 I 0 Für diesen Fall ist dann N = 3, und die Gleichung 2-9 führt für M = 1,2 und 3 zu folgenden Ergebnissen: für M = I : k g 3 ( 2 3 - I - 1 0 3 Co (2-11) -I - 3: 5 3 - I 5 Co 3 -1 5 - 7 Cl -4 5 -7 17 C2 8 ( 2 f2*(t) - I1/14 - (9/14)1 .4.(1) - I - (5/6): - (1/6)12 ( 1 2 ( N-1 ( 1 4 - 1 2 E2/N - i + E J",, - E -4 Cl N- I 3 2 1 - N s N-1 ) 5 ) Diese Lösungen der kleinsten Quadrate sind in Bild 2-3 aufgetragen und veranschaulichen eine ganz allgemeine Regel: Wenn die Zahl der Abtastpunkte N größer als die Zahl der Funktionen IN ist (wie in dem Beispiel für f I* und f2*), wird der gesamte quadrierte Fehler E2 im allgemeinen ungleich Null. Für IV = M gibt es meist eine Lösung (in dem Beispiel f3*), für die E2 = 0 ist. Ist N < M , gibt es eine Vielzahl solcher Lösungen. Der interessierende hauptsächliche Fall bei der Anwendung des Prinzips der kleinsten Quadrate in Gestalt der Gleichung 2-9 ist natürlich der erste der drei Fälle, dh. bei dem N > M ist und E2 im Minimum nicht verschwindet. Eine allgemeine Formel für das Minimum von E2 kann aus Gleichung 2-6-abgeleitet werden. Ein realistischeres Maß der guten Anpassung ist jedoch der minimale M - I M - 1 M - - 2.4 E ca.orn.+ E CA E o . 0 k I ( 2 - 1 6 ) s i - 0 Wenn der letzte Term in Gleichung 2-16 zuerst über m, dann über n und zuletzt über k summiert wird und wenn nach der Summierung über n Gleichung 2-8 verwendet wird, um diesen letzten Term zu ersetzen, kann man folgende Gleichung Nr das Minimum von E2/N erhalten: ) 4 1 E (2-12) Löst man nach den Koeffizienten [cm] auf, ergeben diese Gleichungen für M = 1, 2 und 3 die drei Funktionen f1 •(t), f2 •(1) und f3 •(t) wie folgt: .4*(t) - I B i l d 2 - 3 . L ö s u n g e n d e r k l e i n s t e n Q u a d r a t e f ü r das B e i s p i e l 2 . 1 mittlere quadrierte Fehler, der sich ergibt, indem man zuerst E2/N aus Gleichung 2-6 heranzieht: ) für M - 2: für 2 EL' N E N •rn-o N- I - M - 1 2 f „ » M , E L L - E 1 E »0 0 I M - E c,„,#„„, -I * N E - b(f.. - f,..) (2-17) Gleichung 2-17 ist somit eine allgemeine Formel für den minimalen mittleren quadrierten Fehler. Betrachtet man die Form des Funktionensatzes [¢m], so ist es besonders nützlich, wenn die Gleichung 2-9 explizit nach den Koeffizienten [cm] aufgelöst werden kann, ohne daß das M x M-System von Gleichungen vorher gelöst werden muß. Diese Lösung kann ganz trivial erfolgen, wenn der Funktionensatz orthogonal ist. Daher ist im folgenden das Thema der orthogonalen Funktionen von besonderem Interesse. Orthogonale Funktionen 30 Ü b e r b l i c k über das Prinzip der kleinsten Quadrate 3. Orthogonale Funktionen Orthogonalität ist eine wichtige und grundlegende mathematische Eigenschaft. Sie ist hier sowohl als solche von Interesse als auch wegen ihres Einflusses auf die Lösung von Gleichung 2-9 bezüglich der zu den kleinsten Quadraten gehörenden Koeffizienten. Das Wort „orthogonal" stammt ursprünglich von einem griechischen Wort, das „rechtwinklig" bedeutet. Von zwei sich schneidenden Geraden sagt man zum Beispiel, sie seien orthogonal, wenn sie senkrecht zueinander sind. Allgemeiner sind dann zwei N-dimensionale Vektoren V - (ui, u2, . . . , UN) r - (y1,y2,••• y.) orthogonal (oder senkrecht zueinander), wenn ihr inneres Produkt, das wie folgt definiert ist V• + U2V2 + • • • + uNvti gleich Null ist. In Bild 2-4 ist veranschaulicht, daß dann, wenn das innere Produkt verschwindet, die Geradenstücke, die die Vektoren in drei Dimensionen darstellen, zueinander senkrecht sind. Dies folgt sofort nach Anwendung des Satzes von Pythagoras auf das rechtwinklige Dreieck mit den Seiten n, e und + e : 10+ PI' -10P+iri2; ...(u, +v1)2+ (u2 +v2)2+ (u, + v3)2 - u12+u22+ u,2 + vii +v22 + +sev, + 0 3 1 Der Begriff der orthogonalen Funktionen folgt direkt aus dem der orthogonalen Vektoren. Es seien [fn] und [gn] die Abtastreihen zweier Funktionen f(t) und g(t) wie im vorherigen Abschnitt. Man sagt dann, die zwei Funktionen seien dann und nur dann orthogonal in bezug auf die Abtastpunkte [tn], wenn gilt N-1 E ran= 0 (2-18) Daher müssen, um die ursprüngliche Vorstellung von Vektoren im rechten Winkel zueinander zu bewahren, die Abtastreihen [fn1 und [gn] als Vektoren im N-dimensionalen Raum betrachtet werden, wobei N die Zahl der Abtastungen (Proben) ist. In der Statistik wird aus dieser Sicht die Zahl der Proben N die Zahl der Freiheitsgrade des Satzes [fn] genannt, und der N-dimensionale Raum wird der Signalraum genannt. Für zwei kontinuierliche Funktionen ist die Definition der Orthogonalität analog zu Gleichung 2-18. Die Funktionen f(t) und g(t) sind dann und nur dann orthogonal zueinander im Intervall (a, b), wenn gilt f ( r ) g(I)dt — 0 (2.19) Hier muß man, um die Vorstellung der senkrecht aufeinander stehenden Vektoren beizubehalten, einen Raum mit einer nicht zählbaren Zahl von Dimensionen annehmen. Die bildliche Vorstellung von senkrecht aufeinander stehenden Vektoren wird deshalb sehr unklar, und die Gleichung 2-19 wird oft für sich als die grundlegende Definition der Orthogonalität genommen. Die Eigenschaft der Orthogonalität führt zu einer einfachen Lösung für die zu den kleinsten Quadraten gehörenden Koeffizienten in Gleichung 2-9. Zunächst sind nach Gleichung 2-18 die M Funktionen [On, ; m = 0, 1, . M —l] gegenseitig orthogonal über den Satz von N Punkten [tn ; n = 0, 1N - 1 1 , wenn sie paarweise orthogonal sind, d.h. wenn gilt: N-1 E e - 0 t . - 0; • -0 k ( 2 - 2 0 ) Die Wirkung auf Gleichung 2-9 ist sofort klar, da die Bedingung m # k für alle Elemente außerhalb der Diagonalen in der M x M-Matrix erfüllt ist, und daher sind nur die Diagonal-Elemente von Null verschieden. Die Lösung für die zu den kleinsten Quadraten gehörenden Koeffizienten folgt entweder aus Gleichung 2-8 oder aus Gleichung 2-9: N-1 N - 1 Ca L e i h . E • -0 . - 0 Bild 2-4. Orthogonale Vektoren r l und V mit U = 0 012. (2-21) (Man beachte, daß der Nenner in Gleichung 2-21 so lange von Null verschieden Die Fourier-Reihe 32 Ü b e r b l i c k über das Prinzip der kleinsten Quadrate 33 ist, wie wenigstens ein n i c h t gleich Null ist.) Sind die Funktionen [mmj also orthogonal, ist die Lösung für die zu den kleinsten Quadraten gehörenden Koeffizienten sehr einfach zu gewinnen, und in der Tat kann die Anpassung Schritt für Schritt durchgeführt werden, indem man aufeinanderfolgende Werte von k durchläuft. Wenn die Zahl der Abtastpunkte über alle Grenzen anwächst und f(t) im Intervall von t = a bis t = b kontinuierlich gegeben ist und wenn ferner die Funktionen j nach Gleichung 2-19 orthogonal sind, findet man die zu den kleinsten Quadraten gehörenden Koeffizienten im wesentlichen, indem man die Summen in Gleichung 2-21 durch Integrale ersetzt: Ca - ( f ) ßr (I) di f b 442 (t) dr; k 0 , 1, , M - 1 (2.22) Die Gleichung 2-22 drückt einfach die Gleichung 2-21 für den kontinuierlichen Fall aus, wobei die kontinuierliche Variable t den diskreten Index n formal ersetzt. Zusammenfassend läßt sich feststellen, daß die Auflösung nach den Koeffizienten sehr einfach wird, wenn die Näherungsfunktion M t ) eine lineare Kombination orthogonaler Funktionen ist. Es ist auch wichtig zu bemerken, daß für die Orthogonalität der Satz von Punkten, in denen zwei Funktionen definiert sind, gerade so wichtig ist, wie die Funktionen selbst - zwei Funktionen, die bezüglich eines Intervalles oder eines Satzes von Punkten orthogonal sind, sind im allgemeinen nicht orthogonal bezüglich eines anderen Satzes von Punkten. BM 2-5. Darstellung von fp(0, das sich aus drei Komponenten zusammensetzt Die Formeln für die Fourier-Reihe und die Fourier-Koeffizienten können in logischer Weise entwickelt werden, indem man eine Näherung der kleinsten Quadrate in der Form der Gleichung 2-3 für eine beliebige periodische Funktion fp(t) bestimmt. Es ist günstig, die Näherung der kleinsten Quadrate fps(t) für die Funktion fp(t) speziell in einer der drei folgenden Formen auszudrücken: fp• (t) - a -2 + E (a * cos kgder + s i n Leer) 2 A-22 + 2 4. Die Fourier-Reihe In der Ingenieurwissenschaft ist die wohlbekannte Fourier-Reihe eine wichtige Anwendung der obigen Begriffe der kleinsten Quadrate und der Orthogonalität. Das Verständnis dafür, wie diese Begriffe sich bei der Fourier-Reihe anwenden lassen, ist besonders wichtig im diskreten Fall, in dem Abtastreihen und die digitale Signalanalysis beteiligt sind. Die Fourier-Reihe selbst ist in weiten Bereichen der Ingenieurwissenschaft anwendbar. Sie schafft einen einzigartigen Weg, jede periodische Funktion durch ihre Bestandteile bei diskreten Frequenzen auszudrücken, und gibt damit explizit die Frequenzzusammensetzung der Funktion an. Bild 2.5 ist eine Veranschaulichung einer periodischen Funktion fp(t), die aus Komponenten von drei verschiedenen Frequenzen (eine davon ist Null) zusammengesetzt ist. Die Komponenten von fp(t) sind sinusförmig und haben jede für sich eigene Amplitude und Phase. Sie treten nur bei Vielfachen (Harmonischen) der Grundfrequenz auf, die wiederum die Frequenz ist, mit der sich fp(t) wiederholt. (2-23) 4 . 1 E ck A a COS ( k t d i a ( + a *) (2-24) (2-25) Hierbei ist w0 die Grundfrequenz, die so bestimmt wird, daß die Periode der anzunähernden Funktion fp(t) gleich 2rr/c40 ist, k ist die Ordnungszahl der Harmonischen, und die Größen a, b, A, a und c sind die zu den kleinsten Quadraten gehörenden Koeffizienten von 1;3*(0. Die vollständige Äquivalenz der obigen Ausdrücke, die drei der gebräuchlichsten Formen der Fourier-Reihe darstellen, wird in Tabelle 2-1 dargelegt, in der die gegenseitigen Beziehungen der Koeffizienten angegeben sind. Da die drei Ausdrücke äquivalent sind, wird nur Gleichung 2-23 in den folgenden Ableitungen benutzt. Da sowohl fp(t) als auch f ''(t) periodisch sind, kann eine Anpassung im Sinne der kleinsten Quadrate über jede Grundperiode (oder Mehrzahl von Perioden) erreicht werden, im besonderen auch über das Intervall (-rr/w0, ulwo). Die anzunähernde Funktion kann entweder durch einen Satz von Abtastpunkten in diesem Intervall oder vollständig im ganzen Intervall bekannt sein. In jedem Falle ist die Orthogonalität der Funktionen, aus denen f i t ) besteht, 34 ' überblick über das Prinzip der kleinsten Quadrate Die Fourier-Reihe 35 Tabelle 2-1. Beziehungen zwischen den Fourier-Koeffizienten' in Abhängigkeit von Koeffizient (k 20) Ab, ab ak, b i ak bk ak .45 (.12 + bh2)112 -tan (bklak) (112)(ak(1/2)(4 + jbk) ba ak C C C_ b Abtos ak -Aa sin ak 4 + c_.(except 2 4 ) fica 2(4 c_k )172 tan ( I m (cal/ Re (4 )1 4 Ak ak (A .12)eka (A k n ) r i n C •bo - «0 - 0; Im = imaginärer Teil; Re= reeller Teil Bild 2-6. Abtastwcrte in einer Periode von 9 0 von Interesse. I n Gleichung 2-23 lauten diese Funktionen cos k c.ket und sin k (Jot, wobei k von 0 bis K geht. Die Orthogonalität dieser Funktionen bezüglich N regelmäßig (mit gleichem Abstand) angeordneter Punkte im Intervall (-1r/coo, iriceo) wird wie folgt ausgedrückt: N- I cos ksoot, cos mwet. - 0; k sin k.004, sin mied. - 0; k ar in (2-26) ._o N-1 (2-27) ..o N-1 ._o (2-28) sin Kürof, cos meid. - 0 Hier kann ein Satz von N regelmäßigen Punkten [tn] ohne Verlust an Allgemeinheit angenommen werden zu 4, - --11(00 + laithaeN - (2n - N), rIcaoN; n 0 , I, ..., N - I ( 2 - 2 9 ) so daß die Abtastwerte von 1(t) so genommen werden, wie dies in Bild 2-6 veranschaulicht ist. Man achte besonders darauf, daß der N4e Abtastpunkt nicht genau bei rr/coo, sondern etwas vor iricoo liegt. Die Gültigkeit der Gleichungen 2-26 bis 2-28 kann gezeigt werden, indem man die folgenden vier Schritte ausführt: Schritt 1: M a n setze tn nach Gleichung 2-29 in alle drei Gleichungen ein. Schritt 2: M a n wandle die drei Gleichungen durch Substitutionen folgender Form um sin x - (1/2j) (e - e-11; cosx - (1/2) (efr + r a ) ( ( 2 2 - 3 0 ) 3 1 ) Schritt 3: M a n zeige, daß es zum Beweis der drei Gleichungen genügt, zu beweisen, daß N-. 0: E e ..o i - I , 2, . . . , 2K - I (2-32) Schritt 4: M a n zeige, indem man Gleichung 2-32 mit Hilfe von (1-18) summiert, daß dann diese Gleichung nur mit folgender Bedingung gilt N > 2K ( 2 - 3 3 ) Diese Schritte führe man zur Übung selbst durch. Das wesentliche Ergebnis lautet wie folgt: Die Sinus- und Kosinus-Funktionen der Fourier-Reihe sind orthogonal über eine Grundperiode von 4 ( t ) unter der Voraussetzung, daß die Zahl N der gleichmäßig angeordneten Abtastwerte wenigstens das Doppelte der höchsten Ordnungszahl der Harmonischen der Reihe beträgt. Man bat also eine untere Schranke für N, aber keine obere Schranke, und für den Grenzübergang N -+ Ce kann man sagen, daß die Komponenten von fp•(t) dann orthogonal über das ganze kontinuierliche Intervall von - a / w 0 bis tricoo sind. Daher können die Gleichungen 2-26 bis 2-28 auch als Integrale ausgedrückt werden, die den Summen entsprechen. Die auf Gleichung 2-15 folgende Bemerkung ergibt eine Einschränkung für N, die geringfügig über der von Gleichung 2-33 liegt. Da die Zahl der abzugleichenden Koeffizienten in den Gleichungen 2-23, 24 und 25 gleich M = 2 K + 1 ist, muß die Zahl der Abtastpunkte N wenigstens 2 K + 1 betragen. Mit N = 2 K + I ist der Fehler gleich Null, und die Fouriet-Reihe geht durch die Abtastpunkte; wenn N > 2 K + 1, liefert die Fourier-Reihe einen minimalen gesamten quadrierten Fehler. Die untere Schranke N > 2 K + I wird von hier an angenommen werden, obgleich "damit, da M = 2 K + I ungerade ist, der singuläre Fall mit N = M und ungeradem N durch die Form der Gleichungen 2-23 bis 2-25 ausgeschlossen ist. (Das heißt, diese angegebenen Gleichungen enthalten eine ungerade Zahl von Koeffizienten.) 36 Ü b e r b l i c k über du Prinzip der kleinsten Quadrate Übungen An diesen singulären Fall kann man sich anpassen, indem man eine der sich ergebenden Komponenten aus Gleichung 2-23 entfernt. Mit den obigen Einschränkungen über die Zahl der Abtastwerte N können die Fourier-Koeffizienten ak und bk in Gleichung 2-23 in der vereinfachten Form von Gleichung 2-21 formuliert werden. Zunächst ist der Nenner von Gleichung 2-21 entweder N- I N - E0,p2 N.0 E n (2-34) , . cos, kwotp; 0 oder N- I N 0,„2 -I E sing kiekt,: ..0 k 1 , 2, . ( 2 - 3 5 ) , 2IN; k 0 ( 2 - 3 6 ) EA 0 < k < N/2 Dann liefert Gleichung 2-21 für die zu den kleinsten Quadraten gehörenden Koeffizienten in Gleichung 2-23 N- I ak - (2/N) E fp, cos kcool,i; k 0 , 1, „ K ( 2 - 3 7 ) N- I b& = (2/N) E fp, sin kwotp; k = I , 2, K ( 2 - 3 8 ) —0 wobei f e i n e n Abtastwert der periodischen Funktion f (t) zur Zeit t,,, wie in Gleichung 2-29 definiert, bedeutet. Die Formeln für die anderen Koeffizienten in der Tabelle 2-1 können abgeleitet werden, indem man die Formeln in der Tabelle anwendet. Zum Beispiel wo je(t) tos kwor dt bk fp(r) sin kwot dr 2r wo ck = — fp(t)e-12"" dr 7 (240) (241) (242) Diese Gleichungen beziehen sich in klarer Weise auf die Gleichungen 2-37 bis 2-39. Nimmt man an, daß dt in solcher Weise endlich wird, daß es N kleine Abschnitte im Intervall von - r / w 0 bis iticao gibt, dann würde man beim Übergang vom Integral zur Summe substituieren dr . In jedem Fall wird, nach Einsetzen von tp aus Gleichung 2-29, der Nenner von Gleichung 2-21 für k = 0 bis I4/2 .o w" N / 2 ; ak 3 2r (243) Nmo Damit folgt aber Gleicihung 240 aus Gleichung 2-37 usw. 5. Übungen 1. M a n bestimme den Parameter p so, daß die Gerade y = px + 3 im Sinne der kleinsten Quadrate am dichtesten bei der Funktion f (x) . x2 - x + 3 im Intervall 0 < x < 4 liegt. 2. M a n bestimme p so, daß y = px + 3 am nächsten bei dem folgenden Satz von Punkten liegt x 0 I 3 4 3 3 915 Hinweis: Man braucht nur einen Parameter zu bestimmen, denn M = I in Gleichung 2-3 und 2-9. 3. M a n schreibe Gleichung 2-9 an für den Fall, daß ck = 2 —(ak - j bk) N- I I E-N — f,,,(cos krvot, - 1 sin hakt.) N- I E f N ,,.0 (2-39) Die bekannteren Formeln für den Fall, daß fp(t) als kontinuierlich in dem Intervall -4t/ra0 < t < rr/wo bekannt ist, werden in der gleichen Weise abgeleitet und sind vollständig analog zu den diskreten Formeln, z.B. a. ( x ) c o + ei*, eine Gerade b. 7 ( r ) - Co + e1 x + c2 x2, eine Parabel c. 7 ( x ) - co + e1 x + - - - + ckx2 d. j • ( x ) c o + cler + coeu. e. f*(x) c k , + cl sin x + c2 sin 2* 4. M a n finde und zeichne die Gerade der kleinsten Quadrate für die folgenden Punkte 0 I 2 4 (0 8 6 3 0 38 Ü b e r b l i c k über das Prinzip der kleinsten Quadrate 5. M a n finde und zeichne die Parabel der kleinsten Quadrate für die folgenden Punkte x 0 I 2 4 0 I 5 9 Übungen 3 9 15. F ü r die Gleichungen 2-26 bis 2-28 a) führe man die beschriebenen Schritte 1 und 2 durch, b) gebe man den im Schritt 3 geforderten Beweis, c) führe man Schritt 4 durch. 16. E i n e Fourier-Reihe soll an die folgenden Punkte angepaßt werden 0 I 2 6. M a n zeige, wie die Formel für den minimalen mittleren quadrierten Fehler in Gleichung 2-18 aus Gleichung 2-6 abgeleitet wird. 7. U n t e r Heranziehung von Gleichung 2-17 finde man mit der ermittelten Antwort zu Aufgabe 4 den minimalen mittleren quadrierten Fehler für Aufgabe 4. 8. I n gleicher Weise finde man den minimalen mittleren quadrierten Fehler für Aufgabe 5. 9. M a n finde die Koeffizienten der kleinsten Quadrate in y = c0 + n i e + c2e-x für die folgenden Punkte x -I 0 12 I 0 I 2 f(1) I 0 1 a) Wie heißt die Grundfrequenz w0? b) Wie heißt die Fourier-Reihe nach Gleichung 2-23 mit K = 0? c) Wie heißt die Fourier-Reihe nach Gleichung 2-23 mit K = 1? 17. M a n beweise, daß die kontinuierliche oder diskrete Fourier-Reihe für eine gerade periodische Funktion, d.h. bei der fp(t) = f p ( - t ) , eine KosinusReihe ist. 18. M a n beweise, daß die kontinuierliche oder diskrete Fourier-Reihe für eine ungerade periodische Funktion, d.h. bei der fp(t) = - f p ( - t ) , eine SinusRale ist. 19. M a n leite die kontinuierliche Fourier-Reihe für die gezeigte Rechteckwelle ab. 10. M a n benenne die Gruppe der Intervalle über der t-Achse, in denen die Funktionen sin 2rtt und cos 2trt orthogonal sind. 7(x) 11. M a n beweise, daß die Funktionen x und x2 im Intervall - a < x < a orthogonal sind. 1 12. E s ist die glättende Funktion f"(t) = c1t + c2t2 mit folgenden Punkten gegeben 0 2. x 1 -1 - 1 / 2 0 1 / 2 1 2 I 0 1 2 a) Man schreibe Gleichung 2-9 für diesen Fall. b) Man finde die Werte der kleinsten Quadrate von c1 und c2, indem man nicht Gleichung 2-9, sondern das Ergebnis von Aufgabe 11 heranzieht. 13. M a n berechne die Koeffizienten der kleinsten Quadrate für P ( t ) = c l t + c2t2, wenn angenommen wird, daß f*(t) dazu dienen soll, die Funktion f(t) -a cos 2rrt im Intervall -1 < t G 1 anzunähern. 14. M a n leite die Beziehungen in Tabelle 2-1 ab. a) Für ak und bk in Ausdrücken von ck. b) Für ck in Ausdrücken von ak und bk. c) Für ak und bk in Ausdrücken von Ak und crk. 1 20. M a n leite die kontinuierliche Fourier-Reihe für die gezeigte Dreiecksfunk. tion ab. Bei Benutzung der Ableitung dieser Reihe finde man die Antwort für Aufgabe 19. Übungen 40 Ü b e r b l i c k über das Prinzip der kleinsten Quadrate 21. M a n leite die kontinuierliche Fourier-Reihe für die abgebildete RechteckImpulsfolge ab. f(t) 1 -a 0 T a rt 22. M a n nehme an, daß die Dreiecksweile von Aufgabe 20 bei x = -n, -n/2, 0 und n/2 abgetastet wird. Dann leite man mit diesen Abtastpunkten die Fourier-Reihe mit der größten Zahl von Termen ab. Man vergleiche das Ergebnis mit der Reihe für Aufgabe 20. Einige Antworten 1. p - 2 2. p - 2.54 4. 7.80 - 2.031 5. 0.023x2 + 2.28x - 0.355 7. 0.19 8. 0.34 9. co, c1, c2 - -0.42, 0.33, 0.44 10. jedes Intervall von 1 - tu to t - * rl t n/2 12b. c1, c2 - 0, 36/17 13. c1, el 0 , 0.253 16a. 2 x / 3 16b. 2/3 I 6c . 2 19. 2 s r t +I cos - I 2 v r t 5111 -3 4 s i n (2n - 1)x „.1 2 n - I cos(2n - 1)x 20. r22 eia ( 2 A 21. 2° + 3 E n T „ _ i 22. cos x - 1)2 2 r n a cos 2nt T 4 1 Literaturhinweise Daniel, C., und Wood, F. S.: Fitting Equations to Data. New York: Wiley, 1971. eng, II., und McKean, H. P.: Fourier Series and Integrals. New York: Academic, 1972. Edevardr, R. E.: Fourier Series, Bd. 1 und 2. New York: Holt, Rinehart und Winston, 1967. Hammhtg, R. W.: Numerical Methods for ScIentists and Engineers, 2. Aufl. New York: Mc-Graw-H81, 1973. Hanrurth, H. F. : Transmission o f Informätion by Orthogonal Functions. Berlin: SpringerVerlag, 1969. Hildebrand, F. 8 . : Introduction t o Numerical Analysis, Kap. 7. New York: McGraw-Hill, 1956. Kelly, L. H a n d b o o k o f Numerical Methods and Applications, Kap. 5. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1967. Ku.fner, A., und Kadlec, 1.: Fourier Series (übers. v. 0. A. Toombs). London: Illiffe Books, 1971. Nietton, K. L.: Methods in Numerical Analysis, Kap. 8. New York: Macmillan, 1967. Seeley, R. T.: An Introduction to Fourier Series and Integrals. New York: W. A. Benjamin, 1966. Fourier- und Laplace-Transformationen 4 3 KAPITEL 3 Überblick über kontinuierliche Transformationen, Übertragungsfunktionen und die Faltung 1. Fourier- und Laplace-Transformationen Die Fourier-Transformation, eine Erweiterung der gerade diskutierten FourierReihe, ist ein weiteres Verfahren, das ausgiebig in der Ingenieurwissenschaft gebraucht wird. Sie ist wie folgt definiert 2w0 w 0 Bild 3-1. Diskretes Amplitudenspektrum nutedichen Spektrum verschmelzen. Um dies zu erreichen, darf die Grundperiode 21r/wo unbegrenzt anwachsen, indem man wo 0 gehen läßt. Schreibt man A w für (00, um das verschwindende Frequenzintervall hervorzuheben, so kann die Gleichung 3-2 wie folgt geschrieben werden: fr(r) - E t c a , " " " FIM- f f(OeNdt; ( 3 - 1 ) Man nennt F(jw) die Fourier-Transformierte von f(t). Da F(jw) eine Funktion von w anstelle von t ist, sieht man die Fourier-Transformation als eine Operation an, die aus f(t) eine Funktion F(jw) im Frequenzbereich erzeugt, wobei der Frequenzinhalt von f(t) explizit erscheint. Zur Rechtfertigung dessen, daß man das Wort „Frequenz" mit der Variablen w verbindet, kann man zeigen, daß F(jw) eine A r t von „kontinuierlichem Koeffizienten" der Fourier-Reihe wird, wenn die Periode der periodischen Funktion fp(t) unbegrenzt anwächst (und die resultierende Funktion f(t) in der Grenze aperiodisch wird). Der Beweis verläuft wie folgt. E wo dr br)-Ec„ei."`; 1-— _ fo(r)eme , (3-2) whn 2r h e Hier ist die Periode von 4 ( t ) durch 2n/wo sec gegeben (wobei wo im Bogenmaß pro Sekunde gemessen wird) und der harmonische Inhalt von fp(t) ist nicht eingeschränkt. Jedes cn ist der Wert der komplexen Frequenz-Komponenten von fn(t) zur Kreisfrequenz nwo. Wie in Bild 3-1 veranschaulicht, kann daiAmplitucfenspektrum von fp(t) gezeichnet werden, indem man jeden einzelnen Betrag von Icn1 über der w-Achse aufträgt. Da, wie gezeigt, cn die komplexe Konjugierte von c_n ist, muß das Amplitudenspektrum gerade sein, dh. symmetrisch bezüglich w = 0 in solcher Weise, daß 1;11= 1c_,„ Zur Ableitung von F(jw) muß man nun wo, das Intervall auf der w-Achse, so gegen Null gehen lassen, daß die Linien in Bild 3-1 schließlich zu einem konti- 1 1 ) f I r / A s 21r r i ä . , E 21r [ L , " , f(r)e"2"" f(r)e->"" A u ( 3 - 3 ) (Im Integranden wurde die Variable t in r umbenannt, um Verwirrung zu vermeiden.) Der Grenzübergang für Aw gegen Null kann nun in Gleichung 3-3 durchgegärt werden, indem man beachtet, daß das Produkt n Aw = n wo wie in Bild 3-1 immer gleich w ist. Die Grundperiode von fp(t) wird bei diesem Grenzübergang unendlich, so daß fp(t) keine periodische Funktion mehr ist und genau zu f(t) wird. Der Grenzwert lautet: Zunächst drücken w i r eine periodische Funktion fp(t) durch die komplexe Fourier-Reihe nach Abschnitt 4 im Kapitel 2 aus: 40 ( rwrilw JU) . 2 r ss-o - f ( r ) e - h e " d r i e f r " ` atü 1: [1: f(r)e-b kt"dr}e . 1 • e i (Fh ü ;u f i t ) .• —2r f . F ( M o . f f(t)e-i'di ( 3 4 ) Hierbei wurde F(w) von Gleichung 3-1 herangezogen, um das Integral in den eckigen Klammem zu ersetzen. A u f diese Weise ergibt sich also die Rechtfertigung, F(w) das Spektrum von f(t) zu nennen: F(jw) ersetzt den Satz [c,, [ von FourierKoeffizienten bei dem Grenzübergang für Aw gegen Null. Das Amplitudenspektrum IF(jw)I ist jetzt, wie in Bild 3-2 veranschaulicht, eine kontinuierliche Funk- Fourier- und Laplace-Transformationen 44 Ü b e r b l i c k über kontinuierliche Transformationen 4 5 f f ( t ) + f (-11cos °JE di - j L f ( 1 ) - ( - t)) sin tot dt (3-7) Man kann jetzt leicht sehen, daß FOto) reell und gerade ist, wenn und nur wenn f(t) gerade ist, d.h. wenn f(t) = f(- t ) ; 2. F u c o ) imaginär und ungerade ist, wenn und nur wenn f(t) ungerade ist, d.h. wenn f(t) = -f(---t); 0 Bild 3-2. Kontinuierliches Amplitudenspektrum 3. d e r Realteil von F(jw) gerade und tion. Das Ergebnis in Gleichung 3 4 ist das wohlbekannte Fourier-Transformationspaar. Die Dualität des Paares läßt sich erkennen, indem man die Frequenzvariable in Form von v = w/2n ausdrückt. Die Formeln werden dann bis auf das Vorzeichen von j gleich. Auf diese Weise erzeugt die Fourier-Transformierte das Spektrum von f(t), wenigstens sofern das Integral in Gleichung 3-1 konvergiert. Man kann leicht sehen, daß das Integral in der Tat absolut konvergieren wird, wenn das Integral I f (3-5) I f (01 dt konvergiert, da der Tetra e"-jwf immer den Betrag Eins hat. Wenn deshalb f(t) nicht schnell genug mit wachsendem t abnimmt, wird F(w) also nicht existieren. Ersichtlich hat keine periodische Funktion diese Eigenschaft des Abnehmens, aber alle einzelnen Impulse oder impulsartigen Funktionen, die zu irgendeiner endlichen Zeit auf Null abfallen, haben sie, und in gleicher Weise verhalten sich andere Funktionen, die „schnell genug" abfallen. Zum Beispiel lautet die FourierTransformierte von f(t) e -at für t > 0 (und f(t)= 0 für < 0 ) : F(jw) f ree-Mdt (3-6) jco + a Eine andere wichtige Eigenschaft der Fourier-Transformierten ist, daß sie, wie die Fourier-Reihe, die \ gesamte notwendige Information enthält, um f(t) zu rekonstruieren. Dies zeigt Gleichung 3 4 an, welche die Rekonstruktions-Formel explizit wiedergibt. Man kann weitere interessante Eigenschaften finden, wenn man den Integrenden in Gleichung 3-1 in Real- und Imaginärteil entwickelt: F(jw) r = f d t f ( i ) cos wr de - j f f (Oslo cot (lt 4. d e r Imaginärteil von Faso) ungerade ist. Auch das Amplitudenspektrum IF(jto)l ist nur die Summe der Quadrate des Realund des Imaginärteiles von Gleichung 3-7, d.h. sein Quadrat lautet FU20) 2 ( f «- . f °leas ox (lt) + 2 U--; (3-8) f(t)• cotelty Damit kann man leicht zeigen, daß F(.4)1 F ( -ho) I ( 3 - 9 ) d.h. daß das Amplitudenspektrum eine gerade Funktion ist, wie dies in Bild 3-2 veranschaulicht wurde, genauso wie dies in Bild 3-1 für das diskrete Spektrum gilt. Das quadrierte Amplitudenspektrum IF(j6)12 wird das Energiespektrum von f(t) genannt. Dies enthält eine Verallgemeinerung des physikalischen Energiebegriffes von Kapitel 13, wo das Energiespektrum mehr im einzelnen dsikutiert wird. Die Laplace-Transformation kann als eine Modifikation der Fourier-Transformation angesehen werden, um auch die Transformation einer Funktion zu erlauben, die nicht notwendigerweise mit wachsendem t verschwindet. Angenommen, das Fourier-Integral F(jw) - f f ( t ) e - i ' dr ( 3 - 1 0 ) konvergiert für ein bestimmtes f(t) nicht. Um die Integration doch durchführen zu können, kann man f(t) mit einer abfallenden Exponentialfunktion e-elfl multiplizieren, so daß mit a > 0 das Produkt f(t)e-alf I jetzt mit wachsendem oder fallendem t verschwindet. Ferner können, obwohl dieser Schritt nicht unbedingt notwendig ist, die meisten physikalischen Probleme so definiert werden, daß f(t) bei t = 0 beginnt und für t < 0 gleich Null ist, so daß die Betragsstriche in e I entfallen können. Mit diesen Änderungen wird die Fourier-Transformation in der obigen Gleichung 3-10 zu F(a + jco) - 1 f (t)e-("1" di ( 3 - 1 I) Fourier- und Laplace-Transformationen 46 Ü b e r b l i c k über kontinuierliche Transformationen Mit der Einführung der komplexen Variablen s = a + jw erhält man die bekannte Form der Laplace-Transformation: F(s) f (t)e' (lt F(s)e"" F(«'+ Jay)e d a f . ,-F(s)e" e l f ) - Einheitsschritt bei t 0 Beispiel 3-1: Der abgebildete Einheitsschritt zur Zeit t = 0 hat keine FourierTransformierte, da er nicht mit wachsendem t verschwindet. Er hat jedoch eine Laplace-Transformierte: U(s) - ( 1 ) e - 1 9 1 (3-13) Wie oben gezeigt, kann sie auch als die Fourier-Transformierte von u(t)e-at angesehen werden, welche, wie in Gleichung 3-6 abgeleitet, ersichtlich dieselbe ist wie in Gleichung 3-13 mit s = a+ jw. Man kann das Obige i n einigen wichtigen Punkten zusammenfassen, um die Fourier- und die Laplace-Transformation miteinander zu vergleichen: 1. D i e Laplace-Transformierte F(s) ist genau das Spektrum (die Fourier-Transformierte) von f(t)e-at, wenn man annimmt, daß f(t) = 0 ist für t < 0. 2. I s t f(t) = 0 für t < 0 und existiert FQw), dann ist FQw) gleich F(s) mit s = j w, d.h. mit a = 0. (Man beachte, daß nur in diesem Falle der übliche Gebrauch des Buchstaben „ F " für beide Funktionen streng gerechtfertigt ist.) 3. B e i der Fourier-Transformation ist es nicht erforderlich, daß 1(t) = 0 ist für t < 0. 4. D i e Laplace-Transformation kann für eine große Vielfalt praktischer Funktionen f ( t ) durchgeführt werden, für welche die Fourier-Transformation nicht existiert. In der Praxis wäre es mühsam, die Gleichung 3-4 zu benutzen, um die inverse Transformierte zu FQw) oder F(s) zu finden. Erinnert man sich daran, daß F(s) (3-14) Dabei ist s = a + jw. Indem man die Integrationsvariable w zu s ändert und Gleichung 3.14 mit eat multipliziert, erhält man I(r) 1 7 die Fourier-Transformierte von f(t)e-«t ist, so ergibt Gleichung 3-4 die inverse Laplace-Transformation: (3-12) Somit ist F(s), die Laplace-Transformierte von f(t), auch die Fourier-Transformierte von f(t)e-«t, wobei a der Realteil von s ist. Offensichtlich ist Gleichung 34 noch als Formel für die inverse Transformation gültig, da sie eine Möglichkeit schafft, f(t)e-at zu finden, aus dem man f(t) separieren kann. 4 F ( s ) e " els 1_,. (3-15) Hier findet die Integration nun über einem Bereich statt, in dem a konstant ist, d.h. entlang einer Geraden, die in der komplexen s-Ebene parallel zu der jw-Achse verläuft. Der Residuen-Satz der Funktionentheorie ist häufig geeignet, das Integral in Gleichung 3-15 einfach zu berechnen, siehe z.B. [Churchill 1948, Goldman 1949], aber um Zeit zu sparen, wird das „Transformationspaar" der Form [f(t), FQw)] oder [f(t), F(s)] häufig tabelliert, so daß man mit gegebenem F(s) oder FÜG)) aus der Tabelle 1(t) einfach entnehmen kann, und umgekehrt. Tabelle 3-1 enthält eine solche Auflistung mit Beispielen für beide Transformationen, die natürlich im wesentlichen gleich sind, wenn beide existieren. Anhang A enthält eine ausführlichere Tabelle von Laplace-Transformierten. Einige Bücher enthalten Tabellen von Laplace-Transformierten, die noch ausführlicher sind und folglich leichter zu gebrauchen, z.B. [Gardner und Barnes 1942, Nixon 1965, Roberts und Kaufman 1966, Holbrook 1966]. Man beachte jedoch, daß sehr viele Turnsformationspaare unmittelbar aus Tabelle 3-1 folgen, indem man eine der numerierten Zeilen mit einer der mit Buchstaben versehenen Zeilen kombiniert. Zum Beispiel erhält man ein Transformationspaar, wenn man die Zeilen 1 und F heranzieht: f ( t > 0) 2 c o s a t ; F ( s ) - 2s/(s2 + a2) ( 3 - 1 6 ) In einem anderen Beispiel könnte man die Zeilen 6 und E benutzen, um die Fourier-Transformierte von Zeile G zu erhalten, die existiert, auch wenn die Fourier-Transformierte einer Sinuswelle nicht existiert: > 0) - e e sin at; F ( j w ) « I[( ft° + a)2 + «2) ( 3 - 1 7 ) Hier erhält man wie schon gesagt die Laplace-Transformierte aus den Zeilen 6 und E und ersetzt dann s durch jw. Übertragungsfunktionen 48 Ü b e r b l i c k über kontinuierliche Transformationen Fourier Transformierte Zeile F u n k t i o n Laplace Transformierte 0 f ( t ) 4/(1) 2 f ( 1 ) + 3 d f ( 1 1 di F(s) Ab(s) F(s) + G(s) sF(s)- f(0+) KN) AF(jw) F( /w) + G( jw) josF( jw) 4 F(s)/s F(iii)aw -4F(s)Ids F(s + a) e'F(s) oF(as) jdF(Mbito Futi + a) F( Jus) aF(ajw) F( jos) + F(-%w) (Ad* 5 1 / ( t ) 6 I f ) : a >0 7 f ( I - a): a > 0 8 f (t a > 92 + f ( - t ) A M I O • u(/)4 • t ' E s i n n t • c o s at • e - 4 1 'in at H C e " « sin (est - 40); C - V.7474si N . tett-1 a/a e-.1 I 1 1/s n!/s"1 I 1(s + a) «As' + ex2) si(I2 + «2) a I + er)2 + ras/((s +a)2 + a21 9 tialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beschreiben kann. Eine allgemeine Form einer solchen Gleichung ist Tabelle 3-1. Kurze Tabelle der Transformationen f 4 11()w+ a) + 0)2 + «21 afiodl( fas + a)2 + «21 Anmer- I/(o) - 0 fort < 0 an all lines ollere F(s)issiven. In particular, an line 7. f(t - al - 0 kungen: f o r p - < 0. i.e.. fort < o. 2In line 9. of IM . 0 for r < 0. then f (t) + I (- rlis anvnen funcrion. 7.71/1 ine impulse function £U) is the limit as a 0 of the function at right. 0 • 4Thestepfunetion h definedinExample 3-1. 2. Ü b e r t r a g u n g s f u n k t i o n e n Der Begriff der Übertragungsfunktion hat sich in der Systemanalysis als sehr hilfreich erwiesen. Systeme reagieren im allgemeinen auf einen Satz von „Eingangs"Funktionen, indem sie einen Satz von „Ausgangs"-Funktionen erzeugen. Hier werden wir nur Systeme analysieren, die ein einziges Eingangssignal f(t) und ein einziges Ausgangssignal g(t) haben, wobei das letztere eine lineare Funktion von f(t) in dem nachstehend beschriebenen Sinne ist, aber die Erweiterung auf Systeme, in denen jedes Ausgangssignal gi(t) eine Funktion eines Satzes von Eingangssignalen fi(t), f2(t) usw. ist, stellt eine geradlinige Fortsetzung dar. Der Begriff der Übertragungs-Funktion ist im allgemeinen bei linearen, zeitinvarianten Systemen anwendbar. Dies sind Systeme, die man durch lineare Differen- 11 [A, —d" + • - • + 4 1 — dt+ A o g ( t ) - { 8 „ , d r " + • • • + BI —d + B o j f (t) (3-18) in der jeder Term in den eckigen Klammern ein mit konstanten Koeffizienten multiplizierter Differentialoperator ist. Indem man Zeile 3 von Tabelle 3-1 heranzieht, kann die Transformierte von Gleichung 3-18 gewonnen werden, indem man d/dt durch jw ersetzt: [A.(jcor + • • • + AI jw + A ol G( jw) = (B.,( jw)„ + + BI jw + Bol F( je)) (3-19) Die resultierende Übertragungsfunktion lautet somit H(jw)- G(jw)/F(j's) - E0 8,(mi/E 4,(floi r . (3-20) H(jw) beschreibt das System durch einen Ausdruck, der den Quotienten der Transformierten des Ausgangssignals zu der Transformierten des Eingangssignales darstellt, wie dies in Bild 3-3 veranschaulicht ist. FU ) G(j.) F(jw)H(jw) BIM 3-3. System mit Übertragungsfunkt init Man beachte, daß mit Zeile 3 von Tabelle 3-1 die Laplace-Transformierte von Gleichung 3-19 die gleiche wie die Fourier-Transformierte ist, wenn die Anfangswerte zu Null angenommen werden. Daher kann eine Übertragungsfunktion H(s) in der gleichen Weise abgeleitet werden, indem man die Anfangswerte von f(t), g(t), und Irer Ableitungen vernachlässigt.Obgleich,wie oben erwähnt, F(jw) und F( s) nicht immer gleich sind, ergibt sich in dem Falle, wenn sowohl Haut) als auch H(s) existieren, in Wirklichkeit die gleiche Funktion, und man erhält H(jw) aus 1-1(s), indem man jw anstelle von s schreibt. Beispiel 3-2: In dem gezeigten System ergibt sich infolge eines Einheitssprunges bei t = 0 die Antwort g(t) = 2e-at. Für F(s) = 1/s ist deshalb G(s) = 2/(s+ a), und die Übertragungs-Funktion wird zu H(s) = 2s/(s + a). 0 Die wichtigste Eigenschaft der Übertragungsfunktion eines linearen Systems besteht darin, daß sie nur von dem System und nicht von der Anregungsfunktion f(t) abhängt. Dies ist in Gleichung 3-20 ersichtlich, da die Faktoren A und Ei einwandfrei nicht von f(t) abhängen. In dieser Beziehung ist die Übertragungsfunk- Übertragungsfunktionen 50 Ü b e r b l i c k über kontinuierliche Transformationen tion eng verwandt mit dem Begriff der Impedanz in einem elektrischen oder mechanischen System. Die wohlbekannten elektrischen Impedanzfunktionen [siehe z.B. Kap. 2 von Gardner und Barnes 1942] sind in der Tabelle 3-2 dargestellt. Da jedes lineare mechanische System ein elektrisches Analogon hat, werden die elektrischen Funktionen für die Veranschaulichung ausreichen. Die Impedanzfunktion ist das Verhältnis der Transformierten des Spannungsabfalles an dem Element zu der Transformierten des Stromes durch das Element, wenn man verschwindende Anfangswerte annimmt. Man braucht nur das Kirchhoffsche Gesetz anzuwenden, welches besagt, daß die algebraische Summe der Spannungsabfälle in jeder Schleife, welche diese Elemente zusammen mit Spannungsquellen enthält, gleich Null sein muß, um ein entsprechendes H(s) in der Form von Gleichung 3-20 abzuleiten. 5 1 1/sC + R) 1(s) = Ei(s), und in diesem Fall ist die Transformierte der Ausgangsspannung Eo(s) = 1(s)/sC. Deshalb ist die Übertragungsfunktion 11(s) E 0 ( s ) Et(s) L C s 2 + RCs + 1 (3-22) Die Schaltungen in den obigen Beispielen werden manchmal Filter genannt, da sie im allgemeinen einigen Frequenzkomponenten von ei(t) erlauben, „hindurchzugehen", während andere Komponenten abgeschwächt werden. Die Charakteristiken zweier gebräuchlicher Filterarten, nämlich des Tiefpaßfilters und des Bandpaßfilters, sind in Bild 34 veranschaulicht. Tabelle 3-2. Elektrische Impedanzfunktionen Tief paß Lineares Element Widerstand it a d I R -F1- Induktivität sL Kapazität I /sC H Bild 3-4. Tiefpaß- und Bandpaß-Filtercharakteristiken Beispiel 3-3: Die Anwendung des Kirchhoffschen Gesetzes auf das gezeigte System ergibt (s L + R) • 1(s) = Ei(s), wobei 1(s) die Transformierte des Stromes ist. Man Der Betrag der Übertragungsfunktion IHQw)I ist als Amplitudenantwort des Filters bekannt, und der entsprechende Winkel von HQw) wird Phasengang genannt; t h . wenn R(w) und 1(w) die Real- und Imaginärteile von Haco) sind M i o ) = R(se) + jffio), H )— (3 +R sL 3 - Amplitudenantwort = [R2(w) + 12(0111 beachte, daß nach der üblichen Übereinkunft der Eingangsspannung Ei(s) die entgegengesetzte Polarität zu geben ist. Die Transformierte der Ausgangsspannung folgt zu Eo(s) = R • 1(s), und deshalb ergibt sich die Übertragungsfunktion zu R ( 2 3 ) dann folgen e.(t) E e ( s ) Es(s) Bandpa3 Impedanzfunktion (3-21) Beispiel 3-4: In dem hier gezeigten System ergibt das Kirchhoffsche Gesetz (s L + Phasengang = tan-I[1(41R(w)] ( ( 3 - 2 4 ) 3 - 2 5 ) Jede Übertragungsfunktion ist eine rationale Funktion von s (d.h. ein Verhältnis von Polynomen in s), wie es durch Gleichung 3-20 angegeben wird. Daher kann H(s) im allgemeinen in verschiedener Weise in Faktoren zerlegt und durch entsprechende Blockschaltbilder veranschaulicht werden. Zum Beispiel ist der Fall, daß H(s) ein einfaches Produkt ist, auf der linken Seite von Bild 3-5 veranschaulicht. In diesem Falle ist H(s) das Produkt von H1(s) und H2(s). Das Bild impliziert eine Zwischenfwilction x(t), die das Ausgangssignal des ersten Blockes und das Eingangssignal des zweiten Blockes darstellt. Ein einfaches lineares Rückkopplungssystem ist rechts im Bild 3-5 wiedergegeben. In diesem Rückkopplungssystem wird das Ausgangssignal g(t) durch einen Teil des Systemes hindurch wieder zurückgeführt und zu dem Eingangssignal f(t) addiert, 52 Ü b e r b l i c k über kontinuierliche Transformationen E(s) F(s ) F(s) (s) 112(s) Faltung c(s) Daher wird die inverse Transformierte h(t) der Übertragungsfunktion die Impulsantwort des Systems genannt; sie ist also die Antwort auf einen Einheits-Nadelimpuls zur Zeit t = 0. P O • h(t) 1 HI 1 - II1112 wie dies durch das Bild angedeutet wird. Mit H1(s) und 1-12(s) findet man die gesamte Übertragungsfunktion aus den Gleichungen 3 - 2 f i t ) h(t - r)dr ( 3 - 3 0 ) Der Stern bezeichnet dabei die Faltungsoperation und h(t) ist die oben beschriebene Impulsantwort. Diese Operation ist äquivalent zu einer Multiplikation im Frequenz- oder s-Bereich. Bild 3-5. Blockschaltbilder von Übertragungsfunktionen ( 3 Das Faltungsintegral ist nun wie folgt definiert: c(s) HHINZ G(s) = HI(s)E(s). 5 6 ) und (3.27) E(s) F ( s ) + H 2(s)G(s), wobei E(s) das Zwischensignal in Bild 3-5 ist, das manchmal ,Fehlersignal:' genannt wird. Eliminiert man jetzt E(s) aus den Gleichungen 3-26 und 3-27, so kann man das Ergebnis wie folgt schreiben Ein Beweis für die letzte Behauptung verläuft wie folgt (hier werden FourierTransformierte verwendet, Laplace-Transformierte würden es genausogut tun): Da h(t) die Antwort auf den Impuls 6(t) ist, der genau zur Zeit t = 0 auftritt, nimmt man zuerst an, daß h(t) = 0 für t < 0. Daher muß h(t-r) im Integranden von Gleichung 3.30 für r > t gleich Null sein, und infolgedessen kann als obere Integrationsgrenze Unendlich statt t gesetzt werden. f(t) • h(t) - f f ( r ) h ( t - r)dr (3-31) Die Transformierte der Faltung ist jetzt 11(s) - G(s) ( H ( 130 F(s) 1 - H i(s)H 2(s) 2 8 ) f (t)• h(t)e." dt f ( r ) h ( t - r ) e m dr dt Wie noch gezeigt wird, ist die Analysis der digitalen Filterung und Rückkopplung eng mit diesen Beziehungen verwandt, und der Begriff der Übertragungsfunktion bleibt in weitem Maße anwendbar. (3-32) Mit der Substitution x = t - r wird aus Gleichung 3-32 das Produkt zweier Integrale, d.h. -I (t) • h e 4 ' dt = f f f (r)h(x)e-.4" e i l ' dr ds 3. Faltung ▪ Eng verwandt mit der Vorstellung der Übertragungsfunktion ist die der Faltung, die besonders nützlich ist, um das Verhalten linearer Systeme zu verstehen. Das Faltungsintegral leitet man von der inversen Transformation der Übertragungsfunktion in folgender Weise ab. Das Eingangssignal für ein System mit der Übertragungsfunktion H(s) sei die Nadelimpuls-Funktion 6(t) zur Zeit t = 0 (d.h. ein Düse-Impuls). Gemäß Zeile A von Tabelle 3-1 ist die Transformierte des Eingangssignals dann F(s)= I. Infolgedessen ist das Ausgangssignal f f (r)e-k • dr f « . h(x)e•sx dx ▪ F ( jr.) H (fru) ( 3 - 3 3 ) Damit ist bewiesen, daß die Faltung f(t) • h(t) und das Produkt F(jw) l i ( j w ) ein Transformationspaar sind. Aus dem obigen Beweis folgt sofort, daß, da das Produkt Fac..0 • H(jc.)) vertauscht werden kann, dies auch mit der Faltung geschehen kann, so daß sich für jedes lineare System ergibt: G(s) = F(s)H(s) = H(s), und g(I) h ( t ) (3.29) :0) - Mt) • f(01 - I (0 • h(01 (3-34) Pol-Nullstellen-Verteilungen 54 ü b e r b l i c k über kontinuierliche Transformationen 6(r) 1 h ( t H(s) C Beispiel 3-5: Man nehme in dem hier dargestellten System an, daß die Antwort h(t) auf einen Einheits-Nadelimpuls ein Einheitssprung ist, so daß die Übertragungsfunktion mit Tabelle 3-1 lautet: 1-1(s) = 1/s. (Solch ein System wird eine „Abtast- und Halte-Schaltung" oder aus ersichtlichen Gründen ein „idealer Integrator" genannt). Nehmen wir an, daß jetzt die Antwort auf ein Eingangssignal f(t) = e-a1 gewünscht wird. Natürlich kann die Antwort leicht mit Tabelle 3-1 erhalten werden, indem man bemerkt, daß F(s) = 1/(s+ a) und deshalb G(s) = F(s) 1-1(s)= 1/[s(s + a)]. Mit den Zeilen 4 und D dieser Tabelle ergibt sich I e r cts - -I (I - cas) 5 Im Prinzip können Polynome immer in Faktoren zerlegt werden, und damit kann I-1(s) in der Pol-Nullstellen-Form geschrieben werden: ) 0 g(t) - 5 ( 3 - 3 5 ) (Man beachte, daß die untere Grenze der Integration gleich Null ist, da der Integrand für r < 0 gleich Null ist.) (s- q,)(s - qo) • • • (s - q„,) ( 3 PI(S — P2) • • — 3 8 ) pn.) Die Konstante C vor dem Bruchstrich ist gleich 13n/Am, und die Werte p und q hängen jeweils von A und B ab. Die Wurzeln des Zählers, d.h. q1% sind die Nullstellen von H(s) und Pip n , sind die Polstellen von 14(s). Die Pol- und Nullstellen von H(s) können reell, komplex oder gleich Null sein, wie dies für jede Polynomfunktion gilt. Eine Eintragung der Polstellen und Nullstellen von FI(s) in der komplexen s-Ebene ergibt eine geometrische Deutung der Amplitudenantwort und des Phasenganges, die in den Gleichungen 3-24 und 3-25 definiert wurden. Mit H(jw) in der Form von Gleichung 3-38 muß folgende Amplitudenantwort gelten I H(fru)1 I c • ( f i ° q 1 ) • • • (lw - q. )I (1“' - P1) • • • (fra - p..) —Q i I • • • f r o q . (3.39) I (340) i f i d Das Faltungsintegral ist für diesen Fall hier veranschaulicht. Wie gezeigt ist der Integrand das Produkt von f(r) und h(t -r), wobei die zweite Funktion bei r = t beginnt und sich „rückwärts" über die r-Achse erstreckt. Das Faltungsintegral ist daher gleich der gepunkteten Fläche in dem Bild, dh. f(t) • h(i) - 1 e - " ( 1 ) d r - (I - es') Das Ergebnis ist genau das gleiche wie in Gleichung 3-35. 4. P o l - N u l l s t e l l e n - Ve r t e i l u n g e n Die Gleichung 3.20 beschreibt H(jw) oder 1-1(s) als eine rationale Funktion, d h als ein Verhältnis von Polynomen: H(s) B o + Bus + • • • + Bos' Ao + Als + • • • + Ao,s" (3-37) l l 1 4 , 1 und jeder Teil der Form tiw-xl kann gedeutet werden als ein Alyrtand in der sEbene, der von einem Punkt w auf der imaginären Achse zu dem Punkt x reicht. Auf diese Weise wird die Amplitudenantwort ein Verhältnis von Entfernungsprodukten in der s-Ebene. In ähnlicher Weise wird der gesamte Phasengang eine algebraische Summe von Winkeln. Diese Eigenschaften werden am besten durch ein Beispiel veranschaulicht. Beispiel 3-6: Man trage folgende Pol-Nullstellen auf H(s)- (3-36) P Cs C s s2 + 2s + 5 ( s + 1)1 + 22 (341) Diese übertragungsfunIttion hat eine einzige Nullstelle bei s = 0 und Polstellen bei s = - I ± j 2. Sie sind zusammen mit der Amplitudenantwort und dem Phasengang in Bild 3-6 gezeigt. Man beachte, wie sich Amplitude und Phase von H(jw) ändern, während sich der Arbeitspunkt in der s-Ebene auf der jw-Achse nach oben bewegt. Reihenwerte sind für co = 3 im Bild angegeben. Die Konstante C in Gleichung 341 beeinflußt die Pol-Nullstellen-Verteilung nicht, und daher karin nur die normierte Amplitudencharakteristik fH(jw)l/C aus dem Pol-Nullstellen-Diagramm entnommen werden. Die Verteilung in der s-Ebene ist sowohl für den Entwurf als auch für die Analyse linearer Systeme nützlich. Im Entwurfsprozeß denkt man daran, die Pol- und Nullstellen so in der s-Ebene zu plazieren, daß gewisse Ziele erreicht werden, wobei H(s) dann aus Gleichung 3.38 bestimmt wird. In diesem Zusammenhang hat Übungen 56 Ü b e r b l i c k über kontinuierliche Transformationen s-ebene 5 7 Liegt einer der Pole, z.B. pn = an + jwn in der rechten Halbebene, so daß an po- (Arbeitspunkt bei 3 e = 3) sitiv ist, dann wird sein Beitrag zu der Impulsantwort j a n +jw")I unbegrenzt anwachsen und damit letzten Endes eine instabile Impulsantwort verursachen. In gleicher Weise findet man, wie i n der Eigenschaft 4 festgehalten, für komplexes a/ pn und Wn * 0, daß die Impulsantwort auch einen Schwingungsfaktor eiwnt enthält. 2 Die Haupteigenschaften jeder linearen Übertragungsfunktion können daher durch Betrachten der Polstellen und Nullstellen in der s-Ebene erkannt werden. 1/111..) 5. Übungen 111(33)1 3 »Sjil - 1. Man erläutere den Grund für die Feststellung "Wenn f(t) eine Fourier-Reihe hat, dann hat es keine Fourier-Transformierte, und umgekehrt". a -b 2. Bild 3-6. Pol-Nullstellen-Diagramm, Verstärkung und Phasenverschiebung von 11(s). Cs/(s2 + 2s + 5) Man diskutiere'die Wirkungen der Unterschiede zwischen der Laplace- und der Fourier-Transformation. 3. Man beweise, daß, wenn f(t) eine Fourier-Transformierte hat, auch A • f(t), mit A als Konstante, eine Fourier-Transformierte hat. das s-Ebenen-Diagramm einige bemerkenswerte Eigenschaften: 4. 1. P o l - und Nullstellen müssen entweder reell sein oder in konjugierten Paaren erscheinen. Man beweise die Zeilen 3 und 5 der Tabelle 3-1 für die Laplace-Transformation. 5. Man beweise die Zeilen 6 und 7 der Tabelle 3.1 für die Former-Transformation. 2. E i n e Polstelle (Nullstelle) auf der jw-Achse bedeutet, daß IH(w)I bei einer speziellen Frequenz unendlich (Null) ist. 3. E i n e Polstelle in der rechten Halbebene verursacht Instabilität in dem Sinne, daß die Antwort auf ein impulsartiges Eingangssignal anwachsen statt abklingen wird. 6. M a n leite die Fourier-Transformation in Zeile 1 der Tabelle 3-1 ab, indem man Gebrauch von den Zeilen 9 und D macht. 7. D u r c h Benutzung der Zeilen 1, 5 und D von Tabelle 3-1 finde und skizziere man das Amplitudenspektrum von f(t) = 3te-2t • u(t). 4. N i c h t auf der reellen Achse befindliche Polstellen verursachen am Ausgang Oszillationen. 8. M a n finde die inverse Laplace-Transformierte von F(s) = 1/[(s + a) (s + b)1, indem man F(s) so in Partialbrüche zerlegt, daß F(s) = A/(s + a) + B/(s b ) . Die erste dieser Eigenschaften folgt aus der Tatsache, daß die Koeffizienten im Zähler und Nenner von H(s) reell sind. Die Werte p und q in Gleichung 3-38 müssen reell oder paarweise konjugiert sein, damit die Werte A und B reell sind. Die zweite Eigenschaft ergibt sich daraus, daß dann die Entfernung eines Arbeitspunktes zu einer Pol- oder Nullstelle bei einer besonderen Arbeitsfrequenz auf Null abnimmt, wie dies in Bild 3-6 bei w = 0 der Fall ist. 9. M a n finde die Laplace-Transformierte der unendlichen Impulsfolge aus Einheitsnadelimpulsen zu den Zeiten t = 0, T, 2T, . . . Hinweis: Man gebrauche die Zeilen 7 und .4 von Tabelle 3-1. Die durch die Eigenschaft 3 angedeutete Instabilität kann nachgewiesen werden, indem man H(s) in Gleichung 3-38 in eine Summe von Partialbrüchen entwickelt. Wenn 11(s) ein echter Bruch ist und keine mehrfachen Pole vorhanden sind, d.h. wenn alle p verschieden sind, dann lautet die Entwicklung H(s) — 3 - PI + s - (72 + (342) + C P - P. s 2 10. M a n skizziere das Amplitudenspektrum der abklingenden Sinuswelle, die durch f(t) = r a t cos at • u(t) gegeben ist, bei Wahl von (a, a) = (1, I), (2,1),(1, 2), (2, 2). Man diskutiere die Wirkung der Änderung von a und a. 11. We n n g(t) = A • e-at für t 3 0 die Antwort auf einen Einheitsimpuls am Eingang zur Zeit t = 0 ist, wie lautet dann die Übertragungsfunktion? 12. W i e lautet das Ausgangssignal, wenn die Übertragungsfunktion gleich H(jw) = 1/0w - w2) ist und ein Einheitsnadelimpuls zur Zeit t = 0 zugeführt wird? 13. F ü r die Übertragungsfunktion I1(s) = 1/(s2 + as + b) zeige man, daß die Ant- 58 Ü b e r b l i c k über kontinuierliche Transformationen wort auf eine Nadelimpulsfunktion oszillieren wird, dann und nur dann, wenn die Funktion s2 + as + b komplexe Wurzeln hat. Hinweis: Man benutzte Partialbrüche und die Zeile D von Tabelle 3-1. 14. M a n leite die gesamte Übertragungsfunktion G(s)/F(s) des gezeigten Netzwerkes ab. 5. Übungen II. A + 5 9 a) 12. I 14. H = / ( H 2 + H + 1 ) 15. H ( s ) = A a s l ( s + a ) 2 + cr11-I 16. e"' 19. (sin aw)law 20. (sin a t ) / Tr a t G(a) F(9) Literaturhinweise 15. Welche Form hat I-1(s), wenn die Antwort auf einen Einheitssprung eine abklingende Sinuswelle ist? 16. D u r c h Benutzung des Faltungsintegrals finde man das Ausgangssignal für das Eingangssignal f(t) = e- 2 t , t > 0 und die Übertragungsfunktion I-1(jw) = 1/(jca + 1). 17. M a n berechne die Faltung t2 • u(t) * e-2 t u ( t ) auf direkte Weise und zeige dann durch Bilden eines Produktes aus Laplace-Transformierten, daß das Ergebnis richtig ist. 18. D u r c h Gebrauch der Zeilen 3 und E der Tabelle 3-1 leite man die Zeile F ab. 19. D e r gezeigte Impuls und seine Fourier-Transformierte sind ein wichtiges Transformationspaar. Wie lautet F(jea) in diesem Falle? 1/2a -a • 20. ( D a s duale Problem zu 19). Wie lautet f(t) für das unten gezeigte F(jea)? F(i9) 1/2a • Einige Antworten 7. 3/(91 + 4) 8. ( e ' - e-b91(6 - a ) 9. 1/(1 - e- n ) 10. 1 n i , 0 1 ( w 2 a 2 ) [ 1 2 /Raz + .22 ‘ 0 2 ) 1 4 , 2 ‘ 0 2 1 1 1 2 Grestnut, H. l t , und Mayer, R . W. : Servomechanisms and Regulating System Design. New York: Wiley, 1959. R. V. : Introduction t o Complex Variables and Applications, Kap. 7. New York: Mc-Graw-Rill, 1948. Dym, H., und McKean. H. P.: Former Series and Integrals. New York: Academie, 1972. Gardner, M. F , und Bernes, J. 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Einleitung Dieses Kapitel handelt von der Erzeugung und Messung von Abtastwerten kontinuierlicher Funktionen und dient als Einführung für spätere Kapitel, in denen die Verarbeitung digitalisierter Signale diskutiert wird. Wie schon in Kapitel 1 erwähnt, sind viele Arten von Signalverarbeitungssystemen von dem in Bild 4-1 dargestellten Prinzip, was von der Schnelligkeit und Vielseitigkeit der digitalen Rechner herrührt. Das kontinuierliche Signal f(t) wird abgetastet, um einen Satz von Zahlen [fm] zu erzeugen, und der digitale Rechner verarbeitet [fm] und erzeugt am Ausgang einen Abtastsatz [gn]. Man nehme an, die Funktion f(t) werde in Intervallen von T Sekunden abgetastet, wie es in Bild 4-3 gezeigt ist. Man nehme ferner an, daß die Abtastwerte von f(t) Nadelimpulsablastungen sind, wobei fm gleich f(mT) in regelmäßigen Intervallen von T Sekunden ist. Wie der Ausdruck besagt, kann fm gebildet werden, indem man 1(t) mit der Einheits-Nadelimpuls-Funktion 6(t—mT) multipliziert. Bild 4-3 beschreibt eine ziemlich große Klasse von Abtastfäilen, und die wichtigste Frage, die sich in solchen Fällen ergibt, betrifft das Abtastintervall T. f ( t) Bild 4-1 deutet die Messung einer kontinuierlichen physikalischen Größe f(t) an, die eine Spannung, ein Strom, eine Wegstrecke, ein Achswinkel oder eine ähnliche Funktion der Zeit sein kann. Bild 4-2 zeigt ein im wesentlichen äquivalentes System, das die Erzeugung des Abtastsatzes [fm] durch irgendeinen digitalen Prozeß andeutet, wie es z.B. die Ausführung eines Computerprogrammes ist. Der ganze Prozeß im Bild 4-2 könnte innerhalb eines universellen Digitalrechners stattfinden. f(t)n \ f " r - A-D andler 1f_] Digitaler Rechner Bild 4-1. Digitale Signalverarbeitung ZahlenGenerator Digitaler Rechner (81 Bild 4-2. Das zu Bild 4 1 äquivalente System Die schon in Kapitel 1 erwähnte wichtige Überlegung, die hier wiederum betont werden soll, lautet, daß die meisten Ergebnisse dieses Kapitels, genauso wie die Methoden der Signalanalysis in allgemeinen, ohne Rücksicht auf den Ursprung des Abtastsatzes angewandt werden können, oder daß man einfach annimmt, daß [fm ] die Abtastwerte eines kontinuierlichen Signals darstellt, ob dies nun stimmt oder nicht. Bild 4-3. Nadelimpuls-Abtastungen von f(t) Wie klein muß T sein, um f(t) rekonstruieren zu können, wenn nur der Abtastsatz [fm] gegeben ist? Sofern man keine Einschränkungen für f(t) zwischen den Abtastpunkten trifft oder zusätzliche Information über f(t) liefert, ist die Antwort völlig klar, daß nämlich T gleich Null sein muß. Wie in Bild 44 angedeutet, ist es immer möglich, verschiedene kontinuierliche Funktionen (mit ebenfalls kontinuierlichen Ableitungen) zu konstruieren, die durch alle Abtastpunkte gehen, sofern T größer als Null ist. Mit anderen Worten, irgendeine Art von Einschränkung muß f(t) auferlegt werden, um f(t) vollständig mit nur einem endlichen Satz von Zahlen [fm ] zu beschreiben. Das Abtasttheorem, das diese Einschränkungen dem Frequenzinhalt von f(t) auferlegt, kann wie folgt ausgedrückt werden: Um fähig zu sein, f i t ) exakt wiederzugewinnen, muß man f t) mit einer Rate abtasten, die größer als das Doppelte seiner höchsten Frequenzkomponente ist 62 D a s 2. Das Abtasttheorem Abtasten und Messen von Signalen 6 3 Bild 4-4. Funktionen mit denselben Abtasiwerten Bild 4-6. Ablastrate > zweimal die höchste i n f(t) enthaltene Frequenz Ist f(t) ein periodisches Signal, folgt die Gültigkeit dieses Satzes aus Kapitel 2, wo die untere Grenze zu N > 2K + 1 ( 4 - 1 ) festgesetzt wurde, in der N die Zahl der Abtastwerte je Grundperiode und K die höchste Harmonische in der Fourier-Reihe für f(t) war. Ist N die Zahl der Abtastwerte je Grundperiode und dauert eine Periode p Sekunden, so muß die Ablastrate gleich N/p Abtastungen pro Sekunde sein, und die höchste Frequenzkomponente in der Fourier-Reihendarstellung von f(t) muß gleich K/p Hz sein. Daher ist Gleichung 4-1 i n der Tat ein Ausdruck des Abtasttheorems für periodische Signale. Man beachte, daß die Abtastrate größer als das Doppelte der höchsten Frequenz in f(t) sein muß und nicht genau gleich der letzteren. Manchmal wird das Abtasttheorem irrigerweise doch so ausgedrückt. Bild 4-5 veranschaulicht eine Situation, bei der eine Sinuswelle mit einer Rate abgetastet wird, die genau gleich dem Doppelten ihrer (höchsten) Frequenz v ist, und doch kann f(t) offensichtlich aus dem Abtastsatz nicht ausfindig gemacht werden, da alle Abtastwerte gleich Null sind! Bild 4-6 veranschaulicht eine ähnliche Situation, bei der die Abtastrate etwas höher als 2 v ist. In diesem Beispiel wiederholt sich dir Abtastsatz in Intervallen von 8 T Sekunden, und in jedem dieser Intervalle liegen N = 8 Abtastungen. (Man beachte, wie diese Wiederholungsperiode anwachsen würde, wenn sich T dem Wert 1/2 v näherte, und wie der vollständige Abtastsatz wachsende Werte von N erfordern würde.) In dem Beispiel von Bild 4-6 gibt es 3 Zyklen von f(t) in jedem Inter- vall der Länge 8 T: daher ist mit K = 3, N = 8 die Gleichung 4-1 erfüllt, und die Fourier-Koeffizienten von f(t) können exakt aus dem Abtastsatz gefunden werden, siehe z.B. Gleichung 2.39 von Kapitel 2. Keine andere Funktion von t, wenn sie auf Frequenzen kleiner als 1/(2 T) Hz begrenzt ist, hat diesen selben Abtastsatz. Andererseits veranschaulicht Bild 4-7 die Vieldeutigkeit, wenn die Abtastrate etwas niedriger als 2 v ist, d.h. wenn T größer als 1/(2 v) ist. Die Abtastwerte von f(t) sind dieselben wie die von g(t), welches eine andere Sinuswelle mit einer Frequenz kleiner als v darstellt. Mit dem dargestellten Abtastsatz sind sowohl f(t) als auch g(t) mögliche Rekonstruktionen. T > 1/2v f o r f ( t ) Bild 4-7. A b t a s t e t e < zweimal die höchste in f i t ) enthaltene Frequenz Diese Art von Vieldeutigkeit, die dadurch verursacht ist, daß die Bedingungen des Abtasttheorems verletzt werden, kann noch allgemeiner in der folgenden Weise ausgedrückt werden: Wie in den obigen Bildern entsteht kein Verlust an Allgemeinheit in unserer Diskussion dadurch, daß man f(t) durch eine einzelne Sinuswelle darstellt. Deshalb wollen wir die abgetastete Funktion wie folgt ansetzen. f(t) - A sin (2rvt + a) ( 4 - 2 ) Ferner betrage das Abtastintervall T. Sekunden wie in den Bildern 4-6 und 4-7, so daß der Abtastsatz von f(t) gegeben ist durch nita, bi, Abtastsatz — Bild 4-5. Abtastrate = zweimal diahöchste i n f(t) enthaltene Frequenz — [A sin(2rianT + a)) ( 4 - 3 ) Durch Benutzen der Identität sin x = sin (x + 2 kn), wobei k irgendeine ganze Zahl ist, kann eine Äquivalenz zwischen Abtastsätzen wie folgt aufgestellt werden: 64 3. Reine Abtastsysteme D a s Abtasten und Messen von Signalen [A sin (2rionT + a)) - [A sin (27v/nT + a + 21x] - [A sin (2r(, + nIT)mT + a)] ( 4 . 4 ) wobei n eine ganze Zahl ist derart, daß m • n = k wieder eine ganze Zahl ist. Gleichung 4-4 heißt in Worten: Bei einem ,4btastintervall von T Sekunden sind Frequenzkomponenten hei v und v+ n/T Hz für kanzzahliges n nicht voneinander unterscheidbar, d.h. sie haben dieselben ,4 btastwerte. So wird Gleichung 44 zu einer Bestätigung des Abtasttheorems. Ihre Auswirkung wird in Bild 4-8 dargelegt. Es zeigt, wie der Frequenzbereich durch den Abtastprozeß effektiv ,gefaltet" ist. Das Diagramm links in Bild 4-8 zeigt die Äquivalenz zwischen den Frequenzen v1 = —1/3T und v, = 2/3T für den speziellen Fall von Bild 4-7. Rechts in Bild 4-8 veranschaulicht das allgemeinere Diagramm die durch Gleichung 4-4 bestimmte Faltung. Zu jeder möglichen Signalkomponente bei einem mit X markierten Punkt gibt es darüber oder darunter Komponenten bei anderen mit X markierten Frequenzen, die identische Abtastsätze haben. Eine Häfte der Abstastfrequenz, dh. I /2T Hz oder n/T rad sec 1, wird die Faltungsfrequenz genannt, aus Gründen, die in Bild 4-8 dargestellt wurden. Sie wird auch oft Nyquist-Frequenz genannt (nach H. Nyquist aus den Bell Laboratorien) oder auch die Frequenz der spektralen Überschneidung bzw. der Fremdüberlagerung (engl.: aliasing). Vr. 3/2T 0 1 / 2 T -1/2T 3/21 i e uni -1/ 1 / 2 T -3/21i -5/ 2Ti Bild 4-S. Falten des Frequenzbereiches Das Abtasttheorem gilt natürlich unabhängig davon, ob f(t) periodisch ist oder nicht. Wenn f(t) nicht periodisch ist, z.B. ein vorübergehender Impuls, wird sein Frequenzinhalt durch Face), die Fourier-Transformierte von f(t), ausgedrückt. Da die Fourier-Transformation schon als Grenzübergang der Fourier-Reihe eingeführt worden war, sollte man die obige Tatsache auch erwarten. Der Beweis des Abtasttheorems für aperiodische Signale verläuft wie folgt: 6 5 Man nimmt an, daß das aperiodische Signal f(t) auf Frequenzen kleiner als n/T rad sec 1 begrenzt ist. Dann kann, beginnend mit Gleichung 34 von Kapitel 3 ,f(t) ausgedrückt werden: IT f(t) 2 1 x f F(jca)eM dc.) - 1 L r T njw)efi" du, (4-5) Die Abtastwerte von f(t) nehmen dann die Form an r/ (4-6) f F(jw)eft"`rdw 274. - w T Dies Ergebnis erinnert an die Formel des komplexen Fourier-Koeffizienten, Gleichung 242 in Kapitel 2, und es ist in der Tat mit ihm gleich, wenn man es noch mit T multipliziert. Dabei ersetzen die Werte w, T, m, und F hier die Werte t. wo, —k und f in der Formel des Kapitels 2. Damit ergibt sich: f(mT) Wenn F(jw) auf das Intervall IG)! < rIT begrenzt ist, dann kann F(jw/ durch eine Fourier-Reihe innerhalb dieses Intervalls beschrieben werden. Der m-te Koeffizient ist T f m . Der Leser könnte jetzt vielleicht fragen, ob eine komplexe Funktion wie F(jw) eine Fourier-Reihe haben kann, da nur reelle Funktionell in Kapitel 2 behandelt wurden. Es gibt jedoch in der Formel für die Koeffizienten oder ihrer Ableitung nichts, das die Funktion hindern könnte, komplex zu werden. Der einzige Unterschied besteht darin, daß da, wo die Koeffizienten cm und c_m in Kapitel 2 komplex konjugiert sind, die entsprechenden Größen T • fru und T • f j e t z t reell und im allgemeinen ungleich sind. Wenn sie gleich sind, dann ist F(jw) in der Tat reell. Die obige Aussage, daß [Tfin ] der Satz von Fourier-Koeffizienten für F(jw)im Intervall WI < n/T ist, beweist das Abtasttheorem für aperiodische Funktionen. Wenn f(t) aus F(jw) gewonnen werden kann und wenn F(jw) konstruiert werden kann, indem man [Tfm] benutzt, dann kann f(t) ersichtlich aus seinem Abtastsatz [fm] ermittelt werden. Das nächste Kapitel enthält eine weitere Diskussion des Abtasttheorems und seiner Auswirkungen auf Frequenzmessung und Rekonstruktion des Zeitverlaufes. Das Verdienst, das Theorem und seine Wichtigkeit in diesen Bereichen als erster entdeckt zu haben, gebührt E. T. Whittaker, der das Abtasttheorem in einem bemerkenswerten Aufsatz veröffentlichte [Whittaker, 1915] und damit die Grundlage f i t die moderne digitale Signalverarbeitung legte. Der Aufsatz enthält z.B. eine berühmte Formel für das Rekonstruieren des Zeitverlaufes aus seinem Abtasttatz; was im nächsten Kapitel erörtert wird. 3. Reine Abtastsysteme Das „vordere Ende" eines linearen Systems mit einem kontinuierlichen Eingangst struil f(t) fällt im allgemeinen in eine der drei Kategorien, die in Bild 4-9 darge. 66 D a s Abtasten und Messen von Signalen Kontinuierliches System Digitales System Reine Abtastsysteme f(t) Prozessor I A -D Wa n d r e r Irs1 7 Dann kann, wie oben erläutert, der Abtastwert fm = f(mT) erhalten werden, indem man f(t) mit der passenden Einheits-Impulsfunktion 6(t-mT) multipliziert. Die Impulsfolge fs(t) setzt sich dann aus dem ganzen Abtastsatz zusammen, d.h. Kontinuierlicher f(e) 6 - f(1).5(1 - Digitaler Prozessor ( 4 - 7 ) Nimmt man an, daß f(t) bei t = 0 beginnt, kann man die Laplace-Transformierte von fs(t) wie folgt finden: AbtastSystem f(t) Kontinuierlicher Prozessor F,(s) - l a .1",(t)e"dt . • • - I f ( 1 ) 6 0 . Bild 4.9. Verschiedene Behandlungen kontinuierlicher Signale stellt sind. Die zwei unteren Schemata schließen einen Abtastprozeß ein, auf den das Abtasttheorem anwendbar ist. Das digitale System in der Mitte ist wahrscheinlich das bei weitem nützlichste von den dreien, und die vorangegangenen Kapitel beziehen sich hauptsächlich auf diesen Systemtyp und seine Beziehungen zu dem rein kontinuierlichen System oben im Bild. - » i n en eh =E 1-«,f(t)e-"40" I-n c h ▪ E f a i t - s u r --0 Das Abtastsystem unten in Bild 4 9 stellt jedoch eine dritte Kategorie dar, die auf dem Gebiet der automatischen Steuerung und Regelung wichtig ist. Man beachte, daß das Abtastsystem kein digitales System ist. Es besteht aus einem analogen System, das die Abtastwerte von f(t) verarbeitet. Der Abtaster digitalisiert nicht die Signale; stattdessen erzeugt er analoge Abtastwerte, wie dies in Bild 4-10 veranschaulicht wird. (4-8) (In der dritten Zeile ist jeder Integrand nur bei t = mT von Null verschieden, und so ergibt sich die letzte Zeile.) Die Form dieser Transformation hat Bedeutung über die reinen Abtastsysteme hinaus und bildet den Inhalt des nächsten Kapitels. Um die Ausgangsfunktion des kontinuierlichen Prozessors in Bild 4-9 zu erhalten, wird Fs(s) mit der kontinuierlichen Übertragungsfunktion multipliziert, genau wie in dem vorangehenden Kapitel. Dieser Vorgang wird in dem folgenden einfachen Beispiel veranschaulicht. Beispiel 4-1: Man finde die Antwort g(t) des in Bild 4-11 dargestellten Systems. Diese besondere Übertragungsfunktion wird oft benutzt, um das Ausgangssignal fs(t) des Abtasten zu glätten und so aus g(t) eine Näherung für f(t) zu machen. In diesem Beispiel ist f(t) eine Sprungfunktion, die gerade kurz vor t = 0 beginnt, so daß die abgetastete Funktion fs(t) wie gezeigt verläuft. Aus Gleichung 4-8 ergibt sich Ihre Transformierte zu Bild 4.10. Das von einem Abtaster erzeugte Signal fs(t) F,(s) Der „kontinuierliche Prozessor" in Bild 4-9 bearbeitet dann die Funktion fs(t) und erzeugt ein kontinuierliches Ausgangssignal. Daher ist das reine Abtastsystem ein kontinuierliches und nicht ein digitales System und kann mit Hilfe der Fourier- oder Laplace-Transformation analysiert werden (für eine umfassende Behandlung der Analyse und des Entwurfs von Abtastsystemen siehe [Truxal 1955, Ragazzini und Franklin 1958, Tou 1959, Monroe 1962 oder Gibson 1963). In der einfachsten Form geht die Analyse wie folgt vonstatten: Angenommen, fs(t) setzt sich zusammen aus schmalen Abtastimpulsen, die als Dirac-Impulse behandelt werden können. (Der Fall einer nichtidealen Abtastung wird in Kap. 5, Abschnitt 8 erörtert, siehe auch den nachfolgenden Abschnitt 4.) E -.0 -E fuer (4-9) Die Ausgangstransformierte G(s) ist jetzt ' • ‘ - ' J st- 0 traur + a (4-10) Die Zeilen 1, 2, 7 und D von Tabelle 3-1 im vorhergehenden Kapitel können herangezogen werden, um die inverse Transformierte zu Gleichung 4-10 zu finden. 68 4. Analog-Digital-Wandlung D a s Abtasten und Messen von Signalen 0 T aT e'r 1 g( t) aT s+a T Man beachte, daß jeder Term in der Summe e—mags + a) zu einer Exponentialfunktion c a l für t > 0 wird, die um die Zeit mT verschoben ist. Da die unverschobene Funktion für t < 0 gleich Null ist, muß die verschobene Version für < mT gleich Null sein. Daher findet man, ausgehend von Gleichung 4-10, folgenden Ausdruck für g(t): Der grundsätzliche Unterschied zwischen dem oben diskutierten reinen Abtaster und dem System mit A -D-Wandler ist in Bild 4-9 veranschaulicht. Der A-D-Wandler digitalisiert die Abtastwerte der Zeitfunktion und liefert die Eingangssignale für einen digitalen Professor (der im Gegensatz zu einem kontinuierlichen Prozessor steht). Ein typisches digitales Steuersystem mit mehreren Eingängen und einem einzigen Ausgang ist in Bild 4-13 gezeigt. Das System könnte z.B. ein Steuersystem für einen chemischen Prozeß sein oder eine automatische Steuerung oder ein ähnliches System, das mehrere Sensoren erfordert. Die Sensoren werden nacheinander durch einen analogen Multiplexer durchgeschaltet, abgetastet und durch den A-D-Wandler in eine Folge von kodierten Zahlen umgewandelt. Sind die digitalisierten Signale verarbeitet, erzeugt der D-A-Wandler ein analoges Steuersignal am Prozessorausgang. (4-11) Um einen schöneren Ausdruck für g(t) zu erhalten, nehmen wir die Zeit t im n-ten Abtastintervall zwischen (n-1)T und nT. Dann gilt n- I gl(n - 1 ) T < t < nTi = a T e - ' " E s_. - aT e-°' 1- (4-12) esa d.h. ganz kurz vor nT, ergibt sich WI • - .1 . 2 g(t) 1.0 1.0 (4-13) 4. Analog-Digital-Wandlung g(t) a T E u(t - I n n e-ct,-.T) --0 aT eratE u(t - mT)e"wr (I e - s " r ) Normierte Verläufe von g(t), die den glättenden Effekt der Übertragungsfunktion mit zwei verschiedenen Abtastintervallen veranschaulichen, sind in Bild 4-12 dargestellt. Bild 4-11. Abtastsystem für das Beispiel 4-1 , 9 g. = aT e-"tr 11— e r f Ia ( t ) Wenn t = 6 D e r Entwurf von A -D-Wandlern ist verschieden und hängt ab von den Anforderungen bezüglich der Geschwindigkeit und der Genauigkeit. Es gibt Lehrbücher, die dem Entwurf von A -D- und D-A-Wandlern gewidmet sind, z.B. [Hoeschele 1968 oder Schmid 1970]. Das Thema des Schaltungsentwurfes gehört nicht mehr in den Bereich unserer Diskussion. Bild 4-14 gibt jedoch eine einfache Darstellung einer Methode der A-D-Wandlung. Hier ist ein Komparator vorhanden, der einen n-bit-Binärzähler veranlaßt, entweder hinauf oder herunter zu zählen, so daß der Zählerinhalt, wenn er durch den D-A-Wandler wieder zurückverwandelt wird, den aktuellen Wert von f(t) widerspiegelt. Der Abtastsatz [im] wird zusammengestellt, Indem der Inhalt des Zählers jeweils nach T Sekunden gelesen wird. Sensor Sensor -1 0 Analoger M u l t i plexer 0 et Sensor 0 2 4 0 2 Bild 4-12. Ausgangssignal desAbtastsystems mit aT = 0.2 und aT = 0.1 (Beispiel 4-1) BM 4-13. Typisches digitales Stauerangt-System D i g i t a l e r Prozessor u K D- A o n t i - i f u l e r l i c i f teuerun 70 D a s Analog-Digital-Wandlung Abtasten und Messen von Signalen vorwärts e1(t) Q u e r k a p a z i t ä t eo(t) Nachziehfehler e rUckwärts eire) - ea(t1 11111 1 Bild 4-16. Ersatzschaltbild für das Schätzen des Nachzichfehlers in einem A -D-Wandler 0-A W a n d l e r Bild 4-14. E n t w u r f eines einfachen A -D-Wandlers Wie durch Bild 4-14 nahegelegt, ist jeder Abtastwert von f(t) ein Wort, das n Informationsbits über den Wert von f(t) zu einer besonderen Zeit enthält. Daher gibt es, da f(t) sich nach Annahme kontinuierlich ändert, immer einen Quantisierungsfehler, wie dies in Bild 4-15 dargestellt ist. Wie man zeigen kann, ist der maximale Quantisierungsfehler gleich q/2, wobei q der Wert der geringstwertigen Zählerstufe ist. (Dies setzt natürlich voraus, daß der A-D-Wandler so nahe wie möglich an den korrekten Abtastwert herankommt.) Wenn z.B. der Bereich eines 10-bit-Wandlers (n = 10) die Spannungen von 0 bis 10,24 Volt darstellt, dann liefert ein einzelner Zählimpuls (q) den Spannungsbetrag 10,24/210 = 0,01 V und der maximale Quantisierungsfehler (q/2) ist 0,005 V. Wenn f(t) Energie bei sehr hohen Frequenzen enthält und die Abtastrate ITT entsprechend hoch ist, wird der Nachziehfehler (tracking error) die grundsätzliche Begrenzung für die Schnelligkeit eines A -D-Wandlers. Elektronische Hochgeschwindjgkeits-Wandler arbeiten im allgemeinen nicht nach dem Schaltungsprinzip von Bild 4-14 (siehe z.B. [Benima 1973]), aber alle Schaltungen müssen irgendwie etwas Energie aus f(t) verbrauchen, und zwar jedesmal dann, wenn ein Abtastwert genommen wird. Deshalb sind, wie in Bild 4-16 skizziert, ein äquivalenter Eingangs-Serienwiderstand und eine Querkapazität für den A-D-Wandler typisch. Eine einfache Schätzung des Nachziehfehlers in Bild 4-16 kann man wie folgt erhalten: Wir wählen e ( t ) als Rampenfunktion mit der Steigung e; und nehmen an, daß der Abtastschalter zur Zeit t = 0 geschlossen wird, zu welcher Zeit ei und e0 gleich sind. Dann ergibt sich aus Kapitel 3, Abschnitt 2 E,(s) - E0(s) -.41111 1 Serienwiderstand n- b i t V o r w ä r t s RUckwärt z ä h l e r Koznparator f(c) 11111 1 7 f lt) u n d seine q u:ntisierte Version 4 s2 ( e ; / 3 2 ) ( IsC) R + IlsC e; s(s + IIRC): Äldil .". Nachziehfehler - ei(1) - eo(f) 2q q - RCeal 1 L W I I 0 -q/2 0 n 0 0 0 o 0 0 0 0 0 Quantisierungsfehler em Bad 4-15. Quantisierungsfehler des A -D-Wandlers Im allgemeinen wird der Quantisierungsfehler em als ein zufälliger Fehler behandelt, der mit Ausdrücken einer Wahrscheinlichkeits-Dichtefunlction beschrieben wird. Im Kapitel 13 werden zufällige Funktionen diskutiert, und es wird z.B. gezeigt, daß, wenn alle Werte von em zwischen —q/2 und q/2 gleich wahrscheinlich sind, folgendes gilt Mittelwert von es, = 0 Effektivwert von - qliln. 4 - 1 5 ) Das heißt, wenn der Abtastschalter geschlossen gelassen wird, um ec, auf seinen neuen Wert nachzuziehen, wächst der Nachziehfehler bis auf einen Dauer-Differenzwert an, der gleich RC ei ist. 0 T 2 T 1/2 ( (4-14) Die Frage, ob der A -D-Wandler als ein Nadelimpuls-Abtaster behandelt werden kann oder nicht, muß auch betrachtet werden. Manchmal (z.B. im Falle des Multiplexen) ist es bequem, den Wandler als ein Gerät zu betrachten, das die kontinuierliche Funktion f(t) während eines Abtastfensters der Weite w, das sich von t = mT — w/2 bis mT + w/2 erstreckt, abfragt, siehe Bild 4-17. Dann kann, wenn die Änderung von f(t) während des Fensters nicht signifikant ist, eine DiracImpulsabtastung wie oben in Abschnitt 3 angenommen werden. Wenn dagegen die Impulsdächer in fr(t) nicht nahezu flach sind, muß die Umwandlungsmethode näher untersucht werden. Die Weite w hat verwandte Wirkungen auf das Spektrum des Abtastsatzes [fm] und das Spektrum von f i t ) . Diese Wirkungen werden in Kapitel 5, Abschnitt 8 erörtert. 72 D a s Abtasten und Messen von Signalen Digital-Analog-Wandlung 7 3 Zahlen f (r) n-bir Register f0f1f2 analoger Ausgang 0 BIld 4-19. Prinzip der D-A-Wandlung fs(t) 0 T 2 n a c h dem A b t a s t e n und v o r d e r A -D-Handlung T Bild 4-17. Abtasten mit einem Fenster der Breite w folgend (f0 bei t = 0, f1 bei t = T usw.) in einem binären Register der Längen bit enthalten. Die Bits in dem Register werden gemäß ihrem Gewicht summiert, so daß das Ausgangssignal g(t) ein Analogsignal ist, das seinen Wert nur an den AI). tastpunkten ändert. Dies nennt man eine Wandlung nullter Ordnung — jeder Abtastwert wird in g(t) so lange gehalten, bis der nächste Abtastwert erscheint. Die verschiedenen elektrischen oder mechanischen Fehlerquellen in D-A-Wandlern (siehe z.B. [Schmid 1970], Kapitel 7) werden im allgemeinen minimal gehalten, indem man Präzisionsbauteile auswählt, Präzisionsstromversorgungen benutzt, den Betriebstemperaturbereich verkleinert usw. g(t) f2 geglättete Näherung a n f(t) BIld 4-20. Glätten zur Korrektur des Haltesignales nullter Ordnung cif m T 4 - u . Bild 4-18. .1 itterfehler, kam fr(mT), hervorgerufen durch Verschiebung um p m Es ist auch möglich, daß ein Zitterfehler (jitter) im A-D-Prozeß auftritt. Bei diesem Fehlertyp wird das Abtastfenster auf die Zeitspanne mT + rim statt genau auf mT zentriert, d.h. das Fenster ist um den Wert um wie in Bild 4-18 verschoben. Papouhs (1966) hat gezeigt, daß ein unabhängiger Zitterfehler dem oben diskutierten Quantisierungsfehler ganz ähnlich ist. Aus Bild 4-18 entnimmt man, wenn der Effektivwert von pm gleich au ist und wenn die Steigung r(t) über das Zitterintervall konstant ist, daß Effektiver Zittoffehler 5 ST -e aT x Maximalwert von 1-'01 ( 4 - 1 6 ) Der Fehler der Wandlung nullter Ordnung kann (wenigstens im Prinzip) dadurch beseitigt werden, daß man das Ausgangssignal g(t) wie in Bild 4-20 glättet. Wenn g(t) so beschaffen ist wie oben beschrieben, dann gilt g(1) — E f j u ( t — nT) — u(r — (n + I ) (4-17) Dabei bedeutet u(t—nT) den Einheitssprung bei t = nT. Zieht man die Tabelle der Laplace-Transformierten im Anhang A heran, so kann die Transformierte G(s) geschrieben werden: 6(s) 1— e-sr s T Le-nT(T) ( 4 - 1 8 ) 5. Digital-Analog-Wandlung In dem digitalen Signalverarbeitungssystem von Bild 4-13 arbeitet der D-A-Wandler reziprok zu dem A -D-Wandler. Er wandelt einen kodierten Satz von Werten [fm] in eine sich ändernde analoge Spannung um oder in die Position einer Welle oder in eine ähnliche Größe. In der einfachsten Form des D-A-Wandlers, die im Prinzip in Bild 4-19 dargestellt ist, sind die binären Abtastwerte [fm] aufeinander- Wenn die Länge T als Integrationslänge dt betrachtet wird, wird die Summe in Gleichung 4-18 zur Transformierten F(s). (Die Genauigkeit dieser Näherung wird im nächsten Kapitel noch weiter diskutiert.) Daher wird G(s)4 — 1s T F ( s ) (4-19) 74 D a s Übungen Abtasten und Messen von Signalen Die Wiederherstellung der Funktion f(t) aus ihrer Wandlungskurve nullter Ordnung geschieht daher durch Glätten mit der Übertragungsfunktion sT/(1 - S T ) , wie das in Bild 4-20 veranschaulicht ist. In der Praxis werden verschiedene einfache Näherungen für diese Übertragungsfunktion, d.h. einfache Tiefpaßfilter, benutzt. Papoulis (1966) liefert eine umfassendere Diskussion der Wiederherstellung von f(t) und Davies (1971) diskutiert die Beseitigung der Verzerrung nullter Ordnung durch digitale Filter. Tou (1959) diskutiert den Fehler nullter Ordnung als einen Effekt des „Festklemmen" (clamping) des Signals f(t). 6. Übungen der Übertragungsfunktion H(s) = 1/(s + 2) geschickt wird. Skizziere das geglättete Ausgangssignal, wenn das Abtastintervall T = 0,05 sec beträgt. 8. E i n 10-bit-A-D-Wandler hat einen Bereich von ± 10 V. Wie groß ist der effektive Quantisierungsfehler, wenn man annimmt, daß alle möglichen Werte gleich wahrscheinlich sind? 9. E i n A -D-Wandler hat eine Eingangskapazität von 10-11 F und einen Eingangswiderstand von 100 g2. Wie groß ist der maximale Nachziehfehler bei der maximalen Eingangssteigung von ± 106 V sec-1? Einige Antworten 1. E i n periodisches Signal f(t) enthalte Frequenzkomponenten bis ein kHz. Mit welcher Frequenz muß f(t) abgetastet werden, um es eindeutig wiederherzustellen? 2. 75 Nimm an, daß f(t) als reine 1-kHz-Sinuswelle im Mikrosekundenabstand abgetastet wird, um einen Satz von Abtastwerten [fmi zu erhalten. Welche anderen sinusförmigen Signale haben den selben Satz [1;1? 3. D i e Fourier-Transformierte eines impulsförmigen Signals f(t) ist ein Rechteck. a) Welche Eigenschaft von f(t) folgt daraus, daß F(jto) reell ist? b) Wie groß muß das Abtastintervall T sein, um f(t) vollständig zu erfassen? c) Wie sieht f(t) aus? 1. Abtastfrequenz > 2000 sec- 1 . 2. Reine Sinuswellen bei 1,001 MHz, 2,001 MHz usw. 3a. I(I) - I(-t) 3b. T < r / I 0 3c. I ( t ) - (sin 100/21 4. T < I 6. F,(s) E L . 10 mT 8. 0.0056 V 9. 0.001 V. Literaturhinweise w -10 0 1 0 4. D i e gezeigte Impulsfolge werde beschrieben durch (I) - 2 s i n r ( t - 40n) t ( e ) r(t - 4011) 0 4 0 8 0 Wie o f t muß f(t) abgetastet werden, um es wiederherstellen zu können? Hinweis: Offensichtlich wird nicht viel Genauigkeit verlorengehen, wenn jeder Impuls in der Folge so behandelt wird, als ob er vollkommen abgeklungen ist, bevor der nächsteImpuls beginnt. 5. M a c h e mit f(t) in Aufgabe 4 eine Skinr des Abtastsatzes über eine Periode von f(t) und benutze dabei einen fast maximalen Wert von T. 6. D i e Rampenfunktion f(t) = 10 t wird von t = 0 bis t = kT abgetastet. Wie heißt die Laplace-Transformierte des Abtastergebnisses? 7. D a s Abtastsignal in Aufgabe 6 wird geglättet, indem es durch ein Filter mit- Benima, D . , u n d Barger, J . R . : H i g h -Speed, H i g h -Resolution A / D Converters. Electronic Design News, 5. Juni 1973, S. 62. Davies, A. C.: Correction o f Zero-Order Hold Distortion in Digital Filters. IEEE Trans. AU-19, No. 4, Dezember, 1971, S. 289. Elteeton, M.: A / D und D / A Converters. IEEE S pectrum, Juli, 1972, S. 63. Hoesehele, D . : Analog-to-Digital/Digital-to-Analog Conversion Techniques. New Yo r k : Wiley, 1968. Gibron, J E.: Nonlinear Automatic Control, Kap. 3. New Yo r k : McGraw-Hill, 1963. Jury, E. S a m p k d - D a t a Control Systems. New Yo r k : Wiley, 1958. Monroe, A. 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Edinburgh, Rd. 35, 1915,S. 181. 2. Definition des OFT-Paares 7 7 F(j.) KAPITEL 5 Die diskrete Fourier-Transformation 1. Einleitung Die diskrete Fourier-Transformation (DFT) ist grundlegend in jeder Analysis einer digitalen Signalverarbeitung. Sie ist im allgemeinen immer dann anwendbar, wenn Abtastwerte einer kontinuierlichen Funktion im Spiele sind. Sie hat dieselbe Beziehung zu dem digitalen System, wie sie die Former-Transformation zu dem analogen System hat. In diesem Kapitel wird die DFT zuerst als eine Näherung des Fourier-Integrals eingeführt, obgleich sie prinzipiell nicht so wie diese gebraucht wird. Darauf werden ihre Beziehungen zu der Fourier-Transformation und zu dem Abtasttheorem behandelt und es werden die inverse DFT und die Wiederherstellung von Ablastfolgen diskutiert. 2. Definition des DFT-Paares Man betrachte die Fourier-Transformierte einer beliebigen reellen Funktion f(t). (Das meiste der Theorie der diskreten Transformation gilt auch für komplexes f(t), aber in der Praxis ist f(t) üblicherweise reell und wird auch in diesem Kapitel so betrachtet.) Wie in Kapitel 3 lautet diese Transformation F(jw) = J f ( O e - N " d t (5-1) und ist natürlich nur für die Fälle definiert, wo das Integral konvergiert. Man erinnere sich daran, daß im allgemeinen, wenn f(t) keine endliche Energie hat, das Integral nicht konvergiert und daß dann keine Fourier-Transformierte existiert. Die diskrete Fourier-Transformierte, die wir F(jw) nennen wollen, kann man aus der Näherung nullter Ordnung an F(w) gewinnen. Das Ergebnis ist dann zwar nicht ganz korrekt, weil die diskrete Fourier-Transformierte endliche Grenzen haben muß, aber diesem Mangel wird anschließend leicht abzuhelfen sein. Die Näherung lautet also zunächst F(jw) L f lune (5-2) Hier ist T das Abtastintervall und zugleich das Integrationsintervall im Zeitbereich. Man sieht, daß die Näherung nullter Ordnung noch durch T geteilt worden ist, um f a w ) zu bekommen, da in der Integralnäherung dt zu T wird. Der Einfachheit halber wollen wir f(nT) wie in Kapitel 4 als fn schreiben und erhalten so die DFT in der Form Ft Re) = 1 " " c r Wenn die DFT in Realteil und Imaginärteil zerlegt wird, wie in (5-3) E 1,cos moT - j f , sin ( 5 4 ) erkennt man, daß sie die folgenden Eigenschaften hat: F(jw) ist reell dann und nur dann, wenn f(t) an den Abtastpunkten gerade ist, dh. wenn fn = f_ 2. P O L O ist imaginär und ungerade dann und nur dann, wenn ((t) an den Abtastpunkten ungerade ist, d.h. wenn fn = 3. F a t o ) und F(-jw) sind konjugiert komplex: 4. P a c o ) ist über w periodisch mit der Periode 2rr/T, d.h. F(jw) = r u w j2n/T).. Die drei ersten Eigenschaften gelten im wesentlichen auch für das Fourier-Integral. aber die vierte ist eine spezielle Eigenschaft der DFT (siehe GI. (4-4)). Wir müssen nun die Definition der diskreten Fourier-Transformation noch präzisieren. Wichtig ist nicht allein die Betrachtung diskreter Werte statt analoger Werte sondern auch die Betrachtung einer endlichen Anzahl von diskreten Werten. D.11. jede wirkliche Berechnung der DFT muß eine endliche Summation von Ternten beinhalten und nicht die unendliche Summe in Gleichung 5-3. In der Praxis bedeutet das im allgemeinen, daß die kontinuierliche Funktion f(t) entweder bei impulsartigen Vorgängen in den im wesentlichen von Null verschiedenen Bereichen abgetastet wird oder daß sie in periodischen oder aperiodischen Fällen in einem vorgegebenen Intervall abgetastet wird. In jedem Fall wollen wir annehmen, daß von f( 1) insgesamt N Ablast werte exisiicren. Wenn man die Zeitskala so legen kann, daß diese Abtastwerte bei t = 0 beginnen, wird Gleichung 5-3 zu: N-1 PQw)- E Les- ( 5 - 5 ) d.h. die Grenzen der Summe sind 0 und N - 1. Wenn die Zeitskala anders liegt und die N Abtastwerte z.B. bei t = kT beginnen, wird Gleichung 5-3 zu N . I - I F(jw) E fae -"'"T -k N - - E (5-6) + k resT .-o wobei k irgend eine positive oder negative ganze Zahl sein kann. Die Gleichungen 5-5 und 5-6 lassen an dieselbe Art von „Verschiebesatz" denken, wie er in Zeile 7 von Tabelle 3-1 in Kapitel 3 gegeben ist: Wenn fit) um k T sec nach rechts (links) verschoben wird, dann wird Pljw), die DFT von ,fr tl, mit e-ikwileikw7 multipliziert. 78 = D i e 3. Beziehung zur Fourier-Transformation diskrete Fourier-Transformation j.) ein(B‘dt/2) I (NwT/2) ' 7 9 Es zeigt sich so, daß nur die Werte von Fm für m = 0 bis N/2 wirklich berechnet werden müssen. Die Gleichung 5-8 bleibt jedoch die „übliche Formel" in dem Sinne, daß sie die nützlichste Form für weitere Ableitungen ist. Die inverse DFT ist wie folgt definiert: f N- I • .4., E FsitiOnnaln (5-12) T 1 —2 Bild 5-1. Abtastwertesatz und Amplitudenspektrum eines abgetasteten Rechteckimpulses; N = 33 Der Verschiebesatz wird in Bad 5-1 veranschaulicht, das die Abtastwerte eines beliebigen Rechteckimpulses zeigt, die bei t = kT beginnen und bei t = (N + k)T enden, wobei hier N = 33 ist. Das durch ir(jc41 gegebene Amplitudenspektrum hängt nicht von k ab, da die Änderung von k nur eine Phasenverschiebung erzeugt. Auch würde sich nichts ändern, wenn die Abtastung über die Grenzen des Impulses hinaus ausgedehnt würde, wie dies in Abschnitt 6 erklärt wird. Obgleich die Frequenz co in den Gleichungen 5-5 oder 5-6 eine kontinuierliche Variable ist, können nur N Teile (reelle und imaginäre) von F(jw) wirklich unabhängig sein, da nur N Abtastwerte vorhanden sind, mit denen man begonnen hat. Weiterhin legt die oben erwähnte Eigenschaft 4 nahe, daß die unabhängigen Werte von F(jw) innerhalb einer der Perioden berechnet werden sollten, z.B. von <...)T = 0 bis 2 n. Daher wird mit 2wm - —• NT m - 0, I, N - I (5-7) Indem man Gleichung 5-8 in Gleichung 5-12 substituiert, kann man die Gültigkeit dieser Inversion zeigen und zugleich verifizieren, daß die N unabhängigen Werte von Face) die ganze ursprüngliche Information des Abtastsatzes enthalten. Denn wenn sie es nicht täten, wäre (fnl nicht aus [Fm ] ableitbar. Die Substitution ergibt: N- I N - I - he-innm/N)son,„,/,#) N A N O 6/12.m(a - k)IN) (5-13) Man beachte, daß die innere Summe in der zweiten Zeile für k t n gleich Null und für k = n gleich N ist (siehe auch Gl. (2-32)). Fassen wir zusammen. Für einen beliebigen Satz [in] von Abtastwerten ist das DFT-Paar gegeben durch N-1 fie-j(lem/N); die übliche Formel für die Berechnung der unabhängigen DFT: NN- 1 21.1") - E Lt-J(2.44N); - 0 , 1 - - - - - N - 1N T( 5 - 8 ) (Die Notation für die spektrale Abtastung, F,,, = F ( j e ist eine Parallele zu der Notation für die zeitliche Abtastung, frn = f(mT).) Offensichtlich gibt es hier N Werte für Fm und deshalb 2 N reelle und imaginäre Teile, die in Gleichung (5-8) enthalten sind. Nur N Teile sind jedoch unabhängig, wie man aus der folgenden Überlegung erkennt: Aus der obigen Eigenschaft 3 folgt (5-9) P., ( k o n j u g i e r t komplex) wobei der Stern die konjugiert komplexe Form bezeichnet. Dann ergibt sich aus Eigenschaft 4 (5-10) (periodisch) (5-11) L F - F'N-N n-0 N-1 1 E pieja....m); N _0 1 - -2wm rad sec"' NT (5-14) Dabei ist die auf m bezogene Frequenz gleich w = 2rm/NT und N und T sind die Anzahl der Abtastwerte und die Zeit zwischen den Abtastungen. Die DFT hat die oben aufgelisteten Eigenschaften der Fourier-Transformation und hat wie erwähnt auch die wichtige Eigenschaft der Periodizität. Ihre Beziehung zur Fourier-Transformation wird im nächsten Abschnitt noch weiter erforscht. 3. Beziehung zur Fourier-Transformation; spektrale Überschneidungen Im allgemeinen konvergiert die unendliche Summe für F(jw) in (5-3) immer dann, wenn auch die Fourier-Transformierte F(jw) existiert. Betrachtet man F(jw) als 80 D i e diskrete Fourier-Transformation 3. Beziehung zur Fourier-Transformation eine Näherung von F(jc..)), wird man wohl über die Genauigkeit der Näherung im Zweifel sein. Der Term e—iwt im Integrenden ändert seinen Wert sehr rasch, wenn to groß ist, und so scheint es, daß das Abtestintervall T bei geforderter hoher Genauigkeit sehr klein sein müßte. Andererseits ergibt das Abtasttheorem, daß T nur klein genug sein muß, so daß 1/T Hz zum mindesten gleich dem Doppelten der in f(t) enthaltenen höchsten Frequenz ist. Um diese Punkte miteinander in Einklang zu bringen, wird eine explizite Beziehung zwischen Fute) und F(je...i) benötigt. Die inverse Fourier-Transformation (nicht die inverse DFT) von rata)) ist für diesen Zweck nützlich. Der Satz ff . ] sei wie früher der Satz der Abtastwerte von f(t), und wir definieren aus den Abtastwerten von f(t) eine Funktion i(t) wie in Bild 5-2. Die Pfeile in Bild 5-2 sollen darauf hinweisen, daß t(t) aus Impulsfunktionen zusammengesetzt ist, von denen jede die Breite Null, die Amplitude Unendlich und die Fläche fa hat. Daher schreibt sich f(t) 1 Dieser Aspekt der DFT führt zu einer expliziten Beziehung zwischen F(jto) und F(j(4). Zunächst bleibt Gleichung 5-15 unverändert, wenn f(t) explizit benutzt wird, d.h. N-1 (I) E d(r — nT) •-o = I(r)d(0 (5-17) d(t) repräsentiert hierbei die Folge von N Einheitsimpulsen. Da d(t) über den Bereich von t = 0 bis NT periodisch ist und f(t) außerhalb dieses Bereiches zu Null angenommen wird, kann d(t) als Fourier-Reihe (nicht Transformation) dargestellt werden du)- E ct./anum (548) Die Koeffizienten [cal werden mit der üblichen Formel berechnet N- I IU) E f.a(t - nT) 8 (545) 1 T / 2 e. = - 7 7 2 duk-innsind, f(t) ist ersichtlich gleich fs(t) in Gleichung 4-7, Kapitel 4, wo auch eine Impulsabtastung angenommen wurde. 1- r 1 6 T T/2 ( n t 2 — m 7)e -n2rnin dr (5-19) T 11111'"1111111t (Der einzige von Null verschiedene Term in der obigen Summe ist der Teint für = 0.) Daher ergibt sich aus den Gleichungen 5-18 und 5.19 d(t) E e i a nrin T Bild 5-2. BO und seine Nadelimpulsfolge, (Es ist richtig, daß diese Summe nicht konvergiert, aber diese Darstellung von d(t) ist trotzdem für die vorliegende Diskussion geeignet.) Wenn man diese Darstellung für d(t) in Gleichung 5-17 einsetzt, folgt Es ist nun leicht zu zeigen, daß P(jc..)) die Fourier-Transformierte von r(t) ist: P(nv) - £ (5-20) I(t)e-Psdr .T(r) •- s a - - / T ) (5-21) N-. Efr f Mit f(t) in dieser Form kann die Former-Transformierte, die, wie schon gezeigt, Rio)ist, in folgender Weise geschrieben werden: 6 ( t — nT)e-fra dt N-1 E r os 0 e -Msr (5-16) Da das Ergebnis dasselbe ist wie in Gleichung 5-5, müssen F(jta)) und f(t) ein Fourier-Paar sein. Ersichtlich gilt daher folgender Satz: Die DFT kann als die Fourier-Transformation der Folge von regelmäßigen Impulsabtastungen von fit) angesehen werden. 7( j/u) 7 ( r ) e - m d i E f fit) T • - - F ( A 0 (5-22) 82 D i e Beziehung zur Fourier-Transformation diskrete Fourier-Transformation (Die dritte Zeile ergibt sich aus der zweiten, indem man Zeile 6 der Tabelle 3-1 in Kapitel 3 benutzt). Dies ist ein wichtiges Resultat, da es eine explizite Beziehung zwischen der Fourier-Transformation und der DFT enthält. Die OFT ist eine, Überlagerung einer unendlichen Zahl von verschobenen Fourier-Transjonnierten. Das Ergebnis ist für zwei Werte von T in Bild 5-3 veranschaulicht, für einen Fall, in dem FQw) eine einfache reelle Funktion ist. (F(jw) ist im allgemeinen komplex, so daß Amplitude und Phase üblicherweise getrennt aufgetragen werden müssen.) Im ersten Fall ist .2' klein genug, damit die überlagerten Funktionen, d.h. die Terme in Gleichung 5.22, voneinander getrennt sind. Im zweiten Fall überlappen sich die Terme. Bild 5-3 zeigt, daß die Terme sich in der Tat dann überlappen, wenn die von Null verschiedenen Terme von FQw) sich über den Punkt to = it/T hinaus erstrecken. Wenn solch eine Überlappung eintritt, kann die FourierTransformation ersichtlich nicht aus der DFT wieder rekonstruiert werden, indem man Teile der DFT außerhalb des Intervalls Itol < it/T eliminiert. Wenn F(jco) aus FQw) nicht wieder rekonstruiert werden kann, dann kann aber auch f(t) nicht wieder aus [fn] rekonstruiert werden. Offensichtlich ist dies nur eine andere Formulierung des Abtasttheorems von Kapitel 4. Die besondere Wirkung der spektralen Überschneidungen (aliasing) des Abtastspektrums ist in dem zweiten Beispiel von Bild 5-3 dargestellt, wo das Spektrum durch das „Falten" der Frequenzachse nach Kapitel 4 gestört ist. FU ui) F o u r i e r - Tr a n s f o r m i e r t e 8 3 Wenn die Amplitude der DFT, &It. das diskrete Amplitudenspektrum von primärem Interesse ist, kann man aus Gleichung 5-22 die folgende Ungleichung erhalten: 1nm - E j F (joi _ 2r7.1I (5-23) Gleichung 5-23 gibt zum mindesten eine Schätzung der spektralen Überschneidungen ohne Bezugnahme auf die Phase der abgetasteten Funktion f(t). In der Praxis sind abgetastete Funktionen nie vollständig im Frequenzraum so begrenzt wie in Bild 5-3. Physikalische Spektren, wenigstens von impulsartigen Vorgängen, neigen dazu, abgerundet zu sein und sich asymptotisch dem Nullwert zu nähern, wenn w gegen. Unendlich geht. Daher muß der Entwerfer das Abtastintervall so wählen, daß im großen und ganzen, wenn schon nicht exakt, alle spektralen Inhalte des Signals unterhalb von 1/2T Hz liegen. Betrachtet man weiterhin impulsartige Signale, so fallen sie im Zeitbereich im allgemeinen asymptotisch auf Null ab. Auch die Zahl der Abtastpunkte N muß dann so gewählt werden, daß im wesentlichen alle von Null verschiedenen Teile von f(t) abgetastet werden. Diese praktischen Überlegungen werden i m folgenden Beispiel veranschaulicht. Das Abtasten periodischer Signale wird dagegen noch weiter in Kapitel 7 diskutiert. Beispiel .5-1: Man berechne die Amplitude der DFT von J(t) — 2.5 e-rsin 4r (5-24) Diese Funktion ist in Bild 5-4 aufgetragen, zusammen mit den DFTs für zwei verschiedene Abtastintervalle. I n beiden Fällen war die gesamte Abtastzeit N T gleich 5. Das zugehörige Amplitudenspektrum von f(t), das (nach Tabelle 3-1, Kapitel 3) lautet OFT; T w I F(ico) I - 10 (fw + 1)2 + 16 T1 i t z a w ) 43 0 1 - 311°2+ 289 (5-25) T2 OFT; T - T 2 -w T2 10 V w 2 Bild 5-3. D F T für zwei Werte von T: T i und T2. Der Impuls «1) hat Frequenzanteile oberhalb von I / 2 T 2 Hz, aber nicht oberhalb von 1 /2T1 I t z Ist auch in Bild 5-4 aufgetragen, so daß die Ursache der spektralen Überschneidungen in den DFTs beobachtet werden kann. Man wird feststellen, daß mit T= 0,1 und N = 50 im wesentlichen der ganze spektrale Inhalt von f(t) unterhalb von err st 31 rad sec-1 enthalten ist und daß daher die DFT eine gute Näherung an die Fourier-Transformierte multipliziert mit 1/T ist. Mit T = 0,2 und N = 25 ist jedoch ein gewisses Maß an spektralen Überschneidungen bei höheren Frequenzen bemerkbar. 84 D i e Rekonstruktion durch Fourier.Reihen diskrete Fourier-Transformation 6.25 8 5 N- I I mI fite-JOunnINII V e . 2 mtc N • 25 abtastwerte N- I E f . c o s 27man ..o 11111111 11111111 10 -10 0 - 5 0 A b t aaaaa rte F(jw) 11111 m u t • • • • 4 • • • 0 s / . 2 1/.1 - 2 0 -10 0 1 0 2 0 Bild 5-4. (Oben links) f(t): (Unten links) aktuelles Amplitudenspektrum IF(.1‘))1; (Oben rechts) DFT Amplitude mit T = 0.2; (Unten rechts) DFT Amplitude mit T = 0.1. Beachte den Maßstabsfaktor l a , d.h•rn(Unten FourierTransformierte s p e k t r a l e n Überschneidungen F(5m) s p e k t r a l e Uberschneidunmen 2 (5-26) { I + cos w; 0; < 1r 1 4 ) 1 > (5-27) Man ermittle die DFT von f(t) für Abtastintervalle T = 0,8 und 1,25. Das Ergebnis, das man mit Gleichung 5-22 finden kann, ist in Bild 5-5 gezeigt. Da die Faltungsfrequenz tr/T größer als tr sein muß, um spektrale Überschneidungen zu verhüten, treten diese Überschneidungen nur für den größeren Wert von T ein. Der Leser hat wahrscheinlich schon bemerkt, daß die DFT, ihre Inverse und die Fourier-Reihen ähnliche Funktionen sind. Die DFT ist in der Tat eine periodische Funktion von w, und Gleichung 5-5 drückt dies aus, indem die DFT als eine komplexe Fourier-Reihe mit den Koeffizienten (4,1 dargestellt wird. Weiterhin legt Gleichung 5-14 für f n eine Rekonstruktion durch Fourier-Reihen von f(t) nahe. Zunächst können, um die Harmonischen auf Frequenzen unterhalb der Faltungsfrequenz zu begrenzen, die Grenzen der Summe symmetrisch zu Null und auf N/2 beschränkt werden. Dann kann die kontinuierliche Variable t für nT substituiert werden. Das Ergebnis ist f*(1) 7 7 1 E P ejna"/Nr); N 1 - 1 5 "N / 2 F:w 31 4 1 Bild 5-5. Fourier-Transformierte und DFTs für das Beispiel 5-2 Die Amplitudenspektren in Bild 5 4 findet man, indem man in Gleichung 5-8 dito Amplitude nimmt, d.h. I 4. Rekonstruktion durch Fourier-Reihen keine D1FF; • T - 1.25 , — Beispiel S-2: Das Spektrum von l(t) sei reell und gegeben durch T • .1 etre -.1.1 - . 1 . 2 •-o / j„ Sie werden, wie dies häufig der Fall ist, für in = - N / 2 bis N/2 anstatt für m = 0 bis 14-1 aufgetragen, dh. über eine Periode des Spektrums FOG)) von co = - n / T bis n/T. 12.5 IF(50 1.25 2 I N -1 V P./2/2; I m I wenn N gerade ist m f < N/21 (5-28) Der Beweis, daß f"(nT) gleich fr, ist, der zur Übung empfohlen wird, geht im wesentlichen wie in Gleichung 5-13 vor sich, mit der Ausnahme, daß, wenn N gerade Ist, die letzten DFT-Komponenten nur mit halbem Wert genommen werden eisen, so daß Fin, anstelle von Fm gesetzt werden muß. Wenn natürlich N ungerade Ist, sind Fm' und rin gleich, da m nie N/2 sein kann. So wird die Rekonstruktion von P1(nT) gleich der von fn und deshalb gleich der 86 D i e Rekonstruktion durch Fourier-Reihen diskrete Fouler-Transformation von f(t) an den Abtastpunkten. Aber die Frage entsteht, was geschieht zwischen und jenseits der Abtastpunkte? Zunächst ist ersichtlich, daß jenseits des Abtastbereiches von t = 0 bis NT die Funktion fs(t) sich einfach wiederholt, da Gleichung 5-28 wieder gerade eine Fourier-Reihe ist. Die Fourier-Koeffizienten sind diesmal (Fm' /N), und die Grundfrequenz ist 1/NT Hz. Dies legt den Gedanken nahe, daß, wenn f(t) ein abgetasteter Impuls ist, es bequem ist, an eine periodische Darstellung von f(t) zu denken, nämlich an fp(t) wie in Bild 5-6. Dann sollte die Fourier-Reihen-Rekonstruktion f•(t) die Funktion fp(t) annähern und ebenso f(t) im Intervall von 0 bis NT. 8 7 N- i N wenn i m + kN ._0 0 sonst (5.33) in der k eine beliebige positive oder negative ganze Zahl unter Einschluß der Null ist. Das Ergebnis in Gleichung 5-32 kann daher vereinfacht werden zu N - (5-34) So ist für die DFT in dieser einfachen Weise die Beziehung zu den spektralen Koeffizienten von fp(t) hergestellt. Mit diesem Ergebnis kann die Frage, ob N i ) und fp(t) gleich sind, beantwortet werden. Wenn fp(t) auf Frequenzen unterhalb von 1/2T Hz begrenzt wird, dann wird cl in Gleichung 5-29 für lil > N/2 gleich Null sein. Daher gilt in Gleichung 5.34 c„ — N 0 N r n T f•(r) Die nächste Frage lautet, ob N i ) , das periodisch und gleich fp(t) und f(t) an den Abtaststellen ist, auch wirklich mit fp(t) zu den anderen Zeiten übereinstimmt. Die Antwort hängt natürlich davon A , ob es spektrale Überschneidungen gibt. Es ist lehrreich, die Antwort zu gewinnen, indem man fp(t) durch eine FourierReihe darstellt und dann die Koeffizienten untersucht. Es sei (5-29) Eciel(2•NINn I- - Dies ist wieder die komplexe Form der Fourier-Reihe, und hier ist ci der konjugiert komplexe Wert von c_1. Die Gleichung 5-29 bringt also fp(t) und auch f(t) im Intervall (0, NT) zum Ausdrucrund daher kann eine Komponente Fm der DFT von f(t) folgendennaßen geschrieben werden: N-1 E (5-30) ••0 N-1 E (5-31) N- I c, E - • - 0 ( (5.35) Dann werden die Gleichungen 5-28 und 5-29 identisch, d 1. in Gleichung 5-28 ist Bild 5-6. P e r i o d i s c h e Darstellung von f ( t ) E < N/2 s o f e r n keine spektralen Überschneidungen existieren 5 - 3 2 ) Die innere Summe in Gleichung 5-32 ist ersichtlich eine einfache geometriscbi: Reihe und hat daher eine geschlossene Form E 1 . 1 w1. Dann hat man ersichtlich • 6. Änderung der Zahl der Abtastungen Bei der Berechnung der DFT eines Impulses ist die Wahl der gesamten Abtastperiode von praktischem Interesse. Man betrachte zuerst den in Bild 5-12 dargestellten Fall, in dem die Zahl der Abtastwerte von z.B. M auf N verringert wurde, ohne daß die Impulsform beschnitten wird. Wir wollen zuerst den Fall betrachten, in dem nur die Nullen eliminiert werden. 94 D i e diskrete Fourier-Transformation V e r k ü r z u n g 9 5 Abtestwerte von f ( t ) = 2.5 e- t ein St f(t) 1 tat Ini01 e T mit NT . 5 Bild 5-12. Verkleinerung dergesamtenAbtastzeit ohne Verkürzung Die DFT in Gleichung 5-5 bleibt unverändert, wenn man die Größe des Abtastwertesatzes von M auf N verringert, denn in jedem Fall gilt N-1 F(jw) = (5-51) -w/.05 - s / . 1 r/.1 • -0 mit NT - 4 und auch die Faltungsfrequenz n/T ändert sich offensichtlich nicht. Die Zahl der Werte von F(jco), die in Gleichung 5-7 berechnet werden muß, ändert sich jedoch von M auf N. 7. V e r k ü r z u n g -v/.05 /.1 1/.05 Andererseits ist es in der Praxis oft zweckmäßig, einen Teil von f(t), wie in Bild 5-13 dargestellt, zu eliminieren. Viele impulsartige physikalische Phänomene klingen exponentiell ab, und es kann unpraktisch sein, den Abtastprozeß über die ganze Zeit zu erstrecken, in der f(t) von Nuß verschieden ist, was theoretisch sogar bis Unendlich gehen kann. Gerade in diesem Fall wirkt sich dies offensichtlich auf die DFT aus, und die Größe der Auswirkung hängt sowohl von der Form von f(t) als auch von dem Ausmaß der Verkürzung ab. Einen allgemeinen Ausdruck für die Wirkung einer Verkürzung auf die DFT kann man erhalten, indem man f(t) in der Form (5-52) f ( t ) - A r " cos(ßt + -y) ansetzt, so daß der abgeschnittene Teil von f(t) eine abklingende Sinusschwingung ist. Um den Fehler zu untersuchen, der durch die Verkürzung verursacht wird, ist es bequem, die Fourier-Transformation anstelle der DFT zu betrachten. Die gesamte Abtastzeit ende wie in Bild 5-13 bei t = NT: F(jw) ,- f N T j(t)e-/"'dl + f f(i)e-fidelt ce P r r - F,(jw) + F,(jw) ( 5 - 5 3 ) Wenn nur N Abtastwerte genommen werden, wird von der Funktion Fuw) der erste Teil F i (jLL) mit der DFT gefunden bzw. approximiert, so daß Fe(jw) zum Fehlerterm bzw. zur Differenz zwischen F(jw) und F i (jw) wird. 3 w / . 0 5 mit NT = 2 -19%05 - I V . 1 0 w / . i . / . 0 5 Bild 5-13. Auswirkungen einer Verkürzung auf dasberechnete Spektrum für den Fall, daß C(I) einegedämpfteSinuswelle ist. (Oben) 100 Abtastwerte von 1(1); (zweite Zeile) Amplitudenipektrum mit N = 100 Abtastwerten; (dritte Zeile) mit N = 80 Abtastwerten; (unten) mit - NIANNINtastwerten. In allen Fällen beträgt der Zeitschritt T = 0.05 Einen intuitiven Eindruck von der Größe des Fehlers kann man aus Bild 5-13 erhalten, das die berechnete DFT für verschiedene Beobachtungszeiten der Dauer NT zeigt. Die in Gleichung 5-52 für Bild 5-13 gewählten Parameter sind A -= 2.5, er? 1, ß =4 und 7 = —x/2, so daß f(t) mit der Funktion in Bild 5-4 übereinstimmt. Sit;T c 0,05 läßt Bild 5 4 im betrachteten Fall vermuten, daß es sehr wenig spektrale überschneidungen in der DFT gibt, und deshalb ist der in Bild 5-13 gezeigte Fehler im wesentlichen auf den Verkürzungsfehler zurückzuführen. . -Ehr brauchbares Maß für den Verkürzungsfehler ist das Integral der quadrierten Amplitude von Feura), die, wie in Kapitel 3, Abschnitt 1, ein Maß für die gesamte 96 D i e diskrete Fourier-Transformation Endliche Dauer der Abtastung p(t) TA, n fl fl 8. Endliche Dauer der Abtastung Wie schon in Kapitel 4, Abschnitt 4, erwähnt, gibt es manchmal Fälle, in denen die Abtastwerte der Funktion 1(t) keine Nadelimpulsfunktionen sind und auch nicht als solche behandelt werden können. Wenn es bei dem Abtastprozeß darum geht, eine physikalische Größe zu messen und eine Analog-Digital-Umwandlung durchtufiihren, muß gewöhnlich Energie vom Meßgerät absorbiert werden. Wenn es nicht nur um die Absorption eines einzigen Energiequants geht, erfordert die Absorption Zeit, und daher benötigt die Abtastung eine von Null verschiedene Zeit. In gewissem Sinn werden zwei Arten von spektralen Effekten durch die endliche Abtastzeit verursacht. Der erste ist der auf das Spektrum des Satzes der Abtastwerte selbst wirkende Effekt, der am wichtigsten bei reinen Abustsystemen ist. Der zweite ist der auf das berechnete Spektrum von 1(t), d.h. auf die DFT gerichtete Effekt. t(t)-p(e) x t y e ) Bild 5-14. Arbeitsweise des Abtasters mit endlicher Dauer Die Einheitsimpulsfolge p(t) kann, da sie eine periodische Funktion ist, in folgender Weise in eine Fourier-Reihe entwickelt werden: p(i) E T/2 — T (5-54) Was ändert sich nun an Fs(jto), jetzt als Fourier-Transformierte der Abtastfolge betrachtet, wenn die Impuls-Abtastzeiten endlich werden? Diese Frage wird (nach [Ragazzini und Franklin 1958]) wie oben in Abschnitt 3 für den Nadelimpulsfall beantwortet, indem man eine Folge von endlichen Impulsen p(t) ansetzt, wie dies in Bild 5-14 veranschaulicht ist. Die Dauer jedes Impulses beträgt w sec, und die Amplitude ist als T/w angegeben. (Für irgendeine andere konstante Amplitude kann p(t) einfach in der folgenden Diskussion mit einer Konstanten multipliziert werden.) Das Produkt fr(t) = f(t) • p(t) stellt nun die Folge endlich langer Abtastwerte von f(t) dar, d.h. das Ergebnis eines Abtasters in einem reinen Abtast• system. p ( i L ▪ T rin a r m e m di /2 wn _LT Was das Spektrum des Satzes von Abtastwerten selbst betrifft, erinnern wir uns zuerst daran, daß von Fs(jw), der Transformierten des Abtastergebnisses in Kapitel 4, gezeigt wurde, daß es die Fourier-Transformierte (nicht die DFT) der Folge von Impulsabtastungen ist, so daß Gleichung 5-22 für das Impulsabtasten du Ergebnis liefert F.Lico) 7 r(t) Energie ist, die durch die Verkürzung verloren wurde. Eine weitergehende Diskussion kann man in Kapitel 13, Abschnitt 6, finden. In vielen Fällen können die Abtastungen so behandelt werden, als ob sie Nadelimpulsabtastungen wären, obgleich sie es nicht sind. Das Urteil, ob sie (oder ob sie nicht) so behandelt werden können, kann man darauf stützen, ob f(t) während der Zeit, in der jeder Abtastwert genommen wird, relativ konstant ist (oder nicht). Hier sei nun 'angenommen, daß Änderungen von 1(t) während des Abtastintervalls in Rechnung gestellt werden müssen. 9 2 _ e onamdt :: nr2ww T T . n rww e ramm a e . n—ww (5-55) Daher ergibt sich die Abtastfolge von f(t) zu L(0 ( r ) 0 ( 0 «. s • ( I ) sin n r w e i (2nal r I ▪ n r a r 7 ' (5-56) und das Spektrum erhält man aus Zeile 6, Tabelle 3-1, Kapitel 3 „__. nwir sin n r w F ( j j T T 2") (5-57) Daher wird, im Gegensatz zu Gleichung 5-54, noch eine Einhüllende der Form (ain x)/x bei der Überlagerung der ursprünglichen Spektren wirksam. 98 Endliche Dauer der Abtastung Die diskrete Fourier-Transformation Zwei Grenzfälle der Gleichung 5-57 erkennt man sofort. Der erste besteht darin, daß die Abtastdauer w gegen Null geht, und da (5-58) lim s i n n-->=1 = I rin werden die Gleichungen 5-57 und 5.54 identisch, abgesehen von einer Konstanten, d.h. Fitico) E F Q . _ ; 2rn) (5-59) wenn W -I> 0 9 9 Wenn man andererseits annimmt, daß von jedem endlich langen Abtastwert der Mittelwert erfaßt wird, kann die allgemeine Auswirkung auf die Spektralberechnungen wie folgt gefunden werden. Man nehme an, daß ein Segment von f(t) von t = 0 bis t = (N- 1 ) T wie in Bild 5-15 abgetastet wird mit der Absicht, die DFT zu berechnen — oder eine äquivalente Fourier-Komponente — bei einem Satz von Frequenzen, der die Frequenz to einschließt. Für diesen Zweck kann man bezüglich f(t) behaupten, daß es einen unbekannten Anteil bei der Frequenz ca enthält, plus Anteile bei anderen Frequenzen: j ( r ) s i n ( w t + a) + g(t) ( 5 6 1 ) Die fehlende Konstante l a in Gleichung 5-59 ist daraus zu erklären, daß die Fläche jedes Impulses in p(t) zu T anstatt zu I angenommen war, siehe Bild 5-14. Hierbei ist A die Amplitude und a die Phase des unbekannten Anteiles, und g(t) enthält keine bei o liegenden Anteile. Der zweite Grenzfall in Gleichung 5-57 besteht bei w = T, so daß kein Zeitintervall zwischen den Abtastungen übrig bleibt. Dann ist nur der Term für n = 0 von Wenn der A-D-Wandler jeden Abtastwert von f(t) mittell, muß der Wert des n-ten Abtastwertes von f(t) in Gleichung 5-61 sein Null verschieden und es folgt 8,(/w) F ( j w ) w e n n w f T ( 5 - 6 0 ) W Das Ergebnis ist natürlich sinnvoll, da das Ausgangssignal des Abtasters in diesem Grenzfall genau gleich f(t) ist. Wenden wir uns nun dem zweiten Effekt des endlich langen Abtastens zu, der zu Anfang dieses Abschnittes erwähnt wurde, nämlich der Frage, welche Änderungen sich in dem berechneten Spektrum von f(t) im Gegensatz zu dem Spektrum der oben diskutierten Abtast-lmpulsfolge ergeben. .7+ r/2 f (t)dt I. w 1 f W / 2 a."42 A sin(wt + a)dt + E. t r / 2 [sin (6"9/2)] A sin(wnT + a) + g. ww/2 (5-62) Hierbei ist gn der n-te Abtastwert von g(t). Hier wird natürlich angenommen, daß die Spektralberechnung sich auf das Ausgangssignal eines A -D-Wandlers bezieht, und die Charakteristiken des Wandlers beeinflussen natürlich das Ergebnis. Viele Wandler erfassen den Spitzenwert der endlich langen Abtastung und verursachen so einen ,jitter" in der Folge von Abtastwerten. Der Effekt dieses ,jitters" ist in allgemeiner Weise schwer abzuschätzen, da er von den Einzelheiten der Impulsform abhängt (siehe Kapitel 4, Ab- Somit zeigt Gleichung 5-62 an, daß ein Abtastintervall der Breite w den Effekt hat, den berechneten Anteil von f(t) bei der Frequenz GJ um den Betrag in den eckigen Klammern herunterzuteilen. Das bedeutet, Abtasten bei endlicher Impulsbreite legt dem berechneten Spektrum von f(t) eine Einhüllende der Form schnitt 4). auf, sofern f(t) über die Impulsdauer gemittelt wird. Man beachte den Spezialfall für w = 27r/to, bei dem die Einhüllende E gleich Null ist. Dies Ergebnis ist sinnvoll, da hier ein Abtastwert das Mittel von f(t) über eine vollständige Periode der In Frage stehenden Frequenzkomponente darstellt. Der andere Spezialfall ergibt M t für w = 0 und bedeutet ein Abtasten mit Dirac-Impulsen, für die E= 1 gilt. sin (ww/2) ww/2 (5-63) Faßt man die Ergebnisse dieses Abschnittes zusammen, so kann man dies mit den zwei folgenden Formeln, die die Auswirkungen des endlich langen Abtastens • sof das Spektrum der Impulsfolge und auf das berechnete Spektrum, d.h. die DFT - f ( t ) , wiedergeben. Die erste ist Gleichung 5-57, die zweite ist Gleichung 5-54 multipliziert mit der Einhüllenden E in Gleichung 5-63. Dis Spektrum der Folge endlich langer Impulse ist F,(jw) Bild 5-15. Abtastwerte endlicher Dauer für die A-D-Wandlung E . nwrsin - j r ) T r2rn w n T (564) Übungen 101 100 D i e diskrete Fourier-Transformation Das berechnete Spektrum der endlich langen Abtastzeiten, unter der Annahme, daß der A-D-Wandler f(t) über jedes Abtastintervall mittelt, ist Foto, s i t S L L I i i iF Qco T w e v /2 T 2.rn (5-65) + cos 0; I (5-66) I < und werde in Abständen von 0,8 sec abgetastet (schnell genug, damit keine spektralen Überschneidung entstehen) mit einer Abtastbreite von w = 0,4 sec. Wie lautet das Spektrum F5(jw) der Abtastimpulsfolge und wie lautet die berechnete DFT P(jc.)), wenn der A-D-Wandler f(t) über jede Abtastbreite mittelt? Die Antge wort ist in Bild 5-16 gezeigt. Man beachte, wie in beiden Fällen die endlich langef der F o u r i e r - T r a n s Abtastung eine Einhüllende über die Überlagerung legt. Den Verlauf von Paco) sollte man mit dem des Impulsabtastens in Beispiel 5-2 vergleichen. Fourier-Transformierte von f ( t ) 1 Ein Impuls s(t) habe das folgende Spektrum .11 - I c.)/41r t o I;I < 4 r 0: I @ I > Beispiel 5-5: Eine Funktion f(t) habe das Spektrum FX.iw) 9. Übungen und werde über seinen ganzen von Null verschiedenen Bereich in Abständen von T Sekunden abgetastet. Skizziere die DFT und g(jw), a) wenn T = 0,5 sec; b) wenn T = 0,3 sec; c) wenn T = 0,2 sec. 2. E i n Impuls u(t) habe das Spektrum U(joi) = Icos (10-31-4; I < 500 0: I w I > 500 und werde m Abständen von einer Millisekunde über seinem von Null verschiedenen Bereich abgetastet. a) Skizziere die DFT und U(jw). b) Skizziere das Spektrum der Whittakerschen Rekonstruktion u*(t). 3. Gegeben sei die Funktion f(t) = 200 t e—I°t für t > 0 und ein Abtastintervall von T = rr/30 sec. a) Leite F(jw) ab und skizziere den Betrag. b) Leite eine Formel für F(jw) ab. c) Mache unter Benutzung von IF(jw)l eine ungefähre Skizze von Injw)1. PUw) 4. Wenn f(t) das abgebildete Spektrum hat, skizziere die DFT für Abtastraien von r, r12 und r/4 Abtastungen/sec. F(.10 Four ier-Transf oraler te der Abtagt-Impulsfolge Fe(ird) Ak A A. 3. 4 J r J r 5. Ermittle für die abgebildete abgetastete Funktion die DFT (a) durch Heranziehung von N = 5 von Null verschiedenen Abtastwerten und (b) mit N = I I. Wenn es einen Unterschied gibt, kommentiere ihn. =1 Bild 5-16. Spektren Ihr das Beispiel 5-5:T = 0.8 sec, w = 0.4 sec, welche die Auswirkungen der Abtastuns mit endlich breiten Impulsen auf die Ablastimpulsfolge und auf die berechnete DFT zeigen 102 Übungen Die diskrete FGefier-Transformation 6. Gegeben seien die hier wiedergegebenen Abtastwerte von f(t). Berechne die DFT für a) N = 4 und b) N = 6 Abtastpunkte. 103 12. L e i t e die vereinfachte Form von N-1 tara(i-ielN a-0 in Gleichung 5-33 ab. 6 7. W e n n f(t) = e ' t cos (t + -y) im Bereich (0,10) oft genug abgetastet wird, um seinen wesentlichen Frequenzinhalt zu erfassen, gib eine Fehlergrenze im berechneten Amplitudenspektrum Injw)1 an. 8. Stelle für f(t) in Aufgabe 6 eine Formel für die Rekonstruktion f•(t) auf, und zwar ftir a) N = 4 Abtastungen und b) = 6. 9. ( M i t Rechner) Die Funktion f(t) = 3 e f ü r t > 0 werde bei t = 0, I , 63 abgetastet. a) Finde die Fourier-Transformierte F(jw). b) Gib Erläuterungen über die Zulässigkeit der Abtastrate. c) Gib Erläuterungen über die Zahl der Abtastpunkte. d) Finde die DFT. e) Trage die Beträge von F(jw) und F(jw) auf und betrachte den relativen Fehler. 10. ( M i t Rechner) Die Funktion f(t) = t e U I ° für t > 0 werde bei t = 0,1, ..., 127 abgetastet. a) Finde die Fourier-Transformierte F(jw). b) Finde die DFT F(jw). c) Zeichne und vergleiche die Funktionen IFOcab und Ir(jca)1. d) Errechne die Reensektion f•(t) für die Abtastpunkte und in der Mitte zwischen ihnen. e) Zeichne und vergleiche f(t) und f t ) . 11. Abtastwerte werden im wesentlichen über den ganzen von Null verschied nen Bereich der Funktion f(t)-r'; t k . 0 genommen. Sie beginnen bei t = 0 und schreiten in Abständen von T Se den fort. Zeichne das Amplitudenspektrum 1E041 zusammen mit d DFT-Betrag Iraca)1 für T = 0.1 und T = 02 und vergleiche die drei nungen. --eeddes...z:24116 13. Gegeben sei die Funktion f(t) = (4/r) hin t + (1/3) sin 3 t + (1/5) sin 5 tj für t im Intervall 0 < t < 2 n. Eisichtlich ist f(t) für eine Periode gleich den ersten drei Termen der Rechteckwelle in Aufgabe 19 von Kapitel 2. Nimm an, daß f(t) regelmäßig in dem angegebenen Intervall abgetastet wird. Berechne und skizziere mit Gleichung 5-34 die DFT von f(t) für (a) 14 = 17 Abtastungen, (b) N = I I , (c) N = 10 und (d) N = 9. 14. L ö s e Aufgabe 13 für den Fall, daß f(t) = (8(r2) [cos t + (1/9) cos 3 t + (1/25) cos 5 t] im Intervall (0,2n), ähnlich zur Aufgabe 20 in Kapitel 2. 15. E s seien Rm und Im die reellen und imaginären Teile von Fm. Drücke dafür die Rekonstruktionsformel in Gleichung 5-38 als eine reelle Fourier-Reihe der Form fe(0= a0/2 + E (am cos m weit + bm sin m 0 aus. 16. Gegeben sei die gezeigte DFT mit 14 = 5. Finde die Rekonstruktion der Fourier-Reihe von f(t). 2 1 -2 - 1 I 0 1 1 2 17. Beweise in Gleichung 5-28, daß f"(nT) = fn für den Fall, daß N gerade ist. 18. Gegeben sei ein A -D-Wandler mit einem Abtastinterrall von 10 it sec, der jede Abtastung von f(t) über ein Fenster der Breite w mittelt. Wähle w so, daß spektrale Überschneidungen, die von einer 1-MHz-Rauschkomponenten in f(t) herrührt, im wesentlichen eliminiert werden. 19. E i n e Funktion f(t) mit dem Spektrum F(jw) = cos (c42) für Iwl < 3 ir und so- gleich Null außerhalb dieses Bereiches werde in Abständen von einer halben Sekunde abgetastet und m i t der Whittakerschen Formel rekonstruiert. ei Skizziere das Spektrum der Rekonstruktion. 20. Gegeben sei der hier gezeigte Satz von Abtastwerten, wobei t in Sekunden "gemessen wurde. t 0 12 3 4 5 1(0I 0 3 5 2 I 0 Finde eine Funktion fe(t), welche den gleichen Satz von Abtastwerten hat t_ u n d keine Frequenzen oberhalb von 1/2 Hz enthält. Zeichne f ( t ) für 0 < t <5. 106 D i e schnelle Fourier-Transrormation Die Redundanz in der DFT 1 0 7 in Kapitel 5 wird die Diskussion vereinfacht, wenn man annimmt, daß der ganze Wertesatz F0, FiF N —1 berechnet werden soll. Ein einfaches Maß des Rechenaufwandes in Gleichung 6-1 ist die Zahl der komplexen Produkte, die durch die Gleichung und durch den Bereich von m impliziert werden. Man sieht leicht, daß es bei der Gesamtberechnung des Wertesatzes [Fm] N Summen bezüglich m gibt, jede mit N Produkten aus fn und der Exponentialfunktion, oder b72 Produkte insgesamt. Wegen der zyklischen Eigenschaft der Exponentialfunktion kann man vermuten, daß einige dieser Produkte redundant sind, dh. daß sie ein- oder mehrmals im Verlaufe der gesamten Rech- N keine Primzahl ist, sondern z.B. einen Faktor 2 hat, so daß N = 2 P und P ebenfalls eine ganze Zahl ist. (Diese Ableitung geht auf [Cochran, Cooley u.a., 1967] zurück.) Man könnte dann den Wertesatz [fnj in zwei Teilsätze zerlegen, wobei einer von ihnen geradzahlige Abtastwerte und der andere ungeradzahlige Abtastwerte enthält, und man könnte Gleichung 6-3 wie folgt schreiben: r-1 Fift so daß die DFT-Formel in Gleichung 6-1 sich jetzt schreibt N— m 0 , I, N —I (6-3) Jeder Term Fm kann als Linearkombination des Wertesatzes ffn1 mit dem Koeffi. I — E A n W N21" ft —0 W I E h .0 A n I W N2R« ( 6 - 4 ) Der Wertebereich von m geht hier wieder von 0 bis N - 1, und P ist durch Definition gleich N/2. Daher hat jede Summe in Gleichung 64 gerade N/2 Produkte, und es scheint zunächst, daß.es jetzt N + 1 Produkte für jedes m gibt (unter Einschluß des Produktes von WN mal der zweiten Summe) oder N2 + N Produkte insgesamt. nung wiederholt werden. Um die Notierung in Gleichung 6-1 zu vereinfachen, möge WN den invarianten Teil des Exponentialtermes darstellen, dh. (6-2) e -112.1N) E ..o ' t e Bei genauerer Untersuchung jedoch kann jede Summe in Gleichung 6 4 in der Form einer DFT geschrieben werden. Wir setzen Juni 1f2o1 und [b0] = 1f2n+11, stellen dadurch also jeweils den Satz von gerad- und ungeradzahligen Abtastwern dar. Die DFTs von [an] und [hfl] lauten Aw zientensatz [ W i r ] aufgefaßt werden. E o-o P-1 616 = E baWir: st —0 15 bre b73- m = 0, — I Aber aus Gleichung 6-2 folgt ersichtlich auch Wr e—N2T e - f t b r. 2 / N ) (e-jitr/N))2 ▶ 8 w16 We V a 8 • • 9 8 o Bild 6-1. Darstellung der Äquivalent verschiedener Potenzen'von WN mit N = 8 Der zyklische Charakter der Koeffizienten, der bei Beachtung der Definition von WN •in Gleichung 6-2 leicht zu erkennen ist, ist in Bild 6-1 für N = 8 veranschaulicht. Man beachte, daß N benannt werden mu8, um exakt die Äquivalenz verschiedener Potenzen von WN angeben zu können. Diese Tatsache schafft Probleme für eine allgemeine Diskussion der FFT, und daher soll der spezielle Fall mit N =>} für die meisten Darstellungen in diesem Kapitel verwendet werden. Wie kann man nun aus der zyklischen Eigenschaft von WN" Vorteil ziehen, uni einige der 142 Produkte in Gleichung 6-3 zu eliminieren? Eine teilweise, aber einfache Antwort auf diese Frage kann man finden, indem man zuerst annimmt, daß w h? Daher ist W i r = , und für m < P können die Größen Äm und 13; in Gleichung 64 eingesetzt werden, um folgendes Ergebnis zu erhalten: - + m - 0, 1, . . , P — I (6-7) Aber auch, wenn in > P, wiederholt sich die DFT in Gleichung 6-5 einfach, denn -Gleichung 5-10 von Kapitel 5 gibt in der Tat und 16-8) Daher kann rn in Gleichung 6-5 über N - I erstreckt und die vollständige DFT von N Abtastwerten wie folgt ausgedrückt werden - 71. + Wil"ff.; m - 0, I, , N— 1 ( 6 - 9 ) Die Bedeutung dieses Ergebnisses liegt darin, daß die DFT von N Abtastwerten eine Linearkombination von zwei kleineren DFTs geworden ist, jede mit N/2 Abrastwerten. Jede kleinere DFT erfordert (N/2)2 Produkte, und so erfordert Gleichung 6-9 alles in allem 2(N/2)2 + N = N(N/2 + 1) Produkte, was, wenn N groß kt, eine beträchtliche Ersparnis gegenüber den ursprünglichen N2 Produkten ist. 108 Zerlegungendes Abustwenesatzes D i e schnelle Fourier-Transformation Man beachte, daß, wenn N durch 4 teilbar gewesen wäre (dh. e teilbar durch 2), die zwei DFTs [Am) und (13m j dann noch weiter in zwei kleinere DFTs zerlegt werden könnten und so weiter, wobei dann immer mehr redundante Produkte der ursprünglichen DFT eliminiert würden. Die kleineren DFTs ergeben sich dadurch, daß der ursprüngliche Wertesatz in Teilsätze zerlegt wird. Die Betrachtung möglicher Zerlegungen im nächsten Abschnitt wird uns befähigen, allgemeine For- 1 0 9 0 1 2 3 4 5 - - N-1 0 3 6 — N-3 1 4 7 — N-2 2 5 8 — ti-1 Bild 6-3. Zerlegung des Abtastwertesatzes in drei Teile, indem man nur jeden dritten Abtastwert nimmt men der FFT zu entwickeln. Die FFT beruht jedoch mehr auf einer wiederholten Zerlegung als auf der bisher besprochenen Einzelzerlegung. Es ist dafür am bequemsten, N als Potenz von 2 anzunehmen. 3. Zerlegungen des Abtastwertesatzes N Bei der Ableitung der Gleichung 6-5 wurde der ursprüngliche Wertesatz [fn) in zwei kleinere Sätze zerlegt, indem man nur jeweils den übernächsten Abtastwert nahm. Diese Zerlegung wird in Bild 6-2 veranschaulicht, in dem ganze Zahlen anstelle der Abtastwerte benutzt werden, um die Schreibweise zu vereinfachen. Die direkteste Ableitung der FFT geht davon aus, daß N eine Potenz (nicht ein Vielfaches) von 2 ist, so daß die Zerlegung, wie unten erklärt, wiederholt werden kann. Die oben beschriebene Zurückführung auf Produkte hängt jedoch nicht davon ab und [fn] kann daher auch genausogut in anderer Weise zerlegt werden. 0 1. 2 3 4 5 - - N - 1 2 e (Es ist wichtig zu bemerken, daß auch irgendeine andere Basis als 2 für die folgende Diskussion ausgewählt werden könnte und daß 2 nur die bequemste Basis ist, um die FFT zu veranschaulichen.) Mit N = 2q kann jede (tilgende Zerlegung des ursprünglichen Wertesatzes [f01 weiter zerlegt werden, bis man insgesamt q Zerlegungen hat. Zum Beispiel zeigt Bild 6-4 die vollständige Zerlegung mit N = 8 bzw. q = 3. Jedes Niveau in dem Diagramm ist einfach eine Wiederholung von Bild 6-2. I m allgemeinen bpwirkt der Satz von q Zerlegungen ein Phänomen, das man Bitumkehr nennt, siehe Bild 6-4. (0on) (001) (010) t o t o (lon) (101) (110) ( m ) 1 1 3 5 7 - - N-1 0 2 4 6 — N-2 o Bild 6-2. Zerlegung des in Abschnitt 2 behandelten Abtastwertesatzes N —1 F„ E Lx"Q w « 2 0 4 0 (000) wie folgt geschrieben werden: E « -0 1 3 I 0 2 4 6 Man nehme z.B. an, daß N ein Vielfaches von 3 ist, dh. daß N = 3 Q. Dann könnte man eine Zerlegung vornehmen, indem man nur jeden dritten Abtastwert wie in Bild 6-3 nimmt. Die ursprüngliche DFT könnte man dann in eine Kombination von drei kleineren DFTs zerlegen, in einer Weise, die im wesentlichen dieselbe wie im vorstehenden Abschnitt ist. In der Tat kann mit N = 3 0 die DFT-Formel Q- 1 (6-1 I ) 2 (010) 5 6 7 1 13 5 7 26 4 (100) 4 15 6 (110) 1 5 (001) ( 1 0 1 ) 3 7 3 ( 0 11 ) 7 ( 111 ) l a d 6-4. Vollständige Zerlegung des Ablastwertesalus mit 14 = 8 und Bitumkehr . 1 - . Q E 0 + s e -I I r t ' E . 0 f 3«+2W N3M ( 6 - 1 0 Die Prozedur in Abschnitt 2 könnte man nun dazu verwenden, um die DFT als eine Linearkombination dreier kleinerer DFTs auszudrücken, wieder mit dem Ergebnis einer Reduzierung der erforderlichen Zahl komplexer Produkte. Vergleicht man die Gleichungen 6 4 und 6-10 miteinander, so ist die Erweite rung auf Fälle, in denen N einen Faktor von 4, 5 usw. hat, leicht durchzuführen; Während der Zerlegung bleibt innerhalb der Teilwertesätze die Ordnung der Abtastwerte unverändert, aber auf dem letzten Niveau ist die Ordnung so, als ob jede Numerierung in binärer Notation geschrieben und dann bezüglich der Reihenfolge umgekehrt worden wäre. Zum Beispiel bleibt die Numerierung bei Position Null (000) unverändert, die Numerierung bei Position Eins (001) wird Vier (100) usw. Diese Bitumkehr geschieht in gleicher Weise für alle Werte von q und ist daher ein bequemes Mittel, eine vollständige Zerlegung an der Ordnung der Abtastwerte zuerkennen. Die FFT mit Zeitzerlegung 110 D i e schnelle Fouler-Transformation Jede Stufe in der vollständigen Zerlegung des Abtastwertesatzes legt eine entsprechende Zerlegung der DFT in einen Satz von kleineren DFTs nahe, wobei die FFT das Endergebnis ist. Daher könnte Gleichung 6-9 rekursiv benutzt werden, um die FFT auszudrücken. Dabei würde jedoch die Schreibweise recht kompliziert werden. Ein besseres Ausdrucksmittel für die FFT ist das Signalflußdiagramm, das von S. J. Mason (1953) stammt und welches das Thema des nächsten Abschnittes ist. 4. Signalflußdiagramme Das Signalflußdiagramm ist ein Netzwerk aus Knoten, die durch Zweige miteinander verbunden sind, und es wird im allgemeinen benutzt, um zu beschreiben, wie ein Satz von Ausgangssignalen durch Verbindungen aus einem Satz von Eingangssignalen entsteht. Eine ziemlich spezielle Form des allgemeinen Signalflußdiagramms [Truxal 19551 soll hier benutzt werden, um die FFT zu veranschaulichen. Alle wesentlichen Eigenschaften dieser speziellen Form sind in Bild 6-5 dargestellt. Man beachte, daß der Signalfluß von links nach rechts geht, daß n den Exponenten von WN bezeichnet und daß eine durchgehende Linie den Exponenten Null darstellt, d.h. einen Koeffizienten Eins. Bild 6.6 zeigt zur weiteren Illustration eine vollständige DFT (oder FFT, da in diesem Fall keine Vereinfachung möglich ist) für N = 2. Das Diagramm hat die nützliche Eigenschaft, auf einen Blick zu zeigen, wie die Abtastwerte kombiniert werden, um die DFT-Werte zu erhalten. Es gibt auch die Zahl der komplexen Produkte wieder (zwei in diesem Beispiel), da jedes komplexe Produkt durch eine unterbrochene Linie dargestellt wird, dh. einen einzelnen Exponenten im Diagramm. (Da WN = I ist, bedeutet eine unterbrochene Linie mit n = 0 natürlich das gleiche wie eine durchgehende Linie im Diagramm. Unterbrochene Linien mit n = 0 sind in Bild 6-6 und in den folgenden Diagrammen aus Gründen der Symmetrie und der leichten Programmierbarkeit hinzugefügt.) 1 1 1 5. Die FFT mit Zeitzerlegung Der in Abschnitt 2 diskutierte und in Abschnitt 3 illustrierte Prozeß ist als „Zeitzerlegung" bekannt, da die Zeitfolge, dh. der Satz von Abtastwerten [fee I wie oben beschrieben zerlegt wird. Das in Abschnitt 4 eingeführte Signalflußdiagramm werde jetzt dazu benutzt, die Zeitzerlegungs-FFT zu veranschaulichen. Man betrachte wieder den speziellen Fall mit N = 8. Bild 6 4 zeigt die Zerlegung des Abtastwertesatzes und enthält, wie erwähnt, drei Anwendungen der Gleichung 6-5, wobei schließlich die FFT entsteht. Dieses Ergebnis ist jetzt auch in Bild 6-7 wiedergegeben, wobei das Signalflußdiagramm benutzt wurde. Das Diagramm zeigt explizit alle Summen und Produkte, die entstehen, wenn die Gleichung 6-5 dreimal auf die ursprüngliche DFT-Formel angewendet wird. Die Abtastwerte links sind vertikal in der Bit-Umkehr-Ordnung aufgelistet, da dies wie in Bild 6-4 die Ordnung ist, die sich nach der vollständigen Zerlegung ergibt. 7 F7 Bild 6-7. FFT ter N = 8 im Falle der Zeitzerlegung mit Bitumkehr am Eingang 7 7 wNx1 + x2 Bild 6-5. Ein einfaches Signalflußdiagramm r + Wof 0 2 1 - f 0+ 2Vif1 Bild 6-6. Signalflußdiagramm für die DFT (oder ITT) mit N = 2 Ihn zu verifizieren, daß Bild 6-7 wirklich korrekt ist, kanunan die Signalpfade nachziehen und nachprüfen, daß jede DFT-Summe korrekt ist, z.B. für m = I , fo f 1 Wel + + f7 Wie usw. Geht man von Bild 6-7 aus, so ist es leicht, auch andere Werte von q zu wählen (mit N = 24). Um z.B. q von 3 auf 4 zu vergrößern, würde man jeden der Exponenten in Bild 6-7 verdoppeln, das ganze Diagramm darunter noch einmal wiederholen und einen vierten Abschnitt rechts anfügen, der die zwei Diagramme zusammenbinden würde. Um q von 3 auf 2 zu verkleinern, nehme man einfach das obere -41Inke Netzwerk, das aus 3 Spalten zu je 4 Knoten besteht, und teile jeden der Exponenten durch zwei. (In allen Fällen müssen die Eingänge natürlich die Bitumkehr aufweisen.) 112 Die schnelle Fourier-Transformation Die F F T mit Frequenzzerlegung Da jedes komplexe Produkt in der FFT durch einen Exponenten im Diagramm dargestellt ist, sieht man leicht, daß es q Spalten von Produkten mit N Produkten in jeder Spalte gibt. Aber auch, daß die Hälfte der Produkte in jeder Spalte redundant ist, da aus Bild 6-1 ersichtlich v _ WZ—N/2 für n > N/2. Daher gibt es q Spalten mit jeweils N/2 Produkten und 1 1 3 Die dritte Zeitzerlegungsform der FFT [Cochran und Cooley, 1967] ist für N = 8 in Bild 6-9 wiedergegeben. Hier sind die Eingänge und Ausgänge in natürlicher Ordnung vorhanden, aber das einfache Muster des Netzwerkes ist verlorengegangen. f (6-12) q N N Zahl der komplexen Produkte = — 2 -2 — log, N Vergleicht man diese Zahl mit N2, der Zahl der Produkte in der DFT, so folgt Zahl der FFT-Produkte N Zahl der DFT-Produkte 2 N 2 ( 6 - 1 3 ) Dieses Verhältnis wird eindrucksvoll klein, wenn N anwächst. Zum Beispiel ist es kleiner als I% für N = 512. Auf diese Weise ergibt die FFT eine signifikante Ersparnis im Rechenaufwand. Das Bild 6-7 gibt natürlich auch einen Rechenalgorithmus an, und in der Tat enthält Anhang B eine FORTRAN-Subroutine, die auf der Zeitzerlegung mit Bitumkehr der Eingangssignale beruht. Andere Zeitzerlegungs-Algorithmen kann man erhalten, indem man die Knoten in Bild 6-7 umordnet. Wenn zum Beispiel die Zeilen der Knoten (jede Zeile hat 4 Knoten) miteinander vertauscht werden und die Zweige bei jeder Vertauschung unverändert bleiben, so daß sich die Eingänge schließlich in der richtigen Reihenfolge befinden, ergibt sich Bild 6-8. In dieser Darstellung werden die Eingangssignale in der richtigen Reihenfolge genommen, aber die Ausgangssignale sind jetzt in der Bit-Umkehr-Ordnung. Daher erfordert Bild 6-7 ein Umordnen des am Eingang liegenden Abtastwertesatzes, während Bild 6-8 ein Umordnen der berechneten DFT-Werte erfordert. 7 Bild 6-9. F F T für N = 8 im Falle der Zeitzerlegung ohne Bitumkehr Wenn man wieder die durch diese Diagramme implizierten Rechenalgorithmen ins Auge faßt, ist zu bemerken, daß die Diagramme auch aussagen, wie die Algorithmen gebildet werden müssen: Jeder Algorithmus muß von links nach rechts fortschreiten, indem er beim Abtastwertesatz beginnt und mit der DFT endet. Weiterhin enthält jedes Diagramm Folgerungen in bezug auf die zeitlichen Speichererfordernisse während der Rechnung. Man beachte, daß die Bilder 6-7 bis 6-9 Oberlagerungen von Zweielement-DFT-Formen sind, d.h. Wiederholungen des Musters von Bild 6-6. Daher kann die Berechnung in diesen Fällen aufaddierend durchgeführt werden bei Benutzung von nur zwei hilfsweisen Speicherzellen für komplexe Produkte. Zum Beispiel könnten in Bild 6-7 die Summen fo + Wg f4 und fp + Wä f4 berechnet und dann anstelle von fp und 1.4 gespeichert werden usw. 6. Die FFT mit Frequenzzerlegung Bild 6-8. F F T für N = 8 im Falle der Zeitzerlegung mit Bitumkehr am Ausgang Zusätzlich zu den drei gerade behandelten verschiedenen Formen der FFT gibt es drei analoge Formen, die auf der Zerlegung des Wertesatzes [Prn ] der DFT beruhen, anstatt auf der des Wertesatzes [fn ]. (Die hier folgende Ableitung geht auf [Cochran, Cooley u.a., 1967] zurück sowie auf [Gentleman und Sande, 1966].) Um diese Formen einzuführen, gibt es eine Zerlegungsformel, die ähnlich der Gleichung 6-9 ist. 11 4 D i e Die F F T mit Frequenzzerlegung schnelle Fourier-Transformation n 0 , 1„ b„ f . „ p; n = 0, 1. P , —1 (6-14) — 5 0 1 2 3 45 6 7 Bild 6-10. Zerlegung des Abtastwertesatzes mit N = 8 und ohne Bitumkehr gibt es keine Bitumkehr; die Werte bleiben in ihrer ursprünglichen Ordnung. Wegen der in den Gleichungen 6-17 und 6-18 vorliegenden Kombination der Terme kann Bild 6-10 nicht in der einfachen Art von Bild 6-4 erweitert werden. Dann schreibt sich die DFT-Formel wie folgt: N-1 F • 1 01 2 3 4 5 6 7 Um diese Zerlegungsformel abzuleiten, wollen wir wieder mit dem Abtastwertesatz [fn] beginnen und wie früher P = N/2 bestehen lassen, aber diesmal die Folge [fnj einfach in der Mitte teilen. Es sei a. f „ ; 1 E fit W i r n P-1 (6-15) E (de + WiN/20.3 WIR R . 0 Nun benutzen wirf wieder Gleichung 6-6, d.h. wir setzen Wp = V4,1 und lesen aus Bild 64 ab, daß 1 2 — I. Die OFT lautet jetzt P-1 Ela, +(—I)"b„) Wp"•12 (6-16) Das Signalflußdiagramm in Bild 6-11 gibt dagegen, wieder für N = 8, die dreimalige Anwendung der Gleichungen 6-17 und 6-18 wieder. Von links nach rechts fortschreitend werden bei jeder Stufe die Summen der Form (an + bn) und (an — bn) mit den zugehörigen Koeffizienten multipliziert und dann zusammengefaßt. Wie schon in Bild 6-10 ist keine Bitumkehr am Eingang vorgesehen; die DFT-Werte, die nun wie in Bild 6-4 zerlegt werden, kommen jetzt jedoch in der Bit-Umkehr. Ordnung am Ausgang ium Vorschein. Die Richtigkeit der DFT kann wie in allen diesen Diagrammen verifiziert werden, indem man jeden vollständigen Signalpfad vom Eingang zum Ausgang verfolgt, um zum Beispiel Ft = fc + f t WA t f2 Wi + , zu erhalten. Diese Art der DFT legt eine „Frequenzzerlegung" nahe, da sie verschiedene Formen für gerade und ungerade Werte von m hat. Für gerades m setzen wir zunächst k = m/2 und erhalten 4 P-1 F2. E (a„ + b„) ;VP; k 2 0 , I, P —I (6-17) Für ungerades m setzen wir entsprechend k = (m-1)/2 und erhalten, wenn wir 4 wieder Wp = W.,1 benutzen, F6 P-1 F2I1+1 E (a„ — b,JW,2*.e 042 ”1:1 P-1 E Ra. — b . ) 1 4 1 w i k ; k —1 0 , I, 2 , P — 1 (6-18) Zusammengenommen ergeben-el w i e lehn'ngen 6-17 und 6-18 alle N Werte der DFT. Einzeln genommen stellt jedtlth jede eine DFT der Ordnung P anstatt d von N dar. Die Abtastwertesätze sind [an + bnj für Gleichung 6-17 und [( bn) ] für Gleichung 6-18. a n i Daher ist in den Gleichungen 6-17 und 6-18 die DFT zerlegt in Sätze mit gerad und ungeraden Werten, wobei jeder Wertesatz sich aus einer kleineren DFT ergib Genau wie im Falle der Gleichung 6-9 können diese Gleichungen iterativ wandt werden, um die DFT vollständig in die FFT zu zerlegen. Bild 6-10 veranschaulicht die Zerlegung des Abtastwertesatzes in die Sätze [hin und [bn] bei N = 8 und einfacher Anwendung von Gleichung 6-14. In diesem F 4 f7 7 3 6 2 BW 6-11. F F T rar N = 8 im Falle der Frequenzzerlegung mit Bitumkehr am Ausgang V/ie im Falle der Zeitzerlegung kann man andere Versionen der Frequenzzerle-"engs-FFT edudten, indem man in Bild 6-11 die Knoten umordnet (und die Zwei$0 wie vorher beibehält). Die Bilder 6-12 und 6-13 zeigen die beiden anderen Vtirslonen, die sich zuerst durch Bitumkehr am Eingang und schließlich durch kciOaBitumkehr ergeben. ammengenommen bilden die drei Frequenzzerlegungsdiagramme in den Bil- 116 Matrix-Faktorisienmg D i e schnelle Fonner-Transformation dem 6-11 bis 6-13 und die drei Zeitzerlegungsdiagramme in den Bildern 6-7 bis 6-9 einen grundlegenden Satz von FFTs. Die vier Diagramme mit Bitumkehr sind im wesentlichen Überlagerungen von Zweipunkt-DFTs und erlauben daher, wie oben diskutiert, eine aufaddierende Berechnung. Es ist schließlich noch interessant zu bemerken, daß man für das Wechseln von der Zeitzerlegung zur Frequenzzerlegung oder umgekehrt einfach die Richtung des Signalflusses umkehren und die Rolle von f und F in jedem der sechs Diagramme austauschen kann. So ist zum Beispiel Bild 6-11 die Umkehr von Bild 6-7 usw. 1 1 7 7. Matrix-Faktorisierung Die Ableitung der FFT von der ursprünglichen DFT-Formel in Gleichung 6-1 kann man auch erhalten, indem man die Koeffizientenmatrix in dem Satz von linearen Gleichungen zur Darstellung der DFT in Faktoren zerlegt, wie dies beschrieben wurde von Good (1958), Andrews und Caspari (1970) und Kahaner (1970). In der Tat kann die FFT oder jede andere Zerlegung als ein Produkt von Matrixfaktoren ausgedrückt werden. Um dies darzulegen, wählen wir wieder N = 8, so daß die Matrix-Faktorisierung für die oben gezeigten Signalflußdiagramme durchgeführt werden kann. Die DFT in Gleichung 6-1 sei wie folgt ausgedrückt: Fo F1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 F2 0 2 4 6 0 2 4 6 0 3 6 I 4 7 2 5 0 4 0 4 0 4 0 4 Bild 6-12. FFT für 14.= 8 im Falle der Frequenzzerlegung mit Bitumkehr am Eingang Fy 0 5 2 7 4 Fr 0 6 4 2 0 6 4 2 0 7 6 5 4 3 2 1 10 A x Ia (6-19) 1 6 3 16 rr Hier ist, gerade wie in den Signalflußdiagrammen,jedes Element der 8 x 8-Koeffizientenmatrix ein Exponent (n) im Ausdruck m t , um die Schreibweise zu vereinfachen. Auch werden in Übereinstimmung mit Bild 6-1 Exponenten, die größer als 7 sind, rnodulo 8 genommen. Nun können mit der Exponentenschreibweise in Gleichung 6-19 die drei FFTFaktorisierungen, die den Zeitzerlegungsdiagrammen entsprechen, wie folgt ausgedrückt werden (da eine Null in der Koeffizientenmatrix den Wert Wä darstellt, wird jetzt ein Punkt benutzt, um einen Koeffizienten 0 zu bezeichnen): Tötet 4.i P6 7 6 4 ä i Bild 6-13. FFT für?! -= 8 im Falle der Frequenzzerlegung ohne Bitumkehr 120 D i e schnelle Fourier-Transformation Ü b sich nur der reelle Teil von [Fm 1 als von Null verschieden, und wenn f(t) ungern. de ist, ergibt sich nur der imaginäre Teil als von Null verschieden. Wenn ein große Prozentsatz der Abtastwerte in [fn] Null ist, kann ein Prozeß, den man „FFT-Ate ästen" (engl.: pnining) nennt [Markel, 19711 und in dem die Operationen mit Nullen effektiv verrnieden sind, gebraucht werden. Die Berechnung einer Sinus- oder Cosinusfunktion braucht im allgemeinen eine längere Zeit als die eines komplexen Produktes. In den Allzweck-FFTer men, wie z.B. im Anhang B, sind die Sinus- und Cosinusberechnungen der Be. quemlichkeit wegen im Programm eingebettet, aber es ist besonders bei festem N besser, aus Geschwindigkeitsgründen die Sinus- und Cosinuswerte zu tabellieren, so daß man sie während der Rechnung nur nachzuschlagen braucht. Mit einer guten Bereichswahl und einer Prüfung auf überschreiten und Unterschreiten der Bereiche kann die FFT auch so programmiert werden, daß sie n eine Ganzzahlarithmetik und keine Gleitpunktaritlunetik benutzt [De Jong lud De Boer 19711. Diese Technik kann signifikante Einsparungen an Rechenzeit erbringen, besonders in kleinen Rechnern ohne Gleitkommaschaltungen. u n g e n 1 2 1 11. Diskutiere die Benutzung einer Hilfsspeichereinheit bei der ZeitzerlegungsFFT ohne Bitumkehr. 12. Schreibe eine FORTRAN-Subroutine zur Durchführung der Bitumkehr durch Verschieben der Abtastwerte in [ f j . Lasse k = log2 14 und auch die Reihe der Eingänge V J in der natürlichen Reihenfolge. 13. Konstruiere das Signalflußdiagramm der FFT für N = 4 unter Benutzung der Frequenzzerlegung mit Bitumkehr am Ausgang. 14. Konstruiere das Signalflußdiagramm der FFT für N = 16 unter Benutzung der Frequenzzerlegung mit Bitumkehr am Eingang. 15. Konstruiere das Signalflußdiagramm der FFT für N = 4 unter Benutzung der Frequenzzerlegung ohne Bitumkehr. 16. G i b die Matrix-Faktorisierung an für die Frequenzzerlegungs-FFT mit Bitumkehr am Ausgang; 14 = 8. 17. G i b die Matrix-Faktorisierung an für die Frequenzzerlegungs-FFT mit Bitumkehr am Eingang; N = 8. 18. G i b die Matrix-Faktorisierung an für die Frequenzzerlegungs-FFT ohne Bitumkehr; N = 8. 9. Ü b u n g e n I . Schreibe unter Benutzung von Gleichung 6-1 die vier Gleichungen für d vollständige DFT mit N = 4 an. 2. Zeichne ein Diagramm, das die äquivalenten Potenzen von WN mit /4 = zeigt. 3. Zeige unter Benutzung von Diagrammen wie in Bild 6-3 alle möglichen Zelt zerlegungen für N = 10 Abtastwerte. 19. Ermittle die matrixfaktorisierte Form der Zeitzerlegungs-FFT; N = 2. 20. Ermittle die matrix-faktorisierte Form der Zeitzerlegungs-FFT ohne Bitumkehr; N = 4. 21. Ermittle die matrixfaktorisierte Form der Frequenzzerlegungs-FFT ohne Bitumkehr;14 = 4. 22. Zeige, wie man die FFT-Routine in Anhang B verändern muß, so daß N immer gleich 1024 ist, wobei auch auf eine gespeicherte Tabelle von Sinusund Cosinuswerten zurückgegriffen werden soll. 4. Drücke die DFT in der Form der Gleichung 6-10 aus (a) mit fünf Summ und (b) mit drei Summen, wenn N = 15 ist. 5. Zeige die vollständige Zeitzerlegung mit Bitumkehr, (a) wenn N = 4 (b) wenn N = 16 ist. Einige Antworten 6. Konstruiere das Signalflußdiagramm der FFT für 14 = 4 und benutze die Zeitzerlegung mit Bitumkehr am Ausgang. 1.Fo + ./11 + f + + frit. - - AP14: r2- fo - + - f3;r3 f 0 flW4 h + f3w 7. Konstruiere das Signallladiagramm der FFT für N = 4 und benutze die Zeitzerlegung ohne Bitumkehr. 8. Konstruiere das Signalflußdiagramm der FFT für N = 16 und benutze bei die Zeitzerlegung mit Bitumkehr am Eingang unter der Annahme, f(t) reell ist, wobei man soviel Linien wie möglich ausläßt. 9. W i e viele komplexe Produkte benötigt man für die vollständige FFT 4096 Abtastwerten? 10. Welcher Teil der N2 DFT-Produkte ist redundant, wenn N = 4096 ist? - 4 . 00 4 4 F.-Ef3,w.53-w,s9724,576 10. 99.9% 4-° 4 E 4t.0 hol W1331" 122 D i e schnelle Fourier-Transformation Literaturhinweise Andrews, H. C., und Caspari, K. L.: A Generalized Technique for Spectral Analysis. IEEE Trans. C-19, No. 1, Januar 1970, S. 16. Bergland, G. D.: A Guided Tour of the Fast Fourier Transform. IEEE Spectrum, Juli. 1969, S. 41. Coehran, W. T. , Cooley, J. IV., et al.: What is the Fast Fourier Transform?. IEEE Traria AU-15, No. 2, Juni, 1967,5.45. Cooley, J. W., und Tükey, J. W.: A n Algorithm for the Machine Calculation of Complee Fourier Series. Math. Comput., Bd. 19, April, 1965, S. 297. DeJongh, H. R., und DeBoer, E.: The Fast Fourier Transform and ha Use. 1971 DECUS Proceedings, Digital Equipment Corp., Maynard, Mass. Glirson, T. H., Bleck, C. 1., und Sage, A. P.: The Digital Computation of Discrete Spectra Using the Fast Fourier Transform. IEEE Trans. AU-18, No. 3, September, 1970,5.271. 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Diese Themen werden in den Abschnitten 2 und 3 diskutiert, und zwei Theoreme über ein verwandtes Thema, die „diskrete Faltung", werden in Abschnitt 4 behandelt. Schließlich werden einige Beispiele von diskreten Spektren in Abschnitt 5 gegeben. in diesem Kapitel werden diejenigen Fehler bei der spektralen Berechnung erfaßt, die sich ergeben, wenn f(t) periodisch ist, oder, noch spezieller, wenn f(t) sinusRum% mit unbegrenzter zeitlicher Dauer ist. Die Behandlung aperiodischer oder zufallsbedingter Funktionen benötigt gewisse Kenntnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie und ist dem Kapitel 14 überlassen, obgleich Beispiele von DFTs solcher Funktionen auch schon in diesem Kapitel vorgestellt werden, um einfach Ergebnbie zu erläutern, die man bei der Anwendung der FFT auf einige reale physikalische Messungen Emdet. 2. Die berechnete DFT einer sinusförmigen Funktion ••• Wenn nun annimmt, daß f(t) periodisch ist und sich über das gesamte AbtastIntervall hinaus erstreckt, läuft die DFT-Berechnung in Wirklichkeit auf eine Schitzung der Fourier-Reihen-Koeffizienten von f(t) hinaus, und man ist natürlich an der Genauigkeit dieser Schätzung interessiert. I n Kapitel 2 war ein a a l e , " Abtastschema angenommen worden, dis. genügend Abtastpunkte, die regelmäßig Ober genau einer Periode von f(t) verteilt sind. Aber was geschieht, wenn der Abtastprozeß in diesem Sinn nicht ideal ist? Wie noch unten gezeigt wird, kann die berechnete DFT in der Praxis ein verschwommenes und irreführendes Bild des aktuellen Spektrums geben, wenn man nicht von vomeherein darauf 124 S p e k t r a l e Berechnungen bei abgetasteten Signalen Dieberechnete DFT einer sinusförmigen Funktion 1 2 5 achtet, passende Werte für das Abtastintervall (T) und die Zahl der Abtastungen (N) zu wählen. in Kapitel 5 wurde die DFT von f(t) ursprünglich für alle Frequenzen in jedem Intervall von 2n/T rad sec- 1 definiert, und es wurde gezeigt, daß sie mit der Periode 2x/T periodisch ist. Die Formel war 117(J.)1 N N- I r ( j 0 ) f o r e - M a . n-ce ( 7 - 1 ) Die Funktion f(t) und ihr Abtastwertesatz seien nun dargestellt durch I (t) - gas'% I . — ef`e'r ( 7 - 2 ) so daß der ganze spektrale Inhalt von f(t) bei der einen Frequenz wo konzentriert ist. Dies ist oft eine bequeme Form, die für eine sinusförmige Funktion f(t) b e nutzt wird, da sie die Berechnung der DFT vereinfacht. Mit dieser Form ergibt Gleichung 7-1 das folgende Resultat 0 NT N T N z . T a . N T NW DFT-Amplitude, die ausNAbtastwerten einer Sinuswelle der Frequenzc berechnetwurde.DasAmplitudenspektrum ist nur timFrequenzen co. 2 n 7 r / N T „korrekt" N- I POW) I Tim Beispiel 7-1: Man gebe die Resultate des folgenden Experimentes an, wenn sich N, die gesamte Zahl der Abtastwerte ändert: E - _ em-A7-v(1—en---)r); (7-3) Isin N(wo — w ) y . (410 — ro)Ti 2 I 2 (74 Einige Eigenschaften dieses Spektrums sind es wert, festgehalten zu werden. Zu nächst sieht man, daß, wenn man co gegen wo gehen läßt, Rico0) zu ti i(j00) — N ( 7 . 5 ) wird, was natürlich der maximale Betrag von FOco) ist. Als nächstes kann man bemerken, daß Rico) an den Punkten Null ist, an denen die Differenz w — wo ein Vielfaches von 2g/NT ist. An diesen Punkten enthält das gesamte Abtastinter vall von NT Sekunden eine ganze Zahl von Zyklen der Frequenzdifferenz w — coo. (Siehe zum Beispiel Kapitel 2, Bild 2-6.) Weiterhin zeigt Abschnitt 2 von Kapitel 5, daß Ir(jw)I unabhängig von der Phase von f(t) ist, und wenn (wo — w)T als normierte Frequenz genommen wird, stellt Gleichung 7-4 die allgemeine Formelles Areplitudenspektrums dar, das aus N regelmäßig verteilten Abtastpunkten irgendeiner Sinuswelle berechnet wird. Das obige Ergebnis ist in Bild 7-1 zusammengefaßt, welches deutlich zeigt, daß eine in f(t) enthaltene sinusförmige Komponente der Frequenz wo fälschliche weise zur DFT bei einer anderen Frequenz beitragen kann, wenn nicht die N gelmäßigen Abtastpunkte von f(t) über eine ganze Zahl von Zyklen dieser Sinuskomponente erstreckt werden, wie dies in Kapitel 2 angenommen wurde. Das folgende spezielle Beispiel, in welchen die FFT unter Benutzung von Abtestwerten einer sinusförmigen Funktion f(t) durchgeführt wird, ist für verschiedene Fälle in Bild 7-1 dargestellt. 4120Ort T - 100 usec PTT a z s N - 2 A b t a u t w e r ten 17,1 In diesem Experiment werden N Abtastwerte einer 100-Hz-Sinuswelle einer Standard-FFT-Routine zugeführt. Das Ergebnis ist in Bild 7-2 für verschiedene Werte von 14 dargestellt, wobei der aktuelle abgetastete Teil der Sinuswelle links steht und das berechnete Spektrum rechts. (Wie früher ist f(t) der Bequemlichkeit wegen komplex, und nur der reelle Teil ist in Bild 7-2 gezeigt.) Während N anwächst, werden die „Randeffekte" weniger signifikant, und die spektrale Berechnung wird entsprechend genauer. Aber wenn N klein ist und der Ablastprozeß weder eine große noch eine ganze Zahl von Zyklen der Funktion fit) umfaßt, kann ein beträchtlicher Fehler in der Berechnung des Spektrums entstehen. Natürlich gibt es einen "Fehler" in der spektralen Berechnung nur, weil man weiß, daß sich « t ) über des Beobachtungsintervall hinaus erstreckt. Die DFTs in Bild 7-2 geben Spektren wieder, die für die abgeschnittenen Zeitverläufe in diesem Bild korrekt sind (aber spektrale Überschneidungen einschließen). Man beachte auch, daß, wenn die Grundfrequenz einer periodischen Funktion f(t) bekannt wäre, man den Wert NT vermutlich so wählen könnte, daß er exakt eine Periodenzeit überdeckt, womit man die gerade beschriebenen Fehler vermeiden könnte. Solche Fälle könnten z.B. bei Schwingungsmessungen an rotierenden Maschinen vorkommen, wo die Abtastzeiten vom Kommutator entnommen werden, der an der rotierenden Welle angebracht ist. Einschränkung der Spektralverbreiterung 126 S p e k t r a l e Berechnungen bei abgetasteten Signalen 1 2 7 3. Einschränkung der Spektralverbreiterung f(e) o s Phänomen, das gerade diskutiert und in den Bildern 7-1 und 7-2 veranschau'richt wurde, ist als „les'sage" bekannt — diejenigen Anteile von f(t), die nicht über das Intervall NT periodisch sind, scheinen in die Bereiche des Spektrums auszufließen, die dem korrekten Spektralwert benachbart sind. Wie in Bild 7-2 dargestellt, ist das „Lecken" das direkte Ergebnis einer Abschneideoperation. Die berechnete DFT nähert die Fourier-Transformierte (multipliziert mit 1/T) da Produktes von f(t) mit einem rechteckigen Fenster w(t) der Dauer NT an, und nicht die Koeffizienten der Fourier-Reihe. Gerade die scharfen Ecken von w(t) tagen zu dem „Lecken" im berechneten Spektrum bei. t(ser) .05 . 1 0 N - 64 Abtastwerte 400 200 0 L. 200 1I., 0 - 256 / 2 0 Von dieser Beschreibung der Leckursache ausgehend, kann man vermuten, daß die Methode zur Reduzierung des Leckens einfach darin bestehen wird, die scharfen Ecken von w(t) abzurunden. Das Verfahren dafür würde dann darin bestehen, die Funktion f(t) mit einem abgerundeten Fenster, zum Beispiel x(t), zu multiplizieren, bevor man die DFT durchführt; d.h. man hätte die DFT von Iffixnj anstelle von [fn] zu nehmen. 400 ' 400 0 •nahe b e i den korrekten wert ( N ) e ' 11 0 200 4 0 0 Für das Datenfenster x(t) ist eine ganze Anzahl verschiedener Formen vorgeschlagen worden. Blackman und Tukey (1958), Welch (1967), Tukey (1967) und Jenkins und Watts (1968) haben Abhandlungen über verschiedene Fenster und Ihren Gebrauch geschrieben. Bei der Betrachtung der Wahl von x(t) hat Bertram '(1970) ausgeführt, daß das Amplitudenspektrum wenigstens mit 4 , 2 abfällt, wenn f(t)x(t) keine Sprünge aufweist, wenigstens mit 1/co3, wenn f(t)x(t) und seine erste Ableitung keine Sprünge aufweisen, und so weiter. Daher ist ein x(t), das bei t = 0 und t = NT gleich Null ist und auch dort Ableitungen mit dem Wert Null hat, wenigstens von diesem Standpunkt aus vorzuziehen. Du Fenster, das hier und wieder in Kapitel 13 als Beispiel benutzt werden wird, Ist die Invertierte Cosinus-Glocke oder das „Hanning"-Fenster (nach Julius von Hann), das wie folgt definiert ist: Hanning-Fenster x(t) — — — cos 2 N T 0 2 0 0 400 Bild 7-2. D i e Auswirkung von N auf die berechnete F F T von N Abtastwerten einer 100-HzSinuswelle. Ablastintervall T = 10011sec. (Links) Teil von IH), der vom Ablastprozeß erfaßt w i r d . . ( R e l , $ ) Betrag der berechneten F F T, 1 F „,I, in Abhängigkeit der Frequenz in Hz. Selbst wenn NT nicht mit einer Grund-Periodendauer übereinstimmt, die Periodendauer aber bekannt ist, wird die Schätzung der Fourier-Koeffizienten ein linearer Prozeß der kleinsten Quadrate. Daher ist Gleichung 2-9 von Kapitel 2 anwendbar, aber in diesem Fall ohne die vereinfachenden Annahmen der Orthog nalität. 0 < t < NT (7-6) Wie in Bild 7-3 gezeigt, sind das Hanning-Fenster und seine Ableitungen über die Beobachtungszeit von t = 0 bis t = NT zusammenhängend (ohne Sprünge), und seine erste Ableitung ist an den Endpunkten gleich Null. Es neigt auch dazu, den ...mittleren Teil der beobachteten Funktion f(t) hervorzuheben, ein möglicher Nach- etelltder von den meisten Datenfenstern geteilt wird. "Die Auswirkung des Hanning-Fensters ist an einem Beispiel in Bild 7-3 veranschaulicht. Das abgetastete Signal f(t) ist dieselbe Sinuswelle wie in Bild 7-2, und zwar wird der letzte Fall von Bild 7-2 mit N = 1024 hier benutzt. Die FFT ist zuerst ohne Hannie-Methode mit dem rechteckigen Fenster w(t) berechnet worden und darunter mit dem Hanning-Fenster x(t). In diesem Beispiel ergibt das Planning•Fenster eine merkliche Verminderung der Spektralverbreiterung. Bei dieser Mc- 1 2 8 S p e k t r a l e Berechnungen bei abgetasteten Signalen Theoreme über die diskrete Faltung (r (t) FFT b e i t i t ) 1 1 Il 0 0 0 . 0 5 . 1 200 4 0 0 -r,„s.>_ .c7 r r r bei x(t) 0 1 . 9 . 1 n 0, 1 , , N k = 0, ±1, c s , . 6 ; (7-7) Diskrete Faltung im Zeitbereich: Die inverse DFT des Produktes von zwei DETs ist eine periodische Faltung, d.h. -FRA; m 0,1, N-1 N -i • .0 dann g , Ib .05 periodisch wenn 0 9 Das Theorem selbst kann wie folgt formuliert werden: ▪ 0 Hanning-Fenster x ( t ) 01 2 Mo inverse Transformierte des Produktes FÜG» • H(jw) die Faltung von f(t) mit h(t) ist, aber hier gilt, daß die inverse Transformierte des DFT-Produktes Fm • Hm die Faltung von einem Abtastsatz, z.B. pink mit der periodischen Erweiterung des anderen Abtastsatzes, z.B. [in] ist, wobei der Strich über f . die Periodizität andeuten soll, dh. t(sec) rechteckiges F e n s t e r 1 200 4 0 E a 0 Bild 7.3. D i e Auswirkung des Hanning-Fensters auf die F F T von 1024 Ablastwerten einer 1100H ,denningh ktm rp b o a c.D µ 0 1 = l;T e sw u in zS Fenster. Die Datenfenster sind links für jeden Fall gezeigt Genau wie im Falle der kontinuierlichen Faltung (siehe Kapitel 3, Abschnitt 3 bedeutet die diskrete Faltung im Zeitbereich im allgemeinen die Faltung eines Eingangssignals mit einer Nadelimpulsantwort, um ein Ausgangssignal zu erzeugen,und beinhaltet daher ein entsprechendes Produkt der DFfs. Umgekehrt beinhal tet eine Faltung der DFTs ein Produkt im Zeitbereich. Das erste dieser Faltu produkt-Paare wird in Verbindung mit Filteruntersuchungen in späteren Kap gebraucht, und das zweite wird hier benötigt, um die Diskussion der E' kung der Spektralverbreiterung zu vervollständigen. Die zwei eng miteinander wandten Theoreme werden in diesem Abschnitt zusammen behandelt. t Das Theorem für die Faltung im Zeitbereich [Gold und Rader 1969], [Be 1969] betont einen wichtigen Unterschied zwischen den kontinuierlichen T formationsprodukten und den DFT-Produkten. In Kapitel 3 wurde gezeigt, h (7-8) N-1 1 E -uieranam thode liegen die signifikanten FFT-Werte bei m = 9,10 und 11, dh. bei v = 87.891 97.656 und 107.422 Hz. Effektvollere Darstellungen der Hanning-Methode man in den Abschnitten 4 und 8 des Kapitels 8 finden. 4. T h e o r e m e ü b e r d i e d i s k r e t e F a l t u n g - 1 Der Beweis des Theorems geht von der inversen DFT-Formel Gleichung 5-12 in Kapitel 5 aus: 24 Die Fähigkeit eines Datenfensters, eine Einschränkung der Spektralverbreite zu bewirken, kann man noch in größerer Allgemeinheit abschätzen, indem das Theorem der diskreten Faltung im Frequenzbereich anwendet, welches e der zwei Theoreme über die diskrete Faltung ist, die im nächsten Abschnitt vor gestellt werden. N N 1.0 N- I E F R " wN N 1.0 (7-9) (Wie in Kapitel 6 vereinfacht die Substitution WN = e -1(270.0 hier die Schreibwelse.) Als nächstes werden die DFT-Formeln für Fi und Uli eingesetzt und die Summen umgeordnet: [ -IN- I N A--n,„ E .E ....f..widkN-1 E h rW. r m itWiiki] .0 N - 1 E E N k - 0 1 hhiE 1 . 0 I -1 N (7-10) Unter Benutzung der Formel für die geometrische Reihe (siehe Kapitel I , Gleichung 1-18) sieht man, daß die Summe auf der rechten Seite von Gleichung 7-10 glekh Null ist, außer wenn (m + k te n) gleich Null oder einem Vielfachen von N St, in welchem Falle jeder Term gleich Eins und die Summe gleich N ist. Daher hat die Doppelsumme nur endliche Tenne für k = n - m + (Vielfaches von N). Somit wird die Doppelsumme in Wirklichkeit eine Einzelsumme, in der hk durch En_m zu ersetzen ist. Damit wird gn N-1 g* t a i t . (7-11) 130 S p e k t r a l e Berechnungen bei abgetastetenSignalen T h was zu beweisen war. (Die komplementäre Form in Gleichung 7-8 ergibt sich fach durch Vertauschen der Rollen von F und FL) Die periodische Faltung ist in Bild 7 4 dargestellt. Links im Bild sind zwei A tastwertesätze [ 4 ] und gin1 und rechts sind die Tenne fri, und rin_rn fürdie periodische Faltung in Gleichung 7-8 zu sehen. Damit ergibt sich die Faltung Produkt der zwei Verläufe rechts im Bild, summiert über in. Die Form des obigen Theorems deutet ein mögliches Problem an: Angeno man möchte die kontinuierliche Faltung von f(t) mit h(t) annähern, indem man das Produkt der DFTs bildet. Wie kann dann der Fehler vermieden werden, des durch die in Bild 7-4 gezeigte Periodizität entsteht? Eine Lösung [Bergland 19691 ist in Bild 7-5 wiedergegeben, in der N durch Zufügen von Nullen zu dem Abtut, wertesatz verdoppelt wird. Die veränderte Form der Gleichung 7-8 ist im Bade gezeigt, und sie ist ersichtlich die "korrekte" Annäherung an das Faltungsintegral, Diese Prozedur, in der man eine gewöhnliche Faltung über den Weg eines Produk tes von speziell gewählten DFTs (oder FFTs) erhält, ist bei Anwendungen Mn digitalen Filtern nützlich. Der Abtastwertesatz am Eingang ist [fn], die Filter Nadelimpulsantwort ist [ h . ] wie in Bild 7-5, und die Filterung wird in d' f. 0 h! e o r e e über die diskrete Faltung 1 3 1 Fall dadurch erreicht, daß man die inverse Transformierte des Produktes (Fmfirn) bildet. Du Theorem für die Faltung im Frequenzbereich, das dem vorangegangenen /herum ähnlich ist, kann wie folgt ausgedrückt werden: Diskrete Faltung im Frequenzbereich: Die DFT des Produktes von zwei Abtsstviertesätzen ist eine periodische Faltung der DFTs, dh. wenn dann g„ — f„h.; n 0 , I, N —I N- I I V N-1 7,71 F U . a-0 (7-12) Der Beweis dieses Theorems verläuft wie in den Gleichungen 7-9 bis 7-11 für die Zeitfaltung, d.h. II E PI- N - N-. Erar„ -0 N - . - 4)i k.0 1 - 0 h hia m (7-13) 0 n Bild 74. Darstellung der periodischen Faltung vonGleichung 7-8. Die Faltung ist die Su (über m) von f," mal En_in r T Z g n . f hn m2r,.4 f er )h (nT-t)dr '. - ▶I Wie in Gleichung 7-11 ergibt sich die letzte Zeile dadurch, daß die Summe der 144-Terme nur dann gleich N ist, wenn k gleich m — n plus einem Vielfachen von N ist, und weil [BO natürlich periodisch ist, Hk = flk.,.N usw. Mit dem Faltungstheorem im Frequenzbereich werden die Effekte von HanningFenstern oder anderen Fenstern klarer. Wenn man nämlich f(t) mit x(t) multipliziert und die DFT von [fnz.] wie in Bild 7-3 berechnet, so muß die äquivalente Operation im Frequenzbereich darin bestehen, die Faltung von [Fm ] mit [Rni zu bilden und mit 1/N zu multiplizieren. Gerade diese Faltung bewirkt die Modifikation der in Bild 7-3 dargestellten FFT. Um nun speziell die Auswirkung der Hanning-Methode zu untersuchen, kann man die DFT des Hanning-Fensters wie folgt ermitteln: n 11)2 a Bild 7-5. Annäherung an die kontinuierliche Faltung, diemandurchAddition von Nullen rat denAblastwertesätzen erhält — I , x2 „2 =cos r n ) I 1( w A r ' + U V ) — ( 7 - 1 4 ) 132 S p e k t r a l e Berechnungen bei abgetasteten Signalen B e N- I E s p i e l e diskreter Spektren 1 3 3 - sen und ganzen dreieckige Gestalt des Impulses wider, während die höheren Kompottenten meistens Informationen über die Feinstruktur vermitteln, welche in dieihn Fall die "Signatur" des Radarzieles darstellen. Deshalb ist Y„, i X„Ww"" n.0 N- I ▪ ▪ E W 4 N N 2 2 „,.0 N - I — 1 E 4 f(e) " _N 4 für i n c - I, 0, 1 Diese DFT ist 'n Bild 7 6 aufge ragen; sie ist natürlich periodisch mit der Pe N. Das Hanning-Verfahren kann daher beschrieben werden als die Faltung von [ m ] mit [Fm ] mal 1/N, und seine Wirkung besteht darin, die Seitenbänder [Fm] so zu unterdrücken, wie dies in Bild 7-3 dargestellt ist. (Der Leser sollte gen, daß die Seitenbänder von R , gleich + N/4 sind, wenn [xn] symmetrisch zu n = 0 ist. In jedem Fall ist natürlich der glättende Effekt auf das Spektrum der selbe.) N/2 0 - 11 / 4 I -14/4 Bild 7.6. Die DFT, 7(m, des Elanning. Fensters, x(t) (1/2)[1 - cos(21rtiNT)] 5. B e i s p i e l e d i s k r e t e r S p e k t r e n Einige Beispiele von digitalen Spektralberechnungen, die mit realen phy Daten durchgeführt wurden, sind in den untenstehenden Bildern gezeigt. In all Fällen wurden die Berechnungen mit einem Allzweck-Rechner gemacht, die FFT-Routine im Anhang B benutzt wurde. Im ersten Beispiel ist das Sein Impuls, aber in den übrigen Fällen gehen die Signale über die Grenzen der obachtung hinaus und haben verschiedene Anteile eines periodischen Inhal Der hier verfolgte Zweck ist es, die Ergebnisse zu zeigen, die mit der FFT irgendeine Art von Glättung gewonnen wurden, wobei also das benutzte Date fenster w(t) in jedem Fall rechteckig ist. Nicht rechteckige Fenster werden in Kapitel 14 verwendet. Das erste Beispiel in Bild 7-7 gibt das Amplitudenspektrum eines empf Radar-Echoimpulses wieder, das in einem 100 nsec Abtastraster digitalisiert Die Nyquist-Frequenz beträgt in diesem Beispiel also 5 MHz. Um spektrale schneidungen zu verhindern, wurde der Impuls durch ein analoges Tiefpaßfil geschickt, das alles oberhalb von 2 MHz abschnitt, bevor abgetastet wurde. niedrigeren Frequenzkomponenten im Amplitudenspektrum spiegeln die im in/N • 1.70 t 0 5 10 0 ( m e t ) • r . . 6 . ' V s' s s 4 Bild 7-7. Ein Radar-Echoimpuls und sein berechnetes Amplitudenspektrum. Abtastintervall T• 100 ns;N • 128 Dia zweite Beispiel eines Spektrums aus physikalischen Daten ist in Bild 7-8 zu S t e t In diesem Fall ist das Signal eine seismische Kurve, die über einen Zeitraum von etwa vier Minuten Erddruckschwankungen wiedergibt, die von einer unterirdischen Explosion herrühren. Die Aufzeichnung wurde an der Erdoberfläche gemacht, einige hundert Meilen von der Explosionsstelle entfernt. Die Digitalhiernagtrate war in diesem Falle 8 Abtastwerte pro Sekunde. Die (Druck-) AMplitudeneinheiten sind willkürlich gewählt. Die zwei Spektren in Bild 7.8 tendieren dahin, die eigene Beobachtung über den Zeitverlauf selbst zu bestätigen: Die ersten Anteile liegen bei Frequenzen, die h e i . als die der späteren Anteile sind. Die Seismologen benutzen diese Art von Information, um Fakten über den Ursprung des seismischen Signals oder seine Ättibreitungmrechanismen abzuleiten. Daa dritte Beispiel von berechneten Spektren in Bild 7-9 liegt im Frequenzbereich zwischen den beiden ersten. Das Bild zeigt zwei Sprechkurven, nämlich zwei harte nitute (wie in „die") und Ihre Amplitudenspektren. Der obere Laut wurde von alibitti Mann gesprochen und der untere von einer Frau. Man achte darauf, wie e h die zwei Kurven und Spektren unterscheiden. Wie erstaunlich ist es doch, ,7611 du menschliche Ohr so leicht die Gestalt des 1-Lautes aus Kurven wie diesen ulken en kann! -Schließlich zeigt Bild 7-10 wieder 32 msec aus einer Tonkurve ureihr Spektruma aber diesmal tritt anstelle der menschlichen Stimme der Ton einer Gitarrensaite (eine Wertem-Gitarre üblicher Bauart wurde benutzt, um Bild 7-10 herzustellen. Die Gitarre war nicht auf eine absolute Tonskala abgestimmt) Hier ist, wie auch ganz allgemein bei musikalischen Saitentönen, das Spektrum reicher an Flamm- Beispiele diskreter Spektren 134 S p e k t r a l e Berechnungen bei abgetasteten Signalen nischen der Grundsaitenfrequenz als bei dem Stimmenspektrum. Die Grundfrequenz oder „Pitch•Frequenz" ist in diesem Fall etwa 290 Hz, und die anderen größeren Anteile im Spektrum liegen bei Vielfachen dieser Frequenz. 1 3 5 32 •oec 1 fl(t) ei4rid'e • • • kHz tritt Bad 7-9. Zwei Sprachkurven (i wie in engl. „Dee- oder deutsch „die") und ihre Spektren. Der obere Laut wurde von einem Mann, der untere von einer Frau gesprochen. Abtastintervall T=62.5Msec;N = 512 ••=m—anse Pi f(t) 4,1"tr#'441 32 mec gr(3u) Im 0 0 2 4 kna 6 v 8 MW 7-10. Ton und berechnetes Amplitudenspeistturn einer Gitarren-ESaitc. T = 62.5 bbec; N • 312 136 S p e k t r a l e Berechnungen bei abgetasteten Signalen Übungen 1 3 7 6. Ü b u n g e n 15. Erläutere die Unterschiede zwischen den Hanning-, Hamming- und BullenDETs. I. Beantworte mit Hilfe von Bild 7-1: 100 Abtastwerte einer 30-Hz-Sinuswelle werden mit einem Abtastintervall von T = I msec gewonnen und dann wird die DFT berechnet. Wie groß ist das berechnete Amplitudenspektrum bei 16. Erkläre die Probleme 7 und 8 mit Ausdrücken der OFT-Faltungen. 45 Hz? 2. Beantworte mit Hilfe von Bild 7-1: 512 Abtastwerte einer 100-kHz-Sinuswelle werden mit einem Abtastintervall von T = 1 bisec gewonnen und es wird damit eine DFT berechnet. Wie heißt der richtige Wert von w0 für das Signal? Bei welchen Werten von to wird die DFT ein fehlerhaftes Resultat Einige A n t w o r t e n geben? 3. E s sei bekannt, daß ein Signal sinusförmig ist mit einer Periode von einem Jahr. Abtastwerte werden mit T = 1 Ta g während eines Zeitraums von 90 Tagen gewonnen. Zeige, wie man Gleichung 2-9 in Kapitel 2 benutzen kann, um das Spektrum von f(t) abzuschätzen (d.h. die Fourier-Reihe). 4. W i e heißt die Fourier-Transformierte des rechteckigen Datenfensters w(t)? 5. W i e heißt die DFT eines rechteckigen Datenfensters w(t)? 6. Skizziere die modifizierte Form einer abgetasteten 4.25-Hz-Sinuswelle nach der Anwendung eines 1 sec langen Hanning-Fensters. 7. Berechne die DFT einer 4.25-Hz-Sinuswelle unter der Annahme, daß N = 64 und die gesamte Abtastzeit NT = 1 sec beträgt. 8. Berechne die DFT in Aufgabe 7 mit dem Hanning-Fenster. 9. Skizziere die in Aufgabe 8 beteiligte Faltung. 10. D a s Harnrning-Datenfenster (Richard W. Harnrning aus den Bell Telephone Laboratories, [Blackman und Tukey 1958]), das dem Hanning-Fenster ähnlich ist, lautet 2art x(i) - 0.54 - 0.46 cos - • NT. 0< < NT Skizziere die DFT des Hamming-Fensters. 11. G i b die Gleichung für das Hanning-Fenster an, das im Bereich - NT/2 t 4 NT/2 definiert ist, mit dem Maximalwert bei t = 0. 12. W i e wirkt es sich auf die DFT aus, wenn das Hanning-Fenster wie in Aufgabe I I verschoben wird? (Hinweis: Benutze das Verschiebe-Theorem in Kapitel 5.) 13. Skizziere das Bartlett-Fenster (M. S. Bartlett), das die Form hat x(r) = I - 12r/NTI f ü r - N 7 7 2 < r < NT/2. 14. F i n d e die DFT des Bartlett-Fensters, dessen Mitte bei t = 0 liegt. 1. annähernd 21 2. wo = 2 r x 105 4. W( jni) ( e i a - 1)/er 5. W(jui) ( 1 _ e - i n . r ) f I _ e..1,„r) 10. i m 0 . 5 4 N . -0.23N): In - 1 . 0 , 1 11. 41) - (112)11 + cos (2ki I NT)l: 111 5 NT/2 Literaturhinweise Bergla.nd, G. D.: A Guidcd Tour of (1w Fast Fourier Transform. IEEE Spectrum, Juli, 1969, S. 41. BCITAIM, S.: Frequency Analysis Using the Discrete Fourier Transform. IEEE Trans. AU-I8, No. 4, Dezember, 1970, S. 495. Blaekman, R. 8.. und Tukey, J. W.: The Measurement of Power Spectra. New York: Dover Publietions, 1958. Gold, B., und Rader, C. M.: Digital Processing of Signals, Kap. 6. New York: McGraw-Hill, 1969. Jenkins,G.M., und Warts. D. G.: Spectral Analysis. San Francisco: Holden-Day, 1968. Tukey, J W.: An Introduction to the Calculations of Numerical Spectrum Analysis. Spectral Analysis of Time Series. Bernard Harris, Hrsg. New York: Wiley, I 967,S. 25. Welch, P. D.: The 13w of the Fast Fourier Transform for the Estimation of Power Spectra: A Method Based an Tinte Averaging Over Short, Modified Periodograms. IEEE Trans. AU-I5, No. 2, Juni, 1967, S. 70. Der nichtrekursive Algorithmus KAPITEL 8 Nichtrekursive digitale Systeme 1. Digitale Filterung Der Begriff des „Filterns", dh. das Durchlassen gewisser Frequenzen eines Signals und das Zurückweisen anderer Frequenzen desselben Signals kommt ursprünglich von der Theorie der linearen kontinuierlichen Systeme i n die digitale Signalanalysis. Bild 8-1 zeigt die Analogie. Im analogen Fall ist f(t) eine kontinuierliche Funktion der Zeit und g(t) ist die abgegebene oder gefilterte Version von f(t). Im digitalen Fall wird f(t) ersetzt durch den Wertesatz [fm] aus diskreten Werten, der als Abtastwertesatz von f(t) betrachtet werden kann (siehe Kapitel 1, Abschnitt 1), und eine digitale Rechnung wird durchgeführt, um den Wertesatz Nm zu erzeugen. Im weitesten Sinne bezieht sich der Begriff der „digitalen Filterung" auf die Betrachtung der Frequenzbereichseffekte jedes digitalen Systems oder jedes Verarbeitungsalgorithmus, für die es einen „Eingang" und einen „Ausgang" gibt — ih dieser Auffassung ein wahrhaft umfassender Begriff. Manchmal besteht das Ziel in der Simulation eines analogen Systems — ein Schaltkreis, ein Regelsystem oder irgendein kontinuierlicher Prozeß (wie in Kapitel I I). Ein andermal ist kein kontinuierlicher Prozeß beteiligt und nur die spektralen Eigenschaften des digitalen Verarbeitungsschemas sind von Interesse. In jedem Fall ist bei den hier diskutierten digitalen Filtern ein Rechenalgorithmus beteiligt, in dem der Satz (gra) als Ergebnis der Verarbeitung des Satzes [fm] erzeugt wird. Jeder Wert gm ist daher eine Funktion des Satzes [fm], wie dies in Bild 8-1 nahegelegt wird. Wenn diese Funktion linear ist, dann existiert das Äquivalent einer linearen Übertragungsfunktion, wie unten noch gezeigt wird. Analoges E i . . System Digitales System Bad 8-1. Filteranalogie ee e d l e 1 3 9 Die entsprechenden Probleme des Analysierens, Synthetisierens und Realisierens von digitalen Filtern werden in diesem und den folgenden Kapiteln diskutiert. Dieses Kapitel konzentriert sich auf „nichtrekursive" Filter und beginnt mit der Definition dieser Art von Filter und seiner Übertragungsfunktion in den Abschnitten 2 und 3. Die Diskussion schreitet dann in den Abschnitten 4 und 5 weiter zu dem Entwurf von Tiefpaß-Nichtrekursiv-Filtern und einer Definition der digitalen Impulsantwort. In Abschnitt 6 wird die wichtige und grundlegende z-Transformation eingeführt und a u f die Analyse nichtrekursiver Filter angewandt. Schließlich wird in den Abschnitten 7 und 8 die Realisierung und Synthese nichtrekursiver Filter besprochen. 2. Der nichtrekursive Algorithmus Digitale Filter kann man in zwei große Klassen einteilen: solche, in denen die Formel für gm die „vergangenen" Werte gm _ , gm _2, usw. genauso wie den Satz (fm] explizit enthält, und solche, in denen gm nur mit den Ausdrücken von ifm 1 explizit gegeben ist. Die ersteren nennt man „rekursive" Filter, da die Abtastwerte von g(t) rekursiv mit Ausdrücken der vergangenen Werte von g(t) gegeben sind, und die letzteren nennt man „nichtrekursive" Filter, da die Abtastwerte von g(t) direkt und nur mit Abtastwerten von f(t) berechnet werden. Hier liegt zunächst das Interesse auf den nichtrekursiven Filtern; die rekursiven werden im nächsten Kapitel betrachtet. Eine allgemeine Form des linearen nichtrekursiven Algorithmus lautet befn-et ( 8 . 1 ) so daß, wie gerade beschrieben, jeder Wert des Ausgangssignals eine lineare Funktion des Abtastsatzes am Eingang ist. Der Grenzwert N könnte theoretisch jeden Wert von Null bis Unendlich annehmen, aber er muß offensichtlich für jedes realisierbare nicht rekursive Filter endlich sein. Jeder Koeffizient bn kann als irgendein reeller Wert unter Einschluß der Null angenommen werden. Die Gleichung 8-1 erlaubt einem daher, g(t) als ein „dynamisches gewichtetes Mittel" von f(t) anzusehen, und das Analyseproblem wird einfach zu einem solchen, die Frequenzbereichseffekte dieses Mittelwertprozesses herauszufinden. Man beachte auch, daß, wenn eine der Größen bn in Gleichung 8-1 für negative n nicht Null ist, die Funktion g(t) ersichtlich durch zukünftige Werte von f(t) gegeben ist. In analogen Systemen erzeugt dies gewöhnlich ein Realisierungsproblem, aber in der digitalen Verarbeitung kann man die Werte von f(t), die manar die Berechnung von gm benötigt, in vielennpraktischen Fällen im voraus speichere. Wenn eine „Echtzeitrechnung" oderagere Beschränkungen fordern, daß gm nur in Ausdrücken der gegenwärtigen und vergangenen Werte fm f m _ 1 usw. gegeben seien, dann muß t i m e n < 0 gleich Null sein. 140 N i c h t r e k u r s i v e digitale Systeme Übertragungsfunktion 1 4 1 Man beachte ferner, daß die nichtrekursive Formel in Gleichung 8-1 die Form einer diskreten Faltung hat. Deshalb kann ein Satz [gni ] rasch berechnet werden, indem man die inverse FFT des Produktes der zwei FFTs, (Pin] mal [Bm], wie in Kapitel 7 bildet. Stockham (1969) liefert eine Diskussion dieser Methode in ihrer Anwendung auf das nichtrekursive Filter. (a) (b) F l ( j w ) und 11(—jce) sind konjugiert komplex, und deshalb ist das Amplitudenspektrum ifi(jco)i eine gerade Funktion von w. (c) 3. Übertragungsfunktion Wenn der Wertesatz [fn, w i e in Gleichung 8-1 verarbeitet wird, um den Wertesatz [gni] zu erzeugen, ist eine Übertragungsfunktion in dem in Bild 8-1 dargestellten Sinne beteiligt — eine zugrundeliegende — Funktion f(t) wird gefiltert und Abtastwerte des Ausgangssignals g(t) werden berechnet. Ein lineares System ändert im allgemeinen nur die Amplitude und die Phase eines sinusförmigen Eingangssignals. Daher kann die lineare Übertragungsfunktion immer bestimmt werden, wenn man Amplitude und Phase des Ausgangssignals bei bekanntem sinusförmigem Eingangssignal ermitteln kann. Das Ausgangssignal ist natürlich auch eine Sinuswelle mit derselben Frequenz. Bezeichnen wir mit etc." die bekannte Sinuswelle der Frequenz c.), so läßt sich schreiben wenn ,f(r) e i " , d a n n g ( t ) - A e j ( " a ) (8-2) :. Übertragungsfunktion R(jw) — Aeils (Der Querstrich über der Übertragungsfunktion wird benutzt, weil H(jL)) eine DFT ist, wie unten gezeigt wird.) Läßt man t die diskreten Werte annehmen, an denen die Abtastwerte von f(t) und g(t) existieren, d.h. ist t = mT mit m als ganzer Zahl und T als Abtastintervall, so kann Gleichung 8-2 mit den Abtastwerten geschrieben werden: wenn fs, e f r s a , dann ( f i o ) e , " " r ( 8 - 3 E b a t " -Posr: Wenn für alle n gilt bn = b_n, dann ist fl(jco) reell, und in diesem Falle ergibt sich R(jw) t i o + 2 E b,,cos mar - 11( —jw) a.I (d) ( 8 - 6 ) Die Formel für die komplexen Fourier-Koeffizienten, Gleichung 242 in Kapitel 2, ergibt jeweils bn in Abhängigkeit von Fl(jco) und stellt somit eine Filtersynthese-Formel dar: wIT b„ i r r . 11 1 7 ( jwk d e r , — N < n < N /7. (8-7) (Gleichung 8-7 ist auch leicht zu beweisen, indem man Gleichung 8-5 für flaw) einsetzt.) Bei reellem 11(jw) vereinfacht sich Gleichung 8-7 wieder zu b„ T r r/T H ( j w ) cos T t l w —b_. ( 8 - 8 ) (8-4) Wie schon gezeigt, muß bn reell sein und über einen maximalen Wert von n hinaus verschwinden, damit H(jco) in nichtrekursiver Form realisierbar wird. Das heißt, daß R(jw) als eine endliche Fourier-Reihe mit reellen Koeffizienten wie in Gleichung 8-5 ausdrückbar sein muß. Andererseits gibt es den Fall, daß die „gewünschte"*) Übertragungsfunktion Hd (jL>) scharfe Ecken oder andere Merkmale hat, die eine unendliche Fourier-Reihe nötig machen. Dann kann man, wie ebenfalls aus Kapitel 2 ersichtlich, die Funktion RÜG)) als Näherung der kleinsten Quadrate für Hd(jco) ansetzen, indem man einfach Gleichung 8-7 benutzt und bn für n im Intervall [— N, N] findet. Die Näherung verbessert sich natürlich mit wachsendem N; aber die Komplexität der digitalen Berechnung in Gleichung 8-1 wächst ebenfalls mit N. (8-5) • Diese Eigenschaften des nichtrekursiven Filters und seiner Übertragungsfunktion w e r d e n in. den folgenden Beispielen veranschaulicht. ) Diese Abtastwerte liefern, wenn sie in Gleichung 8-1 eingesetzt werden, eine Lösung für 171(jc0): r i (jülfrrnia ri(j‘r) ist eine periodische Funktion von w mit der Periode 2e/T, d.h. mit der der Abtastfrequenz. -N H U LY ) E .--N Die Gleichung 8-5 ergibt 171(jco) in Abhängigkeit vom Abtestilltenfall T und dem. Satz [bn] der Glättungsgewichte; wie in Kapitel 5 gezeigt, drückt Gleichung 8-5 weiterhin Fl(jco) aus als diskrete Fourier-Transformierte der Funktion b(t) den Abtestwerten [bn] und auch als eine komplexe Fourier-Reihe mit reellen Koeffizienten [b _ n Nachdem also die Übertragungsfunktion als DFT erkannt ist, sind einige iluer Eigenschaften evident: Beispiel 8-1: Ein Abtastwertesatz [fni] wird geglättet, indem jeder Wert mit seinen zwei nächsten Nachbarn wie untenstehend gezeigt gemittelt wird, so daß - —3 ei.:1 + ) engl.: ..desired" + ( 8 - 9 ) 142 N i c h t r e k u r s i v e digitale Systeme Übertragungsfunktion 1 4 3 dOw) 11 .1di t t l l l l 11. r 1 I -1 0 1 go H ! I I1 .111111 .11111 11 t 11_ 1111 1 Da HdQw) reell ist, liefert Gleichung 8-8 die Lösung für dieses Beispiel. Wie heißt die Übertragungsfunktion riaco)? I n diesem Falle ist Gleichung 8-9 ein Beispiel für Gleichung 8-1 mit 6_1 = b0 = b i = 1/3 und N = I. Da bi = b_1, kann Gleichung 8-6 anstelle von Gleichung 8-5 herangezogen werden, und deshalb ergibt sich 1 (joi) - 3 -(1 + 2 cos orT) (8-10) als reelle Funktion. 1--1-0w) ist unten über wT aufgetragen. Man beachte folgendes: Obgleich Gleichung 8-9 i n der Tat eine Glättung bewirkt, in dem Sinne, daß höhere Frequenzen im Intervall ( - w/T < (4) < tr/T) etwas gedämpft werden, ist ITIOco) nicht eine besonders gute Tiefpaßfunktion. Wie im nächsten Beispiel noch gezeigt wird, kann man es etwas besser mit einem nichtrekursiven Filter machen, das gerade so einfach wie in Gleichung 8-9 ist. Außerhalb des Intervalls ( - it/T < w < sr/T) ist Flaco) natürlich periodisch, und wie die Eigenschaft (a) oben anzeigt, kann die Periode nur vergrößert werden, indem man das Abtastintervall T verkleinert. r H d ( j o ) c o s ' a dco b„ b _4, 1'1 M O T -2 c Jo s d —w o - 1 für n-0; 2 sM n21 2 für n nr 0 ( 8 - 1 1 ) Wie durch die Lösung angezeigt, kann man die scharfen Ecken von Hd(jco) nur erreichen, indem man N, den Maximalwert von n im Filteralgorithmus, unbeschränkt anwachsen läßt. Mit N = 1, wie dies in diesem Beispiel vorgeschrieben ist, ergeben sich Algorithmus und Übertragungsfunktion wie folgt: g., - 2 r + - + R(jr) - -1 + -2 4 2 - r - c s o 2 r 2 ( ( 8 8 - 1 2 ) 1 3 ) Die Übertragungsfunktion 1:1-(jw) ist natürlich aus den zwei ersten Termen der Fourier-Rette für Hd(jco) zusammengesetzt. Die unten dargestellte Näherung ist besser als die von Beispiel 8-1, aber noch nicht sehr gut, und deutet an, daß N auf einen Wert größer als Eins anwachsen sollte, um eine bessere Annäherung an Hd(jco) zu erhalten. Beispiel 8-2: Angenommen, der gewünschte Effekt eines nichtrekursiven Filters sei durch die unten stehende Übertragungsfunktion Hd(ico) wiedergegeben und das Abtastintervall sei T = W I (Man beachte, daß li(jco) im Beispiel 8-1 eine rohe Näherung von diesem Hdaco) bildet.) Nun entwerfe man ein nichtrekursives Filter, das eine Näherung der kleinsten Quadrate an HdOco) mit N = 1 bildet, so daß es, wie in dem vorigen Beispiel, nur drei Terme im Algorithmus gibt. 144 Ti e f p a ß f i l t e r m i t Phasenverschiebung N u l l N i c h t r e k u r s i v e digitale Systeme 4. Tiefpaßfilter mit Phasenverschiebung Null Das Beispiel 8.2 kann verallgemeinert werden, um den Entwurf eines nichtrekursiven Tiefpaßdigitalfilters ohne Phasenverschiebung bei allen Frequenzen zu erhalten - ein Filter, das zum Beispiel dazu benutzt werden könnte, Hochfrequenzrauschen zu eliminieren und ein Niederfrequenzsignal ohne Phasenverschiebung durchzulassen. Die gewünschte Übertragungsfunktion sei, wie in Bild 8-2 gezeigt, diesmal in periodischer Form angesetzt, mit der Verstärkung Eins unterhalb der Grenzfrequenz to, und an jeder Stelle mit der Phasenverschiebung Null. -21 - t a e T e T 1 a. uT 1 4 5 überhaupt erst realisierbar, und dafür ist Flato) die Näherung der kleinsten Quadrate an Hd(jw), und die Güte der Anpassung hängt von dem Verhältnis to, zu der spektralen Überschneidungsfrequenz ir/T wie auch von N ab. Das heißt, die Form sowohl von g(t) als auch von R(jw) wird, wie man in den Gleichungen 8-15 und 8.16 sieht, bestimmt einerseits durch das Produkt co,T und andererseits auch durch N. Darstellungen aus einer Periode von 171(jco) für zwei Werte von N und zwei relative Werte der Grenzfrequenz to, sind in Bild 8-3 wiedergegeben. Wie in diesem Bild zu sehen ist, wird die Näherung an Hd(jw) für jeden Wert von to, verbessert, wenn man N erhöht. Die Tiefpaß-Übertragungsfunktionen, die in Gleichung. 8-16 ausgedrückt und in Bild 8-3 dargestellt sind, weisen eine Eigenschaft auf, die als das „Gibbssche Phänomen" bekannt ist [Stockham 1969, Wait 1970]: Das Abschneiden einer Fourier-Reihe für eine Rechteck-Funktion führt zu einem ganz bestimmten und prozentual konstanten Überschwingen in der Näherung. Man beachte, daß sich der Grad des Überschwingens in Bild 8-3 nicht ändert, wenn sich N von 20 auf 30 ändert. Bild 8-2. Ti e f p a ß - Ü b e r t r a g u n g s f u n k t i o n 171 Offensichtlich muß das Spektrum sowohl des Signales als auch des Rauschens in die Wahl des Abtastintervalles T in Bild 8-2 eingehen. N-30 w i r - . 2, Die Gleichung 8-8 ergibt nun die Filterkoeffizienten, d.h. die verallgemeinerte Version von Gleichung 8-11: 6,, b _ . f r - d ( j w ) c o s madio 1r 0 1 0 T f " cos mar ih» . , V I (.1w). ,N-30 wc l'' wer sin mar T tr n w e T (Selbstverständlich ist (sinnx)/nx gleich Eins, wenn n Null ist.) Mit diesen Koeffizienten sind Filter-Ausgangssignal und Übertragungsfunktion jetzt gegeben durch die Gleichungen 8-1 und 8-6: gw - wer E s i n nie, T JM N , _N m g e r (8-15) und 2 7 sin nw, T cos noT) mucT .1 w (8-14) (8-16) Für N gegen Unendlich ist die letzte,Gleichung natürlich genau die Fourier-Reihe für Hd(jw), wie man erwarten konnte. Mit endlichem N wird dagegen das Filter I t i r * 0 1 2 uT Bild 8-3. Erste Periode der nichtrekursiven Tiefpaß-Übertragungsfunktion für zwei Werte von N und r r k T Eine geglättete Version von 171(joi) kann man erreichen, wenn man die Argumente in Kapitel 7 bedenkt. Wie in Gleichring 8-5 dieses Kapitels betrachte man riete) als die DFT von 2 N 1 Abtastwerten der kontinuierlichen Funktion b(t). Die Differenz zwischen NG)) in,Bild 8-3 und Hd(jw) in Bild 8-2 wird nun so aufgefaßt, als ob sie durch die scharfen Diskontinuitäten im abgetasteten Teil von b(t) an den Enden, d.h. bei t = ± NT, „verursacht" wäre. Deshalb sollte man eine Impulsantwort 1 4 7 146 N i c h t r e k u r s i v e digitale Systeme bessere Annäherung an Hd(jco) erreichen, indem man den Abtastwertesatz Ibn) mit einem der Datenfenster [zn] multipliziert, wie sie in Kapitel 7 diskutiert wurden. Nehmen wir zum Beispiel das Hanning-Fenster, das in diesem Fall gegeben ist durch 5(r) + cos 2 (8-17) NT so daß die Cosinus-Glocke das Intervall - NT C t < NT überdeckt und seine Spitze bei t = 0 hat. Benutzt man dieses Fenster und nimmt N J von Gleichung 8-14, so werden die modifizierten Koeffizienten (wieder ist box° = cocTitr): b.x„ (1 + cos(nr N)Isin nio,T 2nr -N < n < N ( 8 - 1 8 ) Die Formeln für das nichtrekursive Filter und die Übertragungsfunktion in den Gleichungen 8-15 und 8-16 werden dann in ähnlicher Weise modifiziert: g (8-19) Eb.x.f„_„ w- - N Die geglättete Übertragungsfunktion von Gleichung 8-20 ist in Bild 8 4 für dieselben Werte von N und tecT wie in Bild 8-3 dargestellt, so daß man die zwei Bilder vergleichen kann. Man bemerkt, daß die kleinen Wellen (engl.: ripples) in fri(jro) weggeglättet sind, aber die Ränder der Übertragungsfunktion sind nicht mehr so steil. Eine Anwendung des nichtrekursiven Tiefpaßfilters wird in dem folgenden Beispiel gegeben: Beispiel 8-3: Man filtere unter Benutzung des Abtastintervalles T = 0.05 sec, der Grenzfrequenz ric = 2 Hz (oder w i r = 0.2 n) und der Filtergröße N = 20 mit einem Tiefpaß den folgenden Zeitverlauf: f(r) - sin 211 + 0.2 sin 7r:; 2 E (8-20) bax.cosnia .-1 Man beachte, daß jetzt die äußeren Tenne hier wirklich Null sind, weil xvN -xtq = 0. N-30 vieta .2r N-20 c b.2w > 0 ( 8 - 2 1 ) Zieht man die Formel für die Hanning-Koeffizienten in Gleichung 8-18 heran, werden die Filterkoeffizienten bnx„ - 11 + cos(irnIN)lsinnwer N 2rn - 11 + cos (0.05rn)l sin (0.2rn) 2rn - 1 9 ( 8 - 2 3 ) Das Ergebnis ist in Bild 8-5 dargestellt, das die Abtastwerte am Eingang [frn 1 und die Abtastwerte am Ausgang [am) zeigt. Die Zeichnung für gm veranschaulicht die Unterdrückung des 3.5-Hz-Terms in f(t) durch das Tiefpaßfilter sowie den Signalbeginn bzw. den Einschwingvorgang des Filters (bei m = 0), der in allen Filtern vorhanden ist. Die Zeichnung für gm läßt auch das Fehlen jeglicher Phasenverschiebung im Filter erkennen. 5. Impulsantwort N-30 ;Ic . 1 • Y w Y -2 - t 0 1 2 - 2 - i 0 1 2 Bild 8-4- Geglättete Versionen der Tiefpaß-Übertragungsfunktion v o n Bild 8-3, die einerHanning-AnpassungdesSatzesvon Filterkoeffizienten heniihren Das Konzept der inversen Transformierten der Übertragungsfunktion, die die Antwort auf einen Einheitsnadelimpuls am Eingang darstellt, kann mit einigen Abänderungen auch auf digitale Filter angewandt werden. Für analoge Filter ist der Einheitsnadelimpuls S(t) in Kapitel 3 definiert. Die Fourier-Transformierte Ci(jw) ist bei allen Frequenzen gleich Eins, dh. es wird ein Eingangsimpuls mit einer kointanten Epergiedichte bei allen Frequenzen benutzt, um die sogenannte Impulsantwort eines analogen Filters zu erhalten. Wb _ •• In Gleigti‘i 8-5 ist die Übertragungsfunktion des digitalen Filters H(jL)) eine DIT, und sie ist daher eine periodische Funktion von w e ine Tatsache, die sowohl für rekursive wie auch für nichtrekursive digitale Filter zutrifft. Deshalb konvergiert das Integral von 1171(jco)1 im allgemeinen nicht, und die inverse Trans- Impulsantwort 148 N i c h t r e k u r s i v e digitale Systeme Eingang f m = s i n 2wET . 2 dem Frequenzintervall (— it/T, /irr) gleich Eins ist und nicht wie bei 5(t) gleich Eins über den ganzen Frequenzbereich. Die exakte Form von d(t) gewinnt man durch die inverse Transformation von D(jce): s i n 7ionT I d(i) - — 2. 05 • • la 2 5 50. . 7 5 . . . . . —1 • • • • • • • • • - . • • Bild 8-5. Eingangswerte fit, und Ausgangswerte gm eines nichtrekursiven Tiefpaßfilters: N = 20, T = 0.05 formierte von RÜG") existiert gewöhnlich auch nicht in dem Sinne, wie sie es für realisierbare analoge Filter tut. Das heißt, die Antwort eines digitalen Filters auf 8(t) ist im allgemeinen nicht definiert. Man beachte, daß dies eine Konsequenz ist, die sich nicht durch das Unendlichwerden von 6(t) bei t = 0 ergibt, sondern vielmehr durch die konstante Energiedichte von 5(t) bei allen Frequenzen. Um diese Schwierigkeit zu überwinden und um ein Impulsantwort-Konzept für digitale Filter zu erhalten, das ähnlich wie das für analoge Filter ist, kann man einen neuen ,,Einheitsimpuls" d(t) für digitale Filter definieren, wie das in Bild 84 vorgeschlagen wird. Wie gezeigt, hat d(t) eine Transformierte DGL)), die nur in Analog 6 ( t ) 1 0 digital ( s i n (rt/T)) (8-24) Die resultierende Impulsantwort des digitalen Filters besteht nun aus Abtastwerten der inversen Transformierten von D(jw) AQw), dh. aus Abtastwerten der inversen Transformierten der ersten Periode von 171(c0). Daher hat man eine direkte Analogie zwischen 1. e i n e m digitalen Filter mit der Übertragungsfunktion Flaco) und dem einzelnen Eingangs-Abtastwert 1/T bei t = 0 und 2. e i n e m analogen Filter mit der Übertragungsfunktion gleich der ersten Periode von leco) und dem Eingangsimpuls 6(t) in dem Sinne, daß beide Ausgangssignale an den Abtastpunkten gleich sind, und auch in dem, daß der analoge Fall die Grenze bildet, wenn T im digitalen Fall gegen Null geht. Beschränken wir die Diskussion wieder auf nichtrekursive digitale Filter, so ist leicht zu erkennen, wie der Satz [bn) der Filterkoeffizienten mit der Impulsantwort verwandt ist. Die Gleichung 8-7, hier nochmals geschrieben, gibt jeden Filterkoeffizienten bn an, ausgedrückt durch die erste Periode von R(jw): b„ I T 2r f H(jw)e)—Te. (8-25) Wenn bn jetzt als b(nT) betrachtet wird, d.h. als ein Abtastwert einer Funktion b(t) bei t = nT, dann ist b(t)/T in der Tat die inverse Transformierte der ersten Periode von Flaw), und so stellt der Satz ( b n / ) die Impulsantwort des nichtrekursiven digitalen Filters dar, wie dies in Bild 8-7 veranschaulicht ist. Aus Glei- 0U w) d ( t ) 1/7 0 l \17 i r r / T Man sieht, daß d(t) eine interessante Eigenschaft hat: Alle Abtastwerte von d(t) außer dem Wert do bei t = 0 sind Null und dc, ist gerade I /T. So läuft der Einheitsimpuls am Eingang eines digitalen Filters einfach auf einen einzigen Abtastwert bei t = 0 mit dem Wert 1/T hinaus. •• . • • • 05 . D ( jw)e SI tho I N- eT/ T » v g l Ausgang g m 1. f . I; J " ` • . • -1 50 • 25 • 1 4 9 0 T Bild 8.6. Impulsfunktionen für analoge und digitale Filter Einheikstripuls N i e h t r ä k u r s i v e s 1/T b e i t 0 d i g i t a l e s F i l t e r mit Koeffizienten (hm] lad 8-7. 'mgntuntwort des nichtrekursiven digitalen Filters lapulsantwort [bn/7] bei t • [nT) 152 N i c h t r e k u r s i v e digitale Systeme B l o c k s Wie durch die Klammem angedeutet, wird nun G(z) in Gleichung 8-31 als das Produkt zweier Summen ausgedrückt. Die rechts stehende Summe ist natürlich F(z), und gemäß Gleichung 8-5 und der obigen Eigenschaft 5 muß die links stehende Summe 71(z) sein. (Man beachte, daß H(z) deshalb auch der Transformierten der Impulsantwort mal T gleich sein muß.) Deshalb ergibt sich il(z) - H(z)P(z) ( 8 - 3 2 (DFT): F T ( t o ) ( 8 - 3 3 - ü(.60)/(i=2) Ü(z) E b„r-• ) (8-34) (8-35) Obgleich die Diskussion der z-Transformation so weit nur mit den Begriffen der nichtrekursiven Filter durchgeführt wurde, zeigen sich einige der Formeln auch bei allgemeinen linearen digitalen Systemen anwendbar. In Vorwegnahme dieses Ergebnisses ist die Anwendbarkeit der wichtigen Formeln dieses Abschnittes in Tabelle 8-1 zusammengefaßt. Tabelle 8-1. Anwendbarkeit von Formeln Anwendbar bei allen A n w e n d b a r bei nichlrek-un. linearen digitalen Systemen s i v e n digitalen Filtern Definition der z-Transformation nz) - E Beziehung zur DFT Rfi) - Amr) Übertragungsfunktion 17(z)- d(z)/1(z) gleich N ▪ E bar' — »(m - Am/nj') - E b.. - gut» kr"' a l t b i l d e r 1 5 3 Beispiel 8-5: Man bestimme die Übertragungsfunktion H(z) für die Filter in den Beispielen 8-1 und 8-2. Man kann sie sofort hinschreiben, da die Werte bn in beiden Beispielen gegeben sind und Gleichung 8-35 anwendbar ist. Sie könnten auch ermittelt werden, indem man Gleichung 8-28 in den Formeln für 2 ° 4 , siehe Gleichungen 8-10 und 8-13, anwendet. In jedem Fall folgt Ui(z) a 3 (z + 1 + z - 5 , wobei Gleichung 8-34 wieder aus der Anwendung der Eigenschaft 5 auf Gleichung 8-33 folgt. Diese Gleichungen machen es möglich, das digitale Filter als „schwanen Kasten" zu behandeln und seine Übertragungsfunktion durch Beobachtung der Abtastwerte am Eingang und am Ausgang zu messen. Andererseits findet man bei bekannten nichtrekursiven Filterkoeffizienten die Übertragungsfunktion H(z) leichter, indem man die skalierten Impulsantwort-Werte [bn I in der Definitionsgleichung der z-Transformation einsetzt: Art der Formel h ) Auf diese Weise liefert die z-Transformation eine Übertragungsfunktion in z-Ausdrücken geradeso, wie die Fourier-Transformation für die analoge Übertragungsfunktion sorgt. Die Gleichung 8-32 legt auch die Formel für 171(j6i) mit den Begriffen der DFTs von f(t) und g(t) nahe. Das heißt (z-Transformation): I i ( z ) e . ( z ) / i ( z ) c ( 8 - 3 6 ) 3 7 ) und ii2(z) - ( 2 z + r + 2 r ' ) ( 8 - 7. Blockschaltbilder Die Form der z -Transformation führt zu einer Blockschaltbild-Darstellung des digitalen Filters. Wie die z-Transformation selbst wird auch das Blockschaltbild hauptsächlich bei den rekursiven Filtern gebraucht, aber es sei hier schon eingeführt, um seine Form in einer einfachen Weise zu zeigen. Unter Bezug auf Eigenschaft 4 des vorhergehenden Abschnittes, die angibt, daß z-1 einer Einheitsverzögerung von T Sekunden äquivalent ist, kann man die nichtrekursive Übertragungsfunktion 11(z) in Tabelle 8-1 in ein Blockschaltbild verwandeln. Das Ergebnis ist für N = 3 in Bild 8-9 gezeigt, wobei die Einheitsverzögerungen, die Koeffizienten [bn) und die Summation ganz im einzelnen dargestellt sind. Das Blockschaltbild legt die Realisierung des Filters in einer entsprechenden Schaltung oder einer algorithmischen Form sehr nahe, in der der „kommende" Wert 1";"4.N zur Zeit t gerade zur Verfügung gestellt wird und die vorhergegangenen fm 4-N -1 e , fm f r n N allesamt gespeichert, verstärkt und summiert werden, um gin zur Zeit t zu erzeugen. Eine äquivalente Realisierung des nicht rekursiven Filters ist in Bild 8-10 dargestellt. Für jeden vom Eingang zum Ausgang führenden Pfad in Bild 8-9 gibt es einen äquivalenten Pfad in Bild 8-10. Bild 8-10 gibt jedoch eine kleine Verschiedenheit in der Realisierung des Filters an: Die Abtastwerte von f(t) werden verstärkt, bevor sie i m Filter gespeichert und verzögert werden, im Gegensatz zu Bild 8-9, wo sie zuerst gespeichert werden. Beide Diagramme benötigen denselben Speicherplatz, jedoch gibt es im nächsten Kapitel auch Fälle, in denen verschie- gleich 5i rä Nil E I E l E I Vb_NV V Vb, • V \LN .6 . 4 +4 . Bild 8-9. Nichtrekursives Filter mit Isr: 3 .4 .4 g. Synthese nichtrekursiver Filter 154 N i c h t r e k u r s i v e digitale Systeme dene Realisierungen derselben Übertragungsfunktion auch verschiedenen Speicherbedarf mit sich bringen. 1 5 5 (Die Endwerte Hdm für m = ± M sollten, wenn sie nicht Null sind, mit halbem Wert einbezogen werden.) In dieser Näherung sollte M größer als N sein und überdies groß genug, um Hd(jco) mit einer adäquaten Rate abzutasten. Das zweite Syntheseverfahren wird durch die in Abschnitt 5 beschriebene Äquivalenz der analogen und der digitalen Impulsantwort nahegelegt. Mit einer vorgegebenen gewünschten Übertragungsfunktion Hd(jco) könnte die Einhüllende der digitalen Impulsantwort b(t)/f gleich der gewünschten Impulsantwort hd(t) gesetzt werden. Dann müßte die digitale Übertragungsfunktion ri(jco) näherungsweise gleich Hd(jw) sein. Bild 8-10. Zu Bild 8-9 äquivalentes Blockschaltbild Tabelle 8-2. Synthese-Prozeduren für nichtrekursive Filter 8. Synthese nichtrekursiver Alter Wie in Abschnitt 4 dieses Kapitels schließt die Synthese eines nichtrekursiven Filters die Auswahl eines Satzes von Filterkoeffizienten Ibn j oder [xnbn] ein, um die gewünschte Frequenzantwort des Filters zu erreichen. Zwei grundlegende Verfahren werden in diesem Abschnitt diskutiert. Das erste Verfahren ist im wesentlichen dasjenige des obigen Abschnittes 3, in dem die Koeffizienten dergestalt abgeleitet werden, daß Rüco), die digitale Übertragungsfunktion, eine Näherung der kleinsten Quadrate an die gewünschte Übertragungsfunktion Hd(jw) ist. (Wenn ein nicht rechteckiges Fenster benutzt wird, wird die Näherung wie in Bild 84 geglättet.) Wie in Abschnitt 3 ist die allgemeine Koeffizientenformel vif 6 . . 1 : j . Ild(jw)e,""relw; - N 5 n 5 N ( 8 - 3 8 ) 2r Eine Modifikation dieses Ansatzes, die von Helms (1968) und Rabiner (1971) beschrieben wurde, kann benutzt werden, wenn das Integral i n Gleichung 8-38 schwierig auszuwerten ist. Verwendet man einen Satz von Abtastwerten von Hd(jw), wir wollen ihn [Hdnd nennen, so kann man effektiv die inverse DFT für das Integral in Gleichung 8-38 einsetzen, um eine Näherung nullter Ordnung an dieses zu erhalten. Der Wertesatz [ H d . ] sei z.B. an M + 1 regelmäßig verteilten Punkten des Frequenzbereiches von co = 0 bis n/T genommen (unter Einschluß der Endwerte), so daß der Abstand zwischen den Punkten dco = n/MT beträgt. (Da H d ( j w ) der konjugiert komplexe Wert zu HALO ist, ist natürlich auch der Wertesatz für negative w bekannt.) Die Näherung nullter Ordnung für tin kann nun aus Gleichung 8-38 wie folgt abgeleitet werden: rir eia f lerd(jOefttadw; - N n 5 N 2r _ 4 T T ii...em,„,./co r ▪ 2r tidii M T itieeica.nim); • 2 M .__Ät -N < n b i ' gleich Null ist. So ist in diesem besonderen Beispiel gemäß Tabelle 8 - 2 die sich ergebende Übertragungsfunktion Flato) gleich T Ad(jto) genauso wie auch gleich der Näherung der kleinsten Quadrate an N =- E T ..1x . n sg i nc en T ( n 8 4 1 2 5 7 ) Für N = 10 werden zwei Verläufe von Iffacoll in Bild 8-12 wiedergegeben. Ein Verlauf bezieht sich auf den Fall des rechteckigen Fensters xn = 1 und der andere auf den Fall, in dem [xn] durch das Hanning-Fenster in Gleichung 8-17 gegeben ist. I(lc)I ( k l e i n s t e Quadrate) rt T (Henning) fid(jC°)* 1°1 < WC 2T 2T 0 0 C Bild 8-11. Tiefpaß-Übertragungsfunktion und Nadelimpulsantwort Unter Benutzung des Verfahrens 1 in Tabelle 8-2 wird die Formel für die Koeffiuff b. - — j üü n s w r r d 23r 1 . 1 r 0 (-1r (841) n 0 nT Die hauptsächliche Formel für die digitale Differentiation ist natürlich die Formel für gm in Tabelle 8-2. Die digitale Übertragungsfunktion ri(jra) in Tabelle 8-2 ist in diesem Fall H(JW) Die Version mit dem Hanning-Fenster ist glatter, während die andere Version eine Anpassung der kleinsten Quadrate an HdQW) über den ganzen Bereich von w = 0 bis w = -rin darstellt. Es gibt noch viele andere differenzierende Filter, die ähnlich den zwei gerade beschriebenen sind. Kaiser und Kuo (1966) geben einen Vergleich der Amplitudenantworten für mehrere unterschiedliche Entwürfe. zienten n 2T Bild 8-12. Amplitudenantwort des differenzierenden digitalen Filters; N = 10. Gestrichelte Linie zeigt die gewünschte Antwort. Die rechte Kurve ist mit Hilfe von Hanning-Koeffizienten geglättet Beispiel 8-7: Man entwerfe ein nichtrekursives differenzierendes Filter. Die gewünschte Übertragungsfunktion für das Differenzieren ist (840) 14(/w). - 0 2T E rab„e-lea =j X" (-9" t-j"T (— )" eftt-r) n T 1. Leite Gleichung 8-7 ab und gehe dabei von Gleichung 8-5 und der Formel in Kapitel 2 für ck, dem komplexen Koeffizienten der Fourier-Reihe, aus. 2. E i n Satz pc.in 1 von regelmäßigen Abtastwerten wird geglättet, indem man berechnet [yni] = [2 34_1 + xm + 2 xm.,1]. Skizziere die Übertragungsfunktion 110w) für diese Operation. ..-N . 9. Übungen n T 3. W i e groß sind Verstärkung und Phasenverschiebung bei der Glättungsformel = uni - (1/2) uni _ + (1/6) tim _ 2? 158 Übungen N i c h t r e k u r s i v e digitale Systeme 1 5 9 17. E i n digitales Filter mit der Übertragungsfunktion H(z) wird beschrieben durch 4. W i e groß ist die komplexe Verstärkung, die man durch die Glättungsformel erreicht N-1 y. N I L y . xm_ E b„x„, o Gib einen ähnlichen Algorithmus für das untenstehende Filter an, dessen Übertragungsfunktion 2k H(z) beträgt. 5. Welche Verstärkung und Phasenverschiebung werden gebildet durch .p.- 2N + 1 • N x „ , _ „ ? r'. 6. E s ist eine "gewünschte" Bandpaßcharakteristik mit der Phasenverschiebung Null dargestellt. Zeige, welche Näherung 171(jw) man mit einem nichtrekursiven Filter erreichen kann und leite den Filteralgorithmus ab. Benutze ein rechteckiges Datenfenster. 18. ' z w e i verschiedene nichtrekursive Filter haben die folgenden Algorithmen: 2N b,x,,,_„; v , „ • E 121„_Nx„,_„ •-0 Die Werte b sind dieselben in dem Sinne, daß b1 = b'1, b2 =13'2 usw. Unter Ausnutzung des Ergebnisses in der vorhergehenden Aufgabe a) finde die Funktion rii,(z) ausgedrückt durch "bz.); b) finde igv(jw), ausgedrückt durch 171.(p), und vergleiche das Ergebnis mit dem in den Aufgaben 15 und 16 und c) diskutiere die Realisierbarkeit der zwei Filter. 19. ( M i t Rechner) Das unten gezeigte Tiefpaßspektrum hat seine Grenzfrequenz bei 125 kHz oder 785 krad sec-1 mit einer Phasenverschiebung Null bei allen Frequenzen. Das Abtastintervall beträgt I psec. 7. ( M i t Rechner) Zeichne die optimalen Verstärkungsfunktionen für ein nichtrekursives Tiefpaßfilter für co.T = 0.2 ir mit N = 10 und N = 100 und vergleiche mit Bild 8-4. Benutze das Hanning-Datenfenster. Hd(iu) 8. E r m i t t l e die Impulsantwort des Filters in Aufgabe 2. 1.0 9. W i e heißt die Impulsantwort des Filters in Aufgabe 3? 10. E r m i t t l e die Impulsantwort für Aufgabe 4. 11. G i b 171(z) für das Filter in Aufgabe 2 an. 12. G i b i -1-(z) für Aufgabe 3 an und zeichne ein Blockschaltbild ähnlich dem in Bild 8-9. 13. Zeichne ein Blockschaltbild wie in Bild 8-10 für Aufgabe 4. 14. G i b H(z) für Aufgabe 5 an. •15. Beweise, daß das Multiplizieren einer Übertragungsfunktion H(z) mit zk,. wobei k eine beliebige ganze Zahl ist, die Amplitudenverstärkung nicht beeinträchtigt. Hinweis: Benutze Gleichung 8-28. 16. W e n n S(jco) die Phasenverschiebung eines digitalen Filters in Radiant gemessen ‚darstellt, zeige, welche Wirkung es auf a j o i ) hat (falls überhaupt), wenn man 11(z)mie z- I multipliziert. "a.785403 r 0 7 8 K103 Nimm ein rechteckiges Datenfenster an. a) Schreibe einen allgemeinen Ausdruck für die Filterkoeffizienten [b.j. b) Zeichne die wirklichen Antwortfunktionen für Filter mit N = 4, 8 und 32. c) Zeichne die Einhüllende der Antwort g(t), wenn das Eingangssignal aus Abtastwerten von f(t) = sin (5 x 1050 besteht und N gleich 32 ist. d) Zeichne g(t), wenn f(t) = sin (8 x 105t) und N = 32 und vergleiche mit Teil c. e) Zeichne g(t), wenn f(t) eine 50 k l l z Rechteckschwingung ist und N gleich 32 gewählt-wird. 160 N i c h t r e k u r s i v e digitale Systeme Einige Antworten 2. R ( j 0 ) •• 1 + 4 cos toT 3. I R(ica)1 ( I / 6 ) ( 3 4 — 42 cos w T + 24 cos2 wT)II2 4. ) 7 (j£0) I s i n (NuiT/2) t i o - N w r i 2 N sin r / 2 ) I 5. 11( jto) { s i n ( ( N + 11 2 ) t u T 1 2N + 1 V` , N I s i n (w T/2) . (sm nco2T — sin nw, r ) f „ , _ „ n i 8. 1 2 / r, 1 / r, 2/71 b e i — T , O , T 10. I I N T bei r — 0, T ( N — 1)T I I . 11(z) — 2 z + I + 2 i t 14. 11(z) 1 (2N + •V" 16. ° ( j m ) verringert sich um s i Tr a d N- k 17. y, . E 18. 1-1,(z) z - N R , , ( z ) Literaturhinweise Bruce, J. D.: Discrete Fourier Transforms, Linear Filters, and Spectrum Weighting. IEEE Trans., AU-16, No. 4, Dezember, 1968, S. 495. Crooke, A. W., und Crait J. W.: Digital Filters for Sample-Rate Reduction. IEEE Trans., AU-20, No. 4, Oktober, 1972. Gold, B., und Jordan. K. L., Jr.: A Dircct Scarch Procedure for Designing Finite Duration ImPulse Response Filters. IEEE Trans., AU-17, No. 1, März, 1969, S. 33. Haddad, R. .4.: A Class of Orthogonal Nonrecursive Binomial Filters. IEEE Trans., AU-19, No. 4, Dezember, 1971, S. 296. Helms, H. D.: Nonrecursive Digital Filters: Design Methods for Achieving Specifications an Frequency Response. IEEE Trans., AU-I6, No. 3,September, 1968, S. 336. Howard, R. A.: Dynamit Programming and Markov Processes. Cambridge, Mass.: MIT Press,. 1960, Kap. I. Kaiser, 1. 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Lineare digitale Übertragungsfunktionen, die denGleichungen9-1 und 9-19 entsprechen Ubertragungsfunktion In Abhängigkeit von In Abhängigkeit vo n Ausgang/Eingangden Koeffizienten N(r) A l m - k(eiwT) •• ((z)/P(z) - C(j.)/P(ic.) —B(z)/.1(z) - 11 M / A ic.) (9-10) (9-11) 3. Ü b e r t r a g u n g s f u n k t i o n Die Gleichung 9-5, die, wie gezeigt, für jedes lineare digitale Filter gilt, gibt die Übertragungsfunktion als eine DFT wieder. Daher hat, wie im letzten Kapitel, die Übertragungsfunktion die Eigenschaften einer jeden DFT: (a) W e n n man eiwT für z in f-1-(z) einsetzt, ergibt sich Fi(jco). (b) 171(jw) ist periodisch mit der Periode 24T. (c) Ilace) und R(-jw) sind konjugiert komplex. (4) Wieder erhält man die nichtrekursiven Übertragungsfunktionen von Tabelle 8-1 im letzten Kapitel, indem man % = 0 für n > 0 setzt und sich daran erinnert, daß a0 = 1 ist. Eine spezielle rekursive Übertragungsfunktion wird in dem folgenden Beispiel dargelegt. Beispiel 9-1: Gegeben sei der Algorithmus gm = fm + 0.5 gm _ I und gesucht ist hierzu die Übertragungsfunktion. Hier sind die Koeffizienten a0 = 1, b0 = 1 und ai = -0.5. Deshalb ist A(z) = I - 0.5 r I und B(z) = 1 und damit ificw)i= R1(—jco)1, dh. die Amplitudenverstärkung ist eine gerade Funk- H(z) - tion von co. Eine Formel für die Übertragungsfunktion, ausgednickt durch die Filterkoeffizienten, kann man erhalten, indem man zunächst Gleichung 9-1 in symmetrischer Form schreibt: (9-6) a.0 (9-12) - 0.5 110e0 findet man einfach dadurch, daß man in H(z) die Größe z durch &uff. ersetzt: R(he) Ead-_. E b.f„,_.; - I I I - 0.5r-1 z 1 I - 0.5e -1'7. (9-13) Der Amplitudengang ist in Bild 9-1 aufgetragen, und sowohl illi(jcoll als auch 2 0 4 haben ersichtlich die oben von (a) bis (d) aufgelisteten Eigenschaften. (Der Koeffizient a0 wird der Bequemlichkeit wegen von jetzt an oft benutzt und ist immer zu 1 angenommen.) Man nehme als nächstes die z-Transformierte von beiden Seiten E N N E agg._„r" - E (9-7) E Dann definiere man an = 0 für n außerhalb des Intervalles(0,N), definiere bi, =0 für n außerhalb von ( - N , N), ordne die Terme in Gleichung 9-7 um und setze k = m - n (wie bei Gleichung 8-31 im letzten Kapitel): T 0 2, T 6,, Bad9-1. Arnpätudenantwort für gm f m 0.5gm 1 E E girr = E di(r)ü(r) = B(z)i(r) by" E t , ( 9 - 8 ) (9-9) Dieses Ergebnis ergibt zusammen mit den Gleichungen 9-4 und 9.5 die übertragungsfunktionsformeln für das allgemeine lineare digitale Filter, wie sie in Ta- Mit den gefundenen Formen der Übertragungsfunktion, die in Tabelle 9-1 zusammengefaßt sind, ist es jetzt möglich, uns der vorher erwähnten Realisierungsfrage zuzuwenden, d.h. der Frage des Einschlusses "zukünftiger" Abtastwerte von f(t) im Filteralgorithmus. Durch Betrachtung von Gleichung 9-11 in Tabelle 9-1 ist es offensichtlich, daß bn = 0 für n < 0 etwas mit einem begrenzenden Effekt bezüg- Lösung von Differenzengleichungen 166 R e k u r s i v e digitale Systeme lich der Form der Übertragungsfunktion Iri(jui) zu tun hat. Die genaue Natur dieses Effektes wird in dem folgenden Theorem erläutert: quem sein, zukünftige Abtastwerte von f(t) aus dem Algorithmus auszuschließen, da man ja weiß, daß nur eine Phasenverschiebung dazu nötig ist. Der Algorithmus Verschiebetheorem: k sei eine beliebige ganze Zahl > 0. Dann sind die folgenden Operationen in jedem linearen digitalen System einander äquivalent: (a) D a s Ersetzen des Wertesatzes [fm] am Eingang durch den Wertesatz _ 1 6 7 gor (9-19) E b a h - a n g a • - • a.0 a . 1 wird daher von hier an benutzt, dh. es wird bn = 0 für n < 0 angenommen. Natürlich bleiben die Übertragungsfunktionen in Tabelle 9-1 anwendbar. (b) D a s Multiplizieren von H(z) mit z- k und (c) d a s Multiplizieren von 13(j0) mit e-ikca. Das Verschiebetheorem wird wie folgt bewiesen (siehe auch die Aufgaben 15-18 am Ende des letzten Kapitels): Wir nehmen an, daß die Operation (a) durchgeführt ist, so daß Gleichung 9-6 wird zu Ead„,, (9-14) E Die Gleichung 9-9, die aus Gleichung 9-6 folgte, wird auch verändert: (9-15) i(t)ge(r) r k e ( r ) P ( r ) und deshalb ist die neue Übertragungsfunktion W(z) Alt) 0(z)/P(r) r'n(2)/1(z) z-kll(r) ( 9 - 1 6 ) Damit ist die Operation (b) äquivalent. Die Operation (c) folgt dann durch Substitution von eiWT rur z in Gleichung 9-16, °Ih. von der zweiten Formel in Tabelle 8-1 im vorhergehenden Kapitel, womit das Theorem bewiesen ist. Da eine Einheitsverzögerung von T sec in digitalen Filtern leicht zu erreichen ist, erhält das Verschiebetheorem ein beträchtliches praktisches Interesse. Es zeigt zum Beispiel, daß der Ausschluß der zukünftigen Abtastwerte von f(t) sich nur in einer Phasenverschiebung auswirken kann und daß jede Amplitudenfunktion, die durch die Heranziehung zukünftiger Abtastwerte von .17 t) realisiert werden kann, genauso auch durch Heranziehung von ausschließlich vergangenen Werten erreicht wenden kann. Beispiel 9-2: Wenn das Eingangssignal in Beispiel 9-1 u m zwei Abtastintervalle verzögert sei, so daß g,, = fm + 0.5 4 _I, ermittle man die resultierende Übertragungsfunktion: Das Verschiebetheorem ergibt das Resultat hier in Form des Ergebnisses von Beispiel 9-1: i h r ) — z-2ii(z) = (9-17) zlr — 0.5) und e-InaT filjco) e -2.4•T ii(fic) 4. Lösung von Differenzengleichungen: Nadelimpulsund Schrittfunktionsantwort Wenn der Wertesatz [fm J am Eingang gegeben ist, wird Gleichung 9-19 eine Differenzengleichung, die, wenigstens theoretisch, nach [ 4 1 auflösbar ist, wie dies durch Gleichung 9-3 angezeigt wird. Zwei spezielle Lösungen sind in der Analyse kontinuierlicher linearer Systeme von besonderem Interesse, nämlich die Lösungen, die sich als Antworten bei der Eingangsanregung mit dem Einheitsnadel. impuls und der Schrittfunktion ergeben. Wir betrachten zuerst die Impulsantwort, wobei die Impulsfunktion d(t), die im Frequenzintervall ( - ir/T, tr/T) die spektrale Amplitude Eins hat, nach dem vorangehenden Kapitel einen einzigen von Null verschiedenen Abtastwert d0 = I / T bei t = 0 hat. Ihre z-Transformierte D(z) ist deshalb auch gleich I /T, und so ergibt die Gleichung 9-10 in Tabelle 9-1 j(z) i 5 ( z ) B ( z ) Ä(z) T i ( r ) . I — 0.5e-"'T Der Amplitudengang 'ITUtoll ist natürlich derselbe wie in Bild 9-1. Beachtet man das Verschiebetheorem, so wird es für das verbleibende Kapitel be• 9 - 2 0 ) oder E — ,.0 b„%-• JR. (9-21) T E a.z-s a-(1 Die Version in Gleichung 9-21 kann nach 4 aufgelöst werden, wenn die rechte Seite, die ein Verhältnis aus Polynomen in z ist, als geometrische Reihe in z geschrieben werden kann, denn dann kann der Koeffizient von z- "I in dieser Reihe gleich gm gesetzt werden. Ein..triviales Beispiel ergibt sich, wenn an = 0 für n > 0 und das Filter nichtrekursiv ist. In diesem Fall ergibt Gleichung 9-24 g,,,z-" - Ti —E b (9-18) ( - n - 0 (9-22) (9-23) Dies Ergebnis, das durch Gleichsetzen der Koeffizienteangen 'gleicher Potenz z la Gleichung 9-22 erreicht i s t das gleiche wie im vorangehenden Kapitel. Blockschaltbilder 170 R e k u r s i v e digitale Systeme 1 7 1 alt 2 1 0 0 2 6 6 m Bild 9-3. Schrittfunktionsantwort ftir gm=fm + Eine ziemlich große Klasse von Differenzengleichungen kann man durch die in diesem Abschnitt benutzte Methode lösen (siehe auch [Gold und Rader 1969], Kapitel 2). Die zur Lösung nötigen Schritte, die obigen Schritte (a) — (d), haben es in Wirklichkeit damit zu tun, die inverse z-Transformierte von G(z) zu finden, nachdem G(z) als ein Verhältnis von Polynomen in z geschrieben worden ist. Deshalb kann jemand, der mit einer Tabelle von z-Transformierten wie in Tabelle 9-2 ausgerüstet ist, gewöhnlich die Schritte (c) und (d) vermeiden und möglicherweise sogar den Schritt (b). Man beachte zum Beispiel, daß man die Lösungen von Gleichung 9-25 und Gleichung 9-32 in Tabelle 9.2 finden und direkt niederschreiben kann. 5. Blockschaltbilder Gerade wie bei analogen Filtern sind Blockschaltbilder von digitalen Filtern eine Hilfe, um sich von Funktion und Wirkung des Filters ein anschauliches Bild zu machen und um auch verschiedene Realisierungen schaltungsmäßig oder in al,gorithmischer Form leicht zu finden. Die nichtrekursiven Filter im vorherigen Kapitel werden jetzt mit interessanten Ergebnissen auf lineare Filter im allgemeinen erweitert. Das allgemeine lineare Filter wird zuerst aus Gleichung 9-19 in Bild 94 als Blockschaltbild zur Darstellung gebracht und ist ersichtlich eine Erweiterung von Bild 8-9 im vorherigen Kapitel, mit der Ausnahme, daß fm anstelle von fm+N benutzt wird, da Gleichung 9-19 zukünftige Werte des Eingangssignals ausschließt. Wieder würde, wie beim Verschiebetheorem gezeigt, die Übertragungsfunktion unverändert bleiben, wenn h f l —1z`1--Iw dem Eingang in Bild 9-4 vorgeschaltet würde. Zukünftige Werte werden nur der Bequemlichkeit halber ausgeschlossen, um dem Schaltbild eine symmetrischere Form zu geben. Man beachte, wie die obere Hälfte von Bild 94 die erste Summe in Gleichung 9-19. darstellt undsdie untere Hälfte die zweite Summe. Alle Pfade brauchen natürlich, nicht immer zu existieren — jeder der Werte a oder b im Bild kann auch Null sein.- Bild 94. Schaltbild 1 des linearen Filters Beispiel 9-5: Das Filter mit gm = fm + 0.5 gm_ 1 aus den obigen Beispielen, von Beispiel 9-1 an, ist hier als Blockschaltbild gezeigt. f Das jedes Verzögerungselement i n einem Filterschaltbild die Speicherung eines Wertes bei t = (m-1) T beinhaltet, so daß dieser selbe Wert bei t = mT verfügbar ist, kann die Zahl der Elemente z— I im Schaltbild im allgemeinen gleich der Zahl der Speicherzellen gesetzt werden, die vom Filteralgorithmus oder der Schaltung benötigt werden. Jede "Zelle" stellt natürlich Speicherplatz für eine vollständige reelle Zahl bereit — nicht nur ein einzelnes Bit. Ein zweites lineares Blockschaltbild, Bild 9-5, kann aus Bild 9 4 genauso abgeleitet werden, wie Bild 8-10 im vorigen Kapitel aus Bild 8-9 abgeleitet wurde. Für jeden Pfad in Bild 9-4 kann vom Eingang zum Ausgang ein entsprechender Pfad in Bild 9-5 verfolgt werden, obgleich die Reihenfolge der Operationen entlang des Pfades unterschiedlich sein kann. Es gibt jedoch einen wichtigen Unterschied zwiI schen den beiden Blockschaltbildern: Das Scludtbild l enthält 2 N Verzögerungen 1(Speicherzellen), während Schaltbild 2 nur N enthält. Das Schaltbild 2 beinhaltet einen Algorithmus, der verschieden von dem in Gleichung 9-19 ist — einen Algorithmus, der nur N vergangene Werte anstelle von 2 N enthält. Dieser Algorithmus kann ermittelt werden, indem man den Eingang zu jedem Verzögerungsglied in •Schaltung 2 kennzeichnet, geradeso wie jeder Eingang eines Verzögerungsgliedes in Bild 94 implizit mit einem vergangenen Wert von f(t) oder g(l) gekennzeichnet ist. Kennzeichnen wir zum Beispiel in Schaltung 2 jede Zwischensumme durch x:, — b„ f„, — + 4,1 (9-37) so daß m wie üblich die Zeit t = mT darstellt und der obenstehende Index n (kein Blockschaltbilder 1 7 3 172 R e k u r s i v e digitale Systeme - y7„--11. n N L. - E - 1,2 (9.39) I bigyz Wieder erfordert der Algorithmus für das Speichern der vergangenen Werte nur N Zellen für 4 bis y g , da nur die vorherigen Größen yg, _I bis yNn.R1 in Gleichung 9-39 vorkommen. Bild 9-5. Schaltbild 2 des linearen Filters Exponent) den jeweiligen Eingangspunkt eines Verzögerungsgliedes in der Schaltung bezeichnet. Zum Beispiel ist xib,11 das Eingangssignal des am weitesten links stehenden Verzögerungsgliedes. Der Algorithmus, der der Schaltung 2 entspricht, Beispiel 9-6: Für den rekursiven Algorithmus gm = 2 fm + 3 fm _1 - 4 gm _ I lassen sich die Schaltbilder 1-3 unten ermitteln (im zweiten Schaltbild ist die zweite Verbindung in Gleichung 9-38 nicht existent, da es hier nur ein „ x " gibt). Durch Eliminieren der Größen x und y können die drei Algorithmen ineinander überführt werden. folgt dann daraus zu g., b o f„, + x:, b . f., + 4 11 - a.g.,; 4,4 - tw - n 1 , 2, . , . , N - 1 ( 9 - 3 8 ) aMgw Wenn die Berechnungen in dieser Reihenfolge gemacht werden, wobei die Werte bei t = mT die Werte bei t = ( m - l ) T sofort nach ihrer Berechnung ersetzen, benötigt man nur die N Speicherzellen von Schaltbild 2. Die Gleichungen 9-38 und 9-19 sind natürlich vollkommen äquivalent, und tatsächlich kann man die Gleichung 9-19 auch erhalten, indem man die Werte x in Gleichung 9-38 eliminiert. Um zu zeigen, daß auch andere Realisierungen des linearen Filters aus N Zellen möglich sind, sei die Schaltung 3 in Bild 9-6 vorgestellt. Wieder ist jeder EingangsAusgangspfad in Schaltung 3 äquivalent zu jedem entsprechenden Pfad in Schaltung I oder 2. (Wie vorher, kann die Ordnung der Operationen entlang eines Pfades verändert sein, aber der Gesamtbeitrag zu gm ist derselbe.) Benutzt man wieder die Zwischenvariable ?im, die diesmal wie in Schaltung 3 definiert ist, so ergibt sich der folgende Algorithmus für Schaltung 3 r. g . . 21„, + - 4g..1 - 2 f,,,+ 31- - 4e. In Kapitel 3 war die lineare kontinuierliche Übertragungsfunktion in einem Blockschaltbild gezeigt worden, und natürlich kann das lineare digitale System in ähnlicher Form dargestellt werden. Bild 9-7 gibt zwei grundsätzliche Zerlegungen der digitalen Übertragungsfunktion H(z) wieder (siehe [Gold und Rader 1969] Kapitel 2; auch [Wait 1970]). Diese Formen stehen im Gegensatz zu den Formen der Bilder 9 4 bis 9-6, weil diese die Zerlegung von H(z) in einfachere Übertragungsfunktionen nicht enthalten. Hierzu müssen die Zähler- und Nennerpolynonte von 14(z) in Produkte von einfacheren Polynornen zerlegbar sein. z.B. wie in der unten stehenden Gleichung 946. Die Serienform drückt ii(z) als ein Produkt seiner Faktoren aus und ist einfach zu konstruieren, wenn man einmal H(z) in Faktoren zerlegt hat. Die Parallelform drückt H(z) als eine Summe aus und kann konstruiert werden, indem man 11(z) in eine Summe von Teilbrüchen entwickelt. Das folgendsaispiel veranschaulicht diese zwei grundsätzlichen Formen. Bid 9-6. Schaltbild 3 deslinearen Filters Beispiel 9-7: Man zeige, wie man den folgenden Ausdruck in die Serien- und in die Parallelform zerlegt. Die faktorisierte Form von H(z) ist 174 R e k u r s i v e digitale Systeme 6. Pol-Nullstetlendiagramme / 1 ( 4 3 2 3 — 522 + 10Z Z3 - + 1 7 5 (940) 7z - 5 /27(z) z ( 3 z 2 - 5z + 10) (z - 1)(z2 - 2z + 5) (941) seriell toi. 9-42) Wenn man i --1(z) weiter faktorisiert, ergeben sich imaginäre Koeffizienten. Daher ist Gleichunj 941 die bevorzugte faktorisierte Form. Die Serien- und Parallelformen von 1-1(z) sind Serien 1 1 ( r ) R1(z)R2(z) Parallel 17/(z) H l ( z ) + (9-42) z ) ( 3 z z - 5z + 10) z - 1 z z - 2z + 5 H 2 ( z ) + 2— Z 2 2 - 2z + 5 (z) a2(z) (943) In der Parallelform ist Gleichung 9-43 die Partialbruchzerlegung. Die Gleichungen 9 4 2 und 9 4 3 haben die in Bild 9-7 geforderte Form, und die individuellen Faktoren können natürlich in der Form der Bilder 9 4 bis 9-6 realisiert werden. Für Bild 9-5 sind die vollständigen Konstruktionen in Bild 9-8 wiedergegeben. parallel (Gl. 9-43) am Bad 9-8. Serielle und parallele Versionen von H(z) = (3z3 - 5z2 + 10z)/(z3 - 3z2 + 7z - 5) serielle Form parallele Fern 11(z) • F p n ( s ) reel Ü2(z) Tu.)_E r..„(0 H(z) _JU."2(z) a1(r) (.)ii2 (7) n-1 Bild 9-9. Digitale Rückkopplungsschaltung Bild 9-7. Zerlegungen derDbertragungsfunlction H(z) Neben der Serien- und Parallelform ist noch die digitale Rückkopplungsschaltung in Bild 9-9 wichtig, ganz besonders in geschlossenen Regelsystemen. Die Gesamtübertragungsfunktion H(z) findet man als Funktion von li (z) und H2(z) genauso wie in dem analogen Fall (Kapitel 3, Abschnitt 2). 6. Pol-Nullstellendiagramme Neben den im vorigen Abschnitt besprochenen Blockschaltbildern gibt es als tere Hilfe für die Analyse und den Entwurf von digitalen Filtern das Pol-Nulittellendiagramm in der z-Ebene. Gerade wie die obigen Blockschaltbilder Analogien zu den schematischen Schaltbildern der kontinuierlichen Systeme sind, will das z-Ebenen-Diagramm analog zu dem s-Ebenen-Diagramm für analoge Filter hen werden. Das in Kapitel 3 eingeführte s-Ebenen-Diagramm wird später in Verbindung mit der Synthese spezieller Filter diskutiert - hier liegt das Gewicht auf den Beziehungtat! der Frequenzantwort eines digitalen Filters zu dem z-EbenenDiagramm. Zunächst muß der Term „z-Ebene" selbst definiert werden. Die Substitution von eicaT für z, die benutzt wurde (siehe Eigenschaft (a) in Abschnitt 3), um die Frequenz-übertragungsfunktion ri(jco) zu erhalten, läßt vermuten, daß z auch komplexe Werte haben darf. Daher ist die i - E n n e die komplexe Ebene, und ein Punkt Olf der Ebene mit den Koordinaten (x, y) stellt den Wert z = x + j y dar. Die reelle Achse ist immer waagrecht. Als nächstes können die Pole und Nullstellen der Funktion H(z) definiert werden. Et wurde schon gezeigt, daß diese Funktion ein Verhältnis von Polynomen i q z ist, d.h. aus Tabelle 9-1 folgt 176 R e k u r s i v e digitale Systeme Pol-Nullstellendiagramme ä(z) 6 , v z - N + • • • + biz-' + ba /1(z) a N z - N + • - • + + I box" + b i t " ' + • • • + bN ZN + a l z " + ( 9 - 4 5 (9-44) sichtlich als ein konjugiertes Paar innerhalb des Einheitskreises in der z-Ebene. Die Signifikanz dieser Eigenschaften wird gleich erläutert werden. ) Hat man die Pole und Nullstellen der Filterfunktion H(z) in der z-Ebene, ist es jetzt leicht, sich ein Bild von der Fresuenzfunktion zu machen. Man findet sie durch Substitution von e j ‘ r für z in H(z) (siehe Eigenschaft (a) in Abschnitt 3), und damit ergibt sich aus Gleichung 946 die Frequenzfunktion ••• + aN (Man beachte, daß a0 wie oben gleich Eins ist und daß deshalb z " in Gleichung 945 jetzt den Koeffizienten Eins hat.) Uni die Pole und Nullstellen zu finden, müssen Zähler und Nenner von Gleichung 945 jeweils in N Tenne faktorisiert werden: y(z) b (z - , ) ( z - 2 ) • • • (z - g ) ° (z - 1 ) ( z - 2 ) • • • (z - g ) (946) wobei b0 als verschieden von Null angenommen wird. Diese Faktorisierung mag natürlich selbst ein beträchtliches Problem sein, das manchmal eine iterative Lösung erfordert, wenn N größer als Drei ist. Wenn andererseits die Werte A und B gegeben sind, kann man die Filterkoeffizienten a und b durch Ausmultiplizieren in Gleichung 946 finden. Jedes 13n wird eine „Nullstelle" von H(z) genannt, da H(z) verschwindet, wenn sich z diesem Wert nähert. Entsprechend ist An eine „Polstelle", da 11(z) gegen Unendlich geht, wenn sich z dem Wert An nähert. Beispiel 9.8: Man finde und zeichne die Pole und Nullstellen von H(z), wenn der Filteralgorithmus heißt: g„, = fm I + 0.8 fm _2 - 0.6 gm _1 - 0.25 gm _2. Der Algorithmus führt zu b0 = 0, bi = 1, b2 = 0.8, et = 0.6 und a2 = 0.25. Deshalb ist H(z) mit Gleichung 945 gegeben durch 11(z) (947) + (18 + 0.6z + 0.25 1 7 7 ri(jw) b 0(efrdr - 81)(eher - 8 2) • • • (Mir - BN) (e'T - A 1)(ei"T - A2) • • • ( M T - AN) 1 (949) Jeder Faktor (eiwT - An) oder (ejwT - Bn) in Gleichung 949 wird in der z• Ebene durch einen Vektor dargestellt, der von dem Pol oder der Nullstelle von H(z) zu dem Punkt z = eiwT auf dem Einheitskreis gezogen wird. Die Amplitudenkurie des Filters findet man dann durch Multiplizieren und Dividieren der Vektoramplituden und die Phasenverschiebung durch Addieren und Subtrahieren der Vektorwinkel. Beispiel 9-9: Man ermittle mit dem Filter von Beispiel 9-8, für das galt: gm = fm _1 + 0.8 fm _2 - 0.6 gm _ I - 0.25 gm _2, Amplitudenverstärkung und Phasenverschiebung bei GJ = ir/4T. Das Pol-Nullstellendiagrartun in Bild 9-10 ist in Bad 9-11 wiederholt, diesmal mit Vektoren, die zu dem Punkt z = ejni4 auf dem Einheitskreis hinzeigen, an dem w = tr/4T ist. Die Vektorlängen sind VI, U1 und U2 wie im Bild gezeigt, und damit folgt der Amplitudengang zu V1/01 112. Man beachte, wie in diesem Beispiel V1,111 und 02 die Beträge leiw T - Bi', leicaT A11 und leiGtir - A21 in Gleichung 949 darstellen. Die Vektorwinkel sind wie gezeichnet ß1, 61 und 02, und somit ist die Filter-Phasenverschiebung ß1 - al az- oder, in der Pol-Nullstellenform von Gleichung 946 H(z)-- z + 0.8 (z + 0.3 + A.4)(z + 0.3 - .A4) AmplitudenVe r s t ä r k u n g (948) ( bei . - I n ) vi U1u2 Die Pole und Nullstellen sind in Bild 9-10 aufgetragen. Die Pole ergeben sich erNullstelle In(z) Einheltskrers ( z e ejwT) Phasen- V e r schiebung ) bei I / 41* P j l s i d e l l e NF Bild 9-10. Pol-Nullstellendiagramm für das Beispiel 9-8 Bild 9-11. Verstärkung und Phasenverschiebung für das Beispiel 9-9 - (oI a 2 ) 178 R e k u r s i v e digitale Systeme Tabelle der z-Transformationen 1 7 9 Die Periodizität von H(jw) ist unmittelbar aus der z-Ebenen-Darstellung zu ersehen. Wenn coT von 0 bis 2 ir anwächst, läuft der Arbeitspunkt auf dem Einheitskreis, auf den die Pfeile zeigen, bei z = 1 los und vollführt einen vollständigen Umlauf auf der Kreisbahn. Der Arbeitspunkt durchläuft nochmals die Kreisbahn, wenn coT von 2 n bis 4 n wächst, und so weiter. Die Übertragungsfunktion, die sich entsprechend dem Ort des Arbeitspunktes ändert, muß daher mit der Periode 2 it/T periodisch sein. Digitale Filter können synthetisiert werden, indem man Pole und Nullstellen in der z-Ebene plaziert, um vorgegebene Verstärkungscharakteristiken zu erreichen. Dieses Verfahren wird in Kapitel 12 diskutiert; jedoch sind einige der Grundregeln für das Plazieren der Pole und Nullstellen in der z-Ebene schon evident und vermitteln Einsicht in das Syntheseproblem. Diese Regeln sind: (a) P o l e oder Nullstellen müssen entweder reell sein oder in konjugierten Paaren auftreten. von der Form rm &Tee, und somit hat gni eine Komponente mit der Phase me zur Zeit mT, d.h. eine oszillierende Komponente. 7, Tabelle der z-Transformationen Eine umfangreiche Tabellierung der Laplace- und z-Transformationen kann man im Anhang A finden. Die Diskussion hier sollte dem Leser helfen, den Anhang A richtig zu benutzen. Eine kurze Liste der Beziehungen der z-Transformation ist in Tabelle 9-2 angelegt. Wie in der Transformationstabelle von Kapitel 3 können die Beziehungen in den numerierten Zellen im oberen Teil der Tabelle dazu benutzt werden, die speziellen Transformationen in den mit Buchstaben gekennzeichneten Zeilen im unteren Teil der Tabelle zu verallgemeinern. (b) F ü g t man einen Pol (oder eine Nullstelle) bei z = 0 hinzu, so bewirkt das, daß r(jc.2) mit e--.1‘a multipliziert wird (oder mit eFiwT), womit nur die Phasenverschiebung beeinträchtigt wird und nicht die Amplitudenverstärhing des Filters. Wie am Ende der Tabelle notiert, wird für die buchstabengekennzeichneten Zeilen f(t) = 0 für t < 0 angenommen, so daß die z-Transformationsfomiel für diese Zeilen auch geschrieben werden könnte (c) E i n Pol (oder eine Nullstelle) auf dem Einheitskreis bedeutet, daß H(jrr) bei einer besonderen Frequenz Unendlich (oder Null) ist. (9-51) (d) Ein Pol außerhalb des Einheitskreises bedeutet Instabilität in dem Sinne, daß die Filterantwort auf einen Impuls anwachsen statt abklingen wird. (e) Pole, die nicht auf der reellen Achse liegen, verursachen im allgemeinen Schwingungen im Ausgangssignal des Filters. Jede dieser Eigenschaften ist ganz leicht zu zeigen. Die erste folgt durch Ausmultiplizieren der Faktoren in Gleichung 946, um die Polynome in Gleichung 9-45 zu erhalten, und durch Beachtung der Tatsache, daß die Werte A und B in konjugierten Paaren auftreten müssen, damit die Werte a und b reell sind. Die zweite Eigenschaft folgt aus dem Verschiebetheorem oder indem man beachtet, daß der Betrag des Vektors vom Punkt z = 0 zu dem Einheitskreis immer gleich Eins ist. Die Eigenschaft (c) ist evident, weil für Pole oder Nullstellen auf dem Einheitskreis die entsprechende Vektorlänge bei irgendeinem Frequenzwert auf Null abnehmen muß. Schließlich zeigt man die Eigenschaften (d) und (e), indem man, wie oben erörtert, eine Teillösung für die Impuls- oder Schrittantwortfunktion ermittelt. In der Lösung wird der Term 2./(z—p), mit p als Pol von ii(z), in _ E J.J-1" Hat man es nicht genau verstanden, kann diese Tatsache zu fehlerhaften Schlüssen führen, wenn das Verschiebetheorem in Zeile 5 der Tabelle auf eine der buchstabengekennzeichneten Zeilen angewandt wird. Die Fehlerquelle kann man im folgenden Beispiel erkennen. Beispiel 9-10: Man finde mit den Zeilen 5 und C in Tabelle 9-2 die inverse Transformierte zu C(z) — 2 1 z— a Aus den Zeilen 5 und C ersieht man, daß n =- 2 in Zeile 5, so daß m durch in -2 in Zeile C zu ersetzen ist, um gm = am —2 zu erhalten. Dies verzögert die ursprüngliche Funktion am um zwei Intervalle, wie dies in Bild 9.12 veranschaulicht ist. Man beachte jedoch, daß die ursprüngliche (unverzögerte) Funktion Null ist für der Partialbruchzerlegung von F(z) 14(z) auftreten. Wie in Gleichung 9-24 lautet die Reihe für diesen Term 2 z- P (9-50) Wenn p außerhalb des Kreises liegt, so daß IpI > I , wächst pm mit m, und Filter-Ausgangssignal gn, wächst wie m unbeschränkt. Ist p komplex, dann ist e r . % (9-52) Rad9-12. Inverse Transformation von z. 1/ —al Tabelle 9-2. Kurze Tabelle von Transformationen 4 Funktion Zeile DFT z-Transformation m-ter Abtastwert FU") • Ar isr) 0 I(t) I. a. I (mn 1(z) •• E 1 e (t) Aim 41(z) AR lo) 2 I(t)+d(t) AN+ gs, Az) + d(z) A M + e bo) 3 &Rd mTk - Tr — A d ) dz 4 e-m I (1): a> 0 e-""rfa, nig) F( JU) + a) I ( ' - an; ri > 0 .f.-N z-"P(z) rinaltk.)) 5 6 f (i-) : a > 0 .4. A d(t) I 4 .. 7.- kr"' d du; I --- A m i Az) mit -7-. -1' anahe) 1 I T a T z r - I • C D E G 14 ain• 0 f r 6 , I T ( 7 5 ) 2 + (7----a.) b am r _ - eiv I _ e i n 12 •a - b (z - a)(z - b) sie cm; a > 0 m. .... = . sie az ‚In mar total cos mar 1-e-«; a>0 - I - e -mar .._ 37-- zi-7. i 1_ ,-(,..mr z zin 47' ( r 1 - 2z cot aT + I) r(r - eoa aT) (12- 2z cosaT + I) (I - r -°T): Rekursive digitale Systeme (z - l)(z - e-47) e'sinbr; a > 0 1 ih-« tos br; a > 0 e s i n mbT er"'"17-cos mbT (e-42- sin br): r2 - (2e C O S bT)z + - CO5bT) e ' r sin bT elwr e - ( +J")T - 2e c o z br elar - e C O 1 br Lineare Phasenverschiebung und Phasenverschiebung Null 1 8 2 R e k u r s i v e digitale Systeme m < 0; deshalb ist gm = - 2 nicht korrekt für m < 2 bei der verzögerten Funktion. Die korrekte inverse Transformierte ist wie in Bild 9.12 dargestellt: B.{0; .". 2 m< 2 cf"" ; m> 2 (9-53) An Hand dieses Beispieles ist es lehrreich, die Aufgaben 14 und 15 im Abschnitt 9 zu bearbeiten, indem man zuerst G(z) sucht und dann die inverse z-Transforma• tion bildet, um gm zu fanden. 8. Lineare Phasenverschiebung und Phasenverschiebung Null 1 Jetzt soll die Diskussion noch etwas ausgedehnt werden, um auch rekursive Systeme entweder mit linearer Phasenverschiebung oder mit der Phasenverschiebung Null einzuschließen. Eine Übertragungsfunktion mit der Verstärkung Eins und linearer Phasenverschiebung ist in Bild 9-13 dargestellt. Im Zeitbereich besteht die Wirkung einfach darin, f(t) um nT sec zu verschieben, und im Frequenzbereich wird F(s) mit e-nTs oder F(z) mit z - " multipliziert. Das Verschiebetheorem garantiert die Äquivalenz dieser Operationen. Man beachte, daß, wenn f(t) eine Sinuswelle der Frequenz fr ist, Die Phasenverschiebung Null erreicht man natürlich, wenn im obigen Beispiel n = 0 ist, und, allgemeiner, wenn die Übertragungsfunktion rein reell ist. Filter mit der Phasenverschiebung Null sind für Datenverarbeitungszwecke manchmal sehr wünschenswert, in denen man f(t) nicht im2,eitbereich verschieben möchte, und besonders auch dort, wo man verschiedene Frequenzkomponenten von f(t) nicht um verschiedene Beträge verschieben möchte. Welche Eigenschaften eines Systems sind nun für eine lineare (oder keine) Phasenverschiebung notwendig? Diese Frage wird hier mit den Begriffen des digitalen Systems beantwortet, wobei der analoge Fall ähnlicheist. Für eine lineare Phasenverschiebung muß die Frequenzantwortfunktion des Systems die Form haben (9.54) wobei rt(jo.i) eine reelle Funktion von w ist. Deshalb muß 11(z) sein H(z) z (9-55) wobei li(eiwT) eine reelle Funktion von o ist. Wenn jedoch it-(eIG-'1.) reell ist, muß es gleich seinem eigenen konjugierten Wert sein, d.h. gleich ft(e-iwT), und daher muß R(z) gleich R(z-1) sein. Damit ist folgendes Theorem bewiesen: Lineares Phasenverschiebungstheorem: Damit ein System eine lineare Phasenverschiebung hat, muß seine Übertragungsfunktion H(z) von der Form sein H(z) r a i i ( z ) (9-56) R(z) ist ein Verhältnis von Polynomen in z und A(z) - Für nichtrekursive Systeme kann die Gleichung 9-56 dadurch erfüllt werden, daß man die Filterkoeffizienten paarweise gleich macht, wie das in Kapitel 8 beschrieben wurde. Da R(z) im rekursiven Fall jedoch ein Verhältnis von nichttrivialen Polynomen ist, stellt die Bedingung R(z) = - 1 ) ein besonderes Problem dar. Wir wollen R(z) wie folgt ausdrücken: nT 1 e - n Ts (9-57) Die Zeitverschiebung beträgt nT sec, wobei n = 0 für die Phasenverschiebung Null gilt. f(t) F ( 0 — 3 die Übertragungsfunktion e -iconT von dieser Frequenz abhängt, aber die Wirkung besteht immer darin, f(t) um den konstanten Betrag nT zu verschieben. = Der Leser wird sich erinnern, daß nichtrekursive Systeme mit der Phasenverschiebung Null in Kapitel 8 diskutiert wurden und daß sie bei der Verarbeitung von zukünftigen und vergangenen Abtastwerten von f(t) so arbeiteten, als ob der Abtastwertesatz gni] in irgendeinem Speicher aufbewahrt wäre. 8 G(a) a n a l o g A(4 b o , + 6121-1 + • • • + bN IN + a i z " + • • • + aN 6. - bp,_,, und a,, a , , _ „ für allen Cis) d i g i t a l Bild 9-13. Einheitsverslärk ung und lineare Phasenverschiebung (9-58) ( 9 - 5 9 ) mit den Bedingungen für a und b, die für k(z) = 1 ) erforderlich sind. Insbesondere auch für aN = 1 im Nenner von Gleichung 9-58; daher muß das Produkt aller Pole gleich Eins sein, und so muß für jeden Pol von R(z) bei zo auch ein Pol bei 1/2.0 sein. Wenn nun zo nicht auf dem Einheitskreis liegt, so muß einer der Lineare Phasenverschiebung und Phasenverschiebung Null 1 8 4 R e k u r s i v e digitale Systeme beiden Werte zo oder l i z o außerhalb des Einheitskreises liegen, und deshalb scheint im allgemeinen der Versuch, ein rekursives Filter mit linearer Phasenverschiebung zu erhalten, zu einem instabilen Entwurf zu führen. Glücklicherweise gibt es einen Weg aus dem Dilemma, wenn man Echtzeitbedingungen ausschließt, d.h. wenn man die Uhr „zurückstellen" kann, so daß sie mit der Position im Abtastwertesatz [fni] übereinstimmt, nachdem der ganze Satz aufgezeichnet worden ist. Wenn (fm] aufgezeichnet ist, muß diese Aufzeichnung eine endliche Dauer haben. Wir wollen der Bequemlichkeit wegen die von Null verschiedenen Abtastwerte von 1(t) wie folgt ansetzen: I hl I LA, N+ • • 10, • ••• fN) ( 9 4 0 ) (9-61) wobei der Exponent r die Zeitumkehr bezeichnet. Die z-Transformierte von ffmy ist auch eine Art Umkehr von F(z), d.h. P(z) a Z I h r System enthält zwei Umkehrungen der Zeitreihe und damit zwei neue Abtastwertesätze neben dem ursprünglichen Satz [fm]. Man beachte jedoch, daß nur ein Satz von 2 N + 1 Speicherzellen benötigt wird und daß der Abtastwertesatz einfach umgekehrt verarbeitet werden kann; d.h. r hat eher mit der Vorstellung als mit der Tätigkeit des Umkehrens zu tun. In jedem Fall ergeben die Gleichungen 9-62 bis 9-65 das folgende Resultat: G(z) I I A z ) i i ( z ) ] r i i ( z ) I r - I It(z)17/(z)l'I'lhz) fr(z)17(z)1« (z 9 - 6 9 - I R( jw) I 2 ( 9 - 6 - 6 2 es) ez) ) Daher beinhaltet die Zeitumkehr die Substitution von z- I furz. Umkehr des Produktes: f i i(z)«ä(z)r r i ' ( z ) , Y ( z ) ( ( 9 9 4 - 6 4 5 ) ) Jede von ihnen ist mit der Definition in Gleichung 9-62 leicht zu beweisen. Um die Phasenverschiebung Null mit einer beliebigen rekursiven Funktion il(z) zu erhalten, betrachte man jetzt die zwei äquivalenten Systeme in Bild 9-14. Jedes Z ( z ) na) Bild 9-14. Äquivalente Systeme n i t Phasenverschiebung Null 8 ) Obgleich also H(z) eine nichtlineare Phasenverschiebung erzeugen kann, hat IIT(z) die Phasenverschiebung Null und die quadrierte Amplitudenantwort von H(z). Eine lineare Phasenverschiebung ergibt sich natürlich einfach, indem man jeweils einen z-"-Block jedem der Blockschaltbilder in Bild 9-14 noch hinzufügt. Einige grundsätzliche Beziehungen in Verbindung mit der Zeitumkehr lauten wie folgt Umkehr der Summe: ( Ä ( z ) + f3(z)I' i t ( z ) + ä'(z) ( 9 4 3 ) F(z) ) (9-67) (In Gleichung 9-62 steht das Zeichen Z für ,g-Transformation von".) Umkehr der Umkehr: [ P ( z ) ) ' - F(z) 6 Hr(z) - ei) ( ( he ert. -N = A z -1) 5 g r ( i 4 - ll(is)R(-i4) f.1' L . I - EIA IN-1. • •• fo. • •• L A E 8 Damit folgt die gesamte Übertragungsfunktion zu so daß es insgesamt 2 N + I Werte gibt. Die Zeitumkehr von [ ( n j kann nun als [fin ] in der umgekehrten Ordnung definiert werden, d.h. ▪ Et„,z-•1 1 T(z) Bild 9-15. Beispiel des Filterns mit Phasenverschiebung Null: T = 0.01 sec 186 R e k u r s i v e digitale Systeme Beispiel 9-11: Man betrachte die Wirkung des in Bild 9-15 beschriebenen Systems auf die Zeitfunktion f(t) = 10 sin2nt + 2 sin20irt. Die Übertragungsfunktion ii(z) ist hier ein Tiefpaßfilterabschnitt aus Kapitel 12 und hat die Wirkung, das meiste der 20% betragenden kleinen Wellen zu eliminieren. Das wichtige Kennzeichen ist hier die Eigenschaft der Phasenverschiebung Null bei der Funktion g(t). Die Zeitverläufe wurden konstruiert, indem gerade Linien zwischen den Abtastpunkten mit T = 0.01 sec gezeichnet wurden. Übungen 1 8 7 14. Zeichne die Einhüllende der Antwort des Filters A auf Abtastwerte des dargestellten Eingangssignals t o r 15. Zeichne die Einhüllende der Antwort des Filters B auf Abtastwerte des dargestellten Eingangssignals. Die folgenden Filteralgorithmen werden in den unten stehenden Übungen verwendet: Filter A: Filter B: Filter C: Filter D: Filter E: 1 f(t) 9. U b u n g e n g . j „ , +0.28._, B.- 2 f . — B. — 2f„, + 0.7g..1 — 0.1g„,_1 f„, + 0.2g._, — 0.05g„,_1 B. f „ , + + — 0.05g„,_2 1. Z e i g e die allgemeine Form des linearen Filteralgorithmus, wenn das Ausgangssignal g(t) nur eine Funktion der vergangenen Werte von f(t) sowie seiner eigenen vergangenen Werte ist. t 0 T 16. L e i t e für das Filter gni + a8.- i + einen allgemeinen Ausdruck für die Antwort auf einen Einheitsschritt yon f(t) bei t = —T/2 ab. 17. ( M i t Rechner) Trage die Antworten der Filter C und D auf Abtastwerte des hier gezeigten Impulses auf, wobei die Abtastrate 20000 Werte pro Sekunde beträgt. 2. F i n d e ii(z) für die Filter A und B. 3. F i n d e H(z) für die Filter C und D. 4. F i n d e H(z) für das Filter E. 5. W i e lautet die Übertragungsfunktion rlato) des Filters A, wenn das AbtastIntervall 0.31416 sec beträgt? 6. Welche Wirkung hat es auf die Übertragungsfunktion, wenn fm durchfm_2 im Algorithmus des Filters C ersetzt wird? i r r 7. Skiiziere die Amplitudenantwort des Filters A. 8. Skizziere die erste Periode der Amplitudenantwort des Filters B. 9. Skizziere die erste Periode der Amplitudenantwort des Filters C. 10. W i e heißt die Impulsantwort des Filters B? I I. G i b die Impulsantwort des Filters E an. —1 0 18. Zeichne Filter C in der Form des Schaltbildes I. 19. Zeichne Filter D in der Form des Schaltbildes 2. 20. G i b einen Algorithmus an, der ähnlich dem in Gleichung 9-38 für Filter E ist. 21. G i b einen Algorithmus an, der ähnlich dem in Gleichung 9-39 für Filter E ist. 12. G i b die Antwort des Filters C auf Abtastwerte der Einheitsschrittfunktion 22. Trage die Pole und Nullstellen des Filters B auf. Zeige die Antwortvektoren für 100 kHz, wenn das Abtastintervall 1 psec beträgt. an. 13. Tr a g e die Einhüllende der Antwort auf die Schrittfunktion des Filters A auf. 23. Trage die Pole und Nullstellen des Filters E auf und zeige die Antwortvektoren wie in der vorigen Aufgabe. 24. Erkläre, wie jedes Pol-Nullstellendiagramm nicht nur ein Filter, sondern 188 R e k u r s i v e digitale Systeme einen ganzen Satz von digitalen Filtern darstellt. Welche Parameter bestimmen jedes Element in dem Satz? Hinweis: Siehe Gleichung 9-46. 25. L e i t e einen allgemeinen Ausdruck für die Antwort jedes Filters bei w = 0 in Abhängigkeit der Filterkoeffizienten ab. Hinweis: Siehe Eigenschaft (a), Abschnitt 3. KAPITEL 10 Digitale und kontinuierliche Systeme 26. W i e heißt der Algorithmus für ein Filter, das eine Verstärkung von 64 bei w = 0 und Pole und Nullstellen wie in Bild 9-10 hat? 27. Skizziere Schaltbilder für Serien- und Parallel-Realisierungen der folgenden Funktion: 17/(z) ( z 2 - 2z - 3)/(z3 + 3z2 + 3z + 2). 28. G i b mit Hilfe der Zeilen 4 und F von Tabelle 9-2 die z-Transformation von f(t) = e- at sin ßt an. 29. L e i t e Zeile 3 von Tabelle 9-2 ab. 30. L e i t e mit Hilfe der Zeile C in Tabelle 9-2 die Zeile D ab. 31. Tr a g e die Gesamtamplitudenantwort von Bild 9-15 auf. 1. Einleitung Dieses Kapitel ist eine Fortsetzung der Diskussion über digitale Filter in den letzten zwei Kapiteln. Es soll jetzt vor allem die Leistung der entsprechenden digitalen und kontinuierlichen Systeme miteinander verglichen werden. Das lineare digitale System wird als eine Annäherung an ein kontinuierliches System mit der Übertragungsfunktion H(s) betrachtet. Neben diesem völlig selbständigen Ziel führt diese Betrachtung auch zu weiteren Einsichten in das Verhalten digitaler Systeme. 32. Vergleiche (a) die Impulsantwort des Filters B mit (b) der Impulsantwort des Filters B in der Konfiguration mit Phasenverschiebung Null. Ein einfaches lineares Näherungsschema, die sogenannte Näherung nullter Ordnung, wird in diesem Kapitel eingeführt. Sie ist eine Verallgemeinerung des Verfahrens 2 in Kapitel 8, Abschnitt 8. Einige Antworten Beginnen wir die Diskussion mit der Annahme, daß das digitale Filter zu dem Zweck entworfen werden soll, das lineare System in Bild 10-1 für ein beliebiges Eingangssignal f ( t ) anzunähern, d.h. für jede Eingangsfunktion mit endlicher Amplitude, deren Abtastwertesatz Um] in zeitlicher Abfolge geliefert wird. 2. H , ( 2 ) - z / (z - 0 . 2 ) , l i g ( z ) - 2 z / (z + 0 . 2 ) 4. RE(z) ( 2 2 + 2)/(22 - 0.2z + 0.05) 5. H(jw) 0.2,-0.314rao.)-1 6. neu fi(jr0) „ - Z a r x alt A(jca) II. g„, (5(0.224)"/T)1sin 1.11m + 0.224 sin 1.11(m + 1)1, m > 0 12. g . - 5 + (1/3)10.2" - 10(0.5)1 14. g o 0 , Zu - ( 1 / 3 ) . go - ( 2 . 2 / 3 ) . g „ , - ( 1 / 3 ) [ 0 . 2 „ - 1 + 2 ( 0 . 2 ) - - 1 + f(t) kontinuierliches l i n e a r e s system H(81 g(t) Bild 10-1. D a s anzunähernde System 3(0.2)--31, m > 2 16. g „ , 1 1 20. g . + + b + (a - 6 ) ( - o ) " l + 1) + + 0.2g.,, = -0.05g. Literaturhinweise Gold, 8.. und Rader, C. D i g i t a l Processing o f Signals. New Yo r k : McGraw-Rill, 1969. Kaiser, L V. : Digital Filters. I n System Analysis hy Digital Computer. 1. F. Kaiser und F. F. Kuo (Hrsg.). New Yo r k : Wiley. 1966. Kap. 7. Weit, J. V. : Digital Filters. I n Active Filters: Lumped. Distributed, Integrated, Digital, and «4::steParametrie, Kap. 5. L. P. Huclsman (Hrsg.). New Yo r k : McGraw•Hill, 1970. (Offensichtlich gibt es überhaupt kein Approximationsproblem, wenn das System „gelöst" und g(t) bestimmt werden kann.) In einer typischen digitalen Simulation, z.B. der eines Produktionsprozesses, eines Führungssystems oder eines Fahrzeuges, gibt es viele lineare Untersysteme wie in Bild 10-1, zudem noch nichtlineare Untersysteme und viele verschiedene Eingangs-Ausgangs-Variablen, die im obigen Sinne nicht vorhergesagt werden können. Die Begriffe des digitalen Filterns sind dann anwendbar, wenn die linearen Untersysteme in Abhängigkeit von Übertragungsfunktionen angegeben werden können oder wenn Frequenzcharakteristiken der Ausgangsvariablen gesucht werden. Die digitale Näherung oder die Simulation des Systems in Bild 10-1 soll für den Fall diskutiert werden, in dem H(s), ausgedrückt als Verhältnis von Polynomen Näherung nullter Ordnung oder impulsinvariante Näherung 1 9 0 D i g i t a l e und kontinuierliche Systeme in s, ein echter Bruch ist, dh. bei dem der Grad des Zählers kleiner als der des Nenners ist. In diesem Falle ist die inverse Transformierte h(t) definiert, und das Näherungsschema kann auf h(t) zurückgreifen. Die folgenden Abschnitte beschreiben zuerst die Näherung nullter Ordnung an H(s) und dann die verwandte Näherung nullter Ordnung an das Faltungsintegral. 2. Näherung nullter Ordnung oder impulsinvariante Näherung ( 1 0 - 1 ( 1 0 - ) 2 E ) wobei der Index 0 benutzt wird, um anzudeuten, daß A0(jw) eine Näherung nullter Ordnung an H(jw) ist. Den digitalen Wertesatz am Ausgang findet man natürlich aus der inversen DFT von ü d j w ) . Sie soll mit [gom ] bezeichnet werden, wieder, um die Näherung nullter Ordnung anzudeuten. Die kontinuierliche Einhüllende g0(t) ist wie früher auf Frequenzen unteren' begrenzt, und wenn F(jw) und H(jw) für w t r I T Null sind, dann ist g0(t) = g(t), und die Näherung ist exakt. (Dies ist jedoch bei praktischen Simulationen kaum der Fall - f(t) wird wahrscheinlich Sprünge aufweisen usw) 9 (10-3) wobei aon und bon die Koeffizienten von Ä0(z) und 1.3-0(z) sind. r ( 1 0 4 ) • so daß h(0) Unendlich würde, wenn H(s) nicht ein echtes Verhältnis von Polynomen wäre. Wenn 11(s) kein echter Bruch ist, kann man eine Partialbruchzerlegung vornehmen. Offensichtlich muß wegen Schritt 3 die Impulsantwort von 1-10(4 aus dem Abtastsatz von h(t) bestehen. Damit ist die Näherung nullter Ordnung auch impulsinvariant und stellt eine Verallgemeinerung derselben Methode dar, die in Kapitel 8, Abschnitt 8 für nichtrekursive Systeme beschrieben wurde. Beispiel H H : Man leite den Algorithmus der nullten Näherung ab, um H(s) = 1/(s + 1) anzunähern. Die folgenden Gleichungen sind das Ergebnis der obigen Schritte 1-4: 11(s) (10-5) s+ I h(t) (10-6) 14(:) o (ä1 ) (90-7) go. = Tf,,, + (10-8) Ao(z) 1 - e-Tz wobei Gleichung 104 das gewünschte Resultat wiedergibt. (Die z-Transformation steht in Zeile 151 des Anhangs A.) Wie bei jeder rationalen Funktion von jw verschwindet H(jco) nicht oberhalb einer endlichen Frequenz. Deshalb tritt in der DFT von h(t), wie in Bild 10-2 angedeutet, eine spektrale Überschneidung ein. Bild 10-2 veranschaulicht den Fall, daß 'VT = 10 rad sec- 1 , wobei die durchge- Um das oben Gesagte zusammenzufassen und etwas neu zu formulieren: Die folgenden Schritte sollte man tun, um eine Näherung nullter Ordnung an eine echte, rationale, kontinuierlidhe Übertragungsfunktion zu erhalten: 1. M a n beginnt mit der gewünschten Übertragungsfunktion 11(s). 2. h ( t ) wird aus einer Tabelle der Laplace-Transformation bestimmt. 3. M a n findet 110(z) = 60(z)/X0(z), die z-Transformierte von T h ( t ) , aus einer Tabelle der z-Transformation, um il-0(jco) = T 171(jw) zu berechnen (alternativ wird in Anhang A der Schritt 2 eliminiert, indem H0(z)/T direkt als Funktion von 11(s) angegeben wird). 4. D i e digitale Filterformel heißt dann 1 Wie vorher erwähnt, setzt der zweite Schritt ein endliches h(t) voraus, was wiederum bedeutet, daß 1-1(s) ein echter Bruch ist. Das Anfangswerttheorem [Truxal 1955, Kapitel I ] stellt fest, daß r o für das kontinuierliche System, die Tabelle 9-1 des vorigen Kapitels die Beziehung für die digitale Simulation her: äo(iw) k i w g i o ( S w ) - n.0 tim h(t) = tim sH(s) (Diese Art der Näherung wurde beschrieben vdn [Kaiser 1966] und von [Gold und Rader 1969].) H(jw) sei die gewünschte Übertragungsfunktion in Form einer Fourier-Transformierten. Da schon bekannt ist, daß die Übertragungsfunktion eines digitalen Filters eine DFT ist und da die DFT H(jw) als Näherung nullter Ordnung (siehe Kapitel 5, Abschnitt 2) an H(jw)/T bekannt ist, ist es offensichtlich möglich, eine Näherung nullter Ordnung an das System mit der Übertragungsfunktion 1-1(jw) zu erhalten, indem man einfach das digitale Filter heranzieht, das die Übertragungsfunktion T H(jw) besitzt. Dann gibt, gerade wie bei G(s) F ( s ) H ( s ) sen E 1 -20 - 1 5 - 1 0 - 5 0 5 1 0 15 2 0 11/1 10-2. Analoge (durchgezogen) und impulsinvariante (gestrichelt) digitale Impuls:int. wonen; N(s) = l / ( s + 1) und T = tr/ 10 Faltung 192 D i g i t a l e und kontinuierliche Systeme zogene Linie I1-lOw)I darstellt und die gestrichelte Linie Irlpürd, was man findet, wenn man den Betrag von Gleichung 10-7 nimmt und z = eiwT setzt. Hat man einmal die Filterformel wie in Gleichung 10-8 des obigen Beispiels abgeleitet, kann man die digitale Antwort auf eine Impuls- oder Schrittfunktion in geschlossener Form wie im vorigen Kapitel untersuchen. Beispiel 10-2: Man vergleiche die Impulsantworten der analogen und digitalen Filter in Beispiel 10-1. Die analoge Impulsantwort ist in Gleichung 10-6 gegeben, d.h. h(t) .inverse Transformierte von s + (10-9) Die digitale Impulsantwort (auf den Impuls l a bei m = 0) kann man wie in Abschnitt 4 von Kapitel 9 finden, d.h. o(z) T z g0„, i n v e r s e Transformierte von (10-10) t r. • • T und deshalb sind die Impulsantworten an den Abtastpunkten identisch. Beispiel 10-3: Man vergleiche die Schrittfunlctionsantworten der analogen und digitalen Filter in Beispiel 10-1. Die Laplace-Transformierte der Einheitsschrittfunktion u(t) ist I h , und damit wird in diesem Falle die analoge Antwort G(s) F ( s ) H ( s ) . 1 s(s + 1). (10-11) g(t) 1 ( 10-12) - 1..2 . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 • • 6 ( g0(toT); - 0.3 6 0 ( E ) : T — 0.2 1 9 3 Entsprechend ist die digitale Antwort mit Gleichung 10-7 und Zeile 101 im Anhang A (siehe auch im Anhang A die Zeilen H und 155): G0(z) - P(z)170(z) 1 - e T r 2 (z - 1)(r - e- r ) . O (10-13) T .". ga,„ T 1- e r (10-14) wie im Beispiel 9 4 des vorigen Kapitels. Im Bild 10-3 werden die analogen und digitalen Antworten für zwei Werte von T miteinander verglichen. Die Näherung nullter Ordnung [ k m ] nähert sich natürlich g(t) für verschwindendes T. (Um g(t) zu erhalten, setze man t für mT in Gleichung 10-14 und mache den Grenzübergang mit T gegen Null.) Es zeigt sich auch, daß der größte Fehler vermieden werden könnte, wenn man einfach die Gleichstromverstärkung von 1710(jw) verminderte. Der Grund für diese Beobachtung wird in Kapitel 11 diskutiert. 3. Faltung In Kapitel 7 wurde gezeigt., daß die DFT der Faltung zweier Abtastwertesätze das Produkt zweier individueller DFTs ist. Da die z-Transformierte eines Abtastwertesatzes gerade die DFT ist, in der z für eic‘r gesetzt wird, überrascht es nicht, daß diese selbe Beziehung auch für die z-Transformation gilt. In diesem Abschnitt wird die Antwort nullter Ordnung go, in Gleichung 10-3 als eine Näherung nullter Ordnung an das Faltungsintegral g(t) - f h ( r ) ( t - r ) d r (10-15) untersucht. Betrachten wir zu Anfang das Produkt irgendeines Paares von z-Transformierten F(z) und H(z): C(z) f ( z ) H ( z ) 0 ( E -'")( ...o 0.8 _ E L 0.6 I N - 0 (10-16) 0 Wöbe: die Summationen bei m = 0 und n = 0 beginnen, da fm und hm für m < 0 zu Null angenommen werden. Diese Formulierung von G(z) hat folgende Tenne: 0.4 0.2 Z(z) - (foho)z° + (fohl + Aholz-1 + (f0h2+ + 1 2 h 0 ) 2 - 2 + ( 1 0 - 1 7 ) 0 1 2 3 4 5 6 Bild 10-3. Schritafunk tionrantwOri nullter Ordnung: 11(s) = Ins + I) Durch induktives Schließen aus Gleichung 10-17 muß der Koeffizient von z- m lauten foh., + + .. .f.h0 Endwerttheoreme 1 9 4 D i g i t a l e und kontinuierliche Systeme 1 9 5 h(t) Dieser Koeffizient ist jedoch die inverse Transformierte von C(z), d.h. 1.0 B. - t nme E 8 (10-18) hak-. 1 0.5 • T 0 wobei sich die rechts stehende Form offensichtlich aus der Symmetrie von Gleichung 10-16 ergibt. Damit heißt die allgemeine Faltungsbeziehung für die z-Transformation aus den Gleichungen 10-16 und 10-18: • h ( r ) f ( 4 T- e ) I Integrand n • n t e g r u l l t l • 1 2 3 a e n r d r/T 4 Ordnung 1.0 h O f 4 (10-19) Z1E i m i ( z ) h f2 (1.5 h Das bedeu et, daß die z-Transformation einer Faltung gleich dem Produkt von aransformierten ist. In der Näherung nullter Ordnung ist r10(z) die z-Transformierte von T h(t), und somit ergibt die Gleichung 10-19 ▪ /T 0 1 2 3 4 • 1. 3 4 5 Bad 10-4. Faltungsintegnnden für das Beispiel 1 0 4 bei = 4T d0(z) — HO(z)P(z) und go.. T (10-20) E ..o als Transformationspaar. Deshalb erzeugt, wie oben schon festgestellt, die Heranziehung von H0(z) eine Näherung nullter Ordnung an das Faltungsintegral in Gleichung 10-15. Dieses Ergebnis bezieht sich natürlich sowohl auf nichtrekursive als auch auf rekursive Systeme. In Kapitel 8 wurde gezeigt, daß die Impulsantwort für nichtrekursive Systeme gleich [bm/T] ist, wobei [bm] den Satz von Koeffizienten in SM ( 1 0 - 2 1 ) a.0 bedeutet. Da im impulsinvarianten Fall bn/T gleich hn ist (Verfahren 2 in Tabelle 8-2, Kapitel 8), sind die Gleichungen 10-20 und 10-21 ersichtlich äquivalent. Beispiel 10-4: Man ermittle die Faltung nullter Ordnung für die Schrilltnflirtionsantwort bei H(s) = 1/(s+ I). Für dieses Beispiel ist f(t) gleich Eins für t > 0 und h(t) ist e—I wie in den vorigen Beispielen. Deshalb ist So- T :E: .40 ▪ T rare-53'(1) t —T e -Oma I/T —e r. gerade wie in Gleichung 10-14 des Beispiels 10-3. (10-22) (1043) HUI 10-4, das die Grundlage für die folgende Diskussion bildet, veranschaulicht Teile der Faltung bei t = 4 T mit den Funktionen von Beispiel 10-4. Die kontinuierliche Faltung wird in den ersten drei Zeichnungen des Bildes entwickelt, so daß die Fläche unter der linken unteren Kurve das Integral in Gleichung 10-15 darstellt, dh. die ‚gewünschte" Fläche, die durch eine digitale Rechnung angenähert werden soll. Die Näherung nullter Ordnung in Gleichung 10-20 ist rechts unten dargestellt. In dieser Darstellung kann man die Ursache des Fehlers in Bild 10-3 ersehen — die Fläche des diskreten Integranden geht sowohl nach oben als auch nach rechts über die Kurve des kontinuierlichen Integranden hinaus. Damit zeigt die Faltungsanalyse in Bild 10-4, daß die Näherung nullter Ordnung bzw. die impulsinvariante Näherung bezüglich der Genauigkeit etwas zu wünschen übrig läßt. Die Frage, wie man größere Genauigkeit erreicht, überlassen wir dem nächsten Kapitel, das die digitale Simulation behandelt. Im vorliegenden Kapitel liefert die Näherung nullter Ordnung wenigstens die Einsicht, daß es einen direkten Vergleich zwischen digitalen und kontinuierlichen Systemen gibt und daß man digitale Systeme mit Frequenzantwortfunktionen und Faltungen entwerfen kann, die ähnlich denen der kontinuierlichen Systeme sind. 4. Endwerttheoreme In der Analysis kontinuierlicher linearer Systeme kann rni- n, wenn der Endwert einer Systemantwort auf eine gegebene Antwort existiert, diesen Endwert finden, indem man t in dem Ausdruck für die Ausgangsfunktion g(t) gegen Unendlich gehen läßt. Oft kann man ihn bequemer mit der Transformierten G(s) mit folgenda Begründung finden (siehe [Truxal 1955), Kapitel I ) : Wenn g(t) einen konstanten Wert, z.B. K, erreicht, dann kann g(t) als Summe einer Schrittfunktion der Amplitude K und irgendeiner anderen abklingenden Funktion ausgedrückt werden, d.h. 196 D i g i t a l e und kontinuierliche Systeme P o l • N u l l s t e l l (10-24) g(t) K u ( t ) + gi(t)e-' e ( 1 0 - 2 5 (10-26) Natürlich gibt es ein ähnliches Theorem für digitale Systeme. Wieder nehme man an, daß gm für m größer als irgendeine ganze Zahl immer gleich K ist. Dann könnte man wie in Gleichung 10-24 schreiben + gisy'r ( 1 0 - 2 7 ) wobei dieselben Beschränkungen für g1 und a gelten. Nimmt man diesmal das Produkt (z-1) a(z), lautet das Ergebnis (siehe Anhang A, Zeilen G und 101): (z - 1)ö(z) - zK + (z - 1)ät(zer) ( 1 0 - 2 8 e r g l e i c h e 11111 ( 2 1 ) I z ) Wieder erhält man den Endwert K, indem man entweder in Gleichung 10-27 m C C oder in Gleichung 10-28 z 1 gehen läßt. Deshalb ist 1 9 7 T z - I z 7' I - e- T das Endwerttheorem für kontinuierliche Systeme. g„, K - ) Wenn t c = in Gleichung 10-24 oder wenn s -› 0 in Gleichung 10-25, ist in beiden Fällen das Ergebnis gleich K, dem Endwert von g(t). Deshalb ist lim g(t) l i m sG(s) v lim l i m (z - 11fr(z)1710(z) 1-1 Hierbei ist g1(t) endlich und a > 0. Mit dieser Darstellung von g(t) wird das Produkt von s mal G(s) (nach Anhang A, Zeilen G und 101): sG(s) r. IC + sG1(s + a) n (10-32) Man beachte, daß dieser Endwert sich der Eins nähert, wenn sich T der Null nähen, wie in Bild 10-3, und daß man ihn auch hätte erhalten können, indem man in Gleichung 10-14 m r at gehen läßt. 5. Pol-Nullstellenvergleiche Kehrt man zu dem allgemeinen Fall von Bild 10-1 zurück, d 1. der Näherung eines beliebigen linearen kontinuierlichen Systems, so ist es oft sehr nützlich, die Pole und Nullstellen von H(s) mit denen der Näherung zu vergleichen. Im vorhergehenden Kapitel wurden die Charakteristiken der Pole und Nullstellen der z-übertragungsfunktion H(z) diskutiert. Frequenzbereichs-Charakteristiken wurden mit Hilfe der Beziehung R(jw) - H(ehr) (10-33) abgeleitet. Wenn man s für jw einsetzt, wird die Gleichung 10-33 zu ll(s) - f i e ) ( 10-34) (10-29) ( O b g l e i c h R(s) im strengen Sinne keine DFT ist, wird der Querstrich beibehalten, zur Erinnerung daran, daß A(s) eine periodische Funktion von w ist.) Damit ist li(s) die „kontinuierliche Übertragungsfunktion" des digitalen Filters und kann das Endwerttheorem für digitale Systeme. mit H(s) verglichen werden. Beispiel 10-5: Man bestimme den Endwert der Schrittfunktionsantwort bei H(s) = Gemäß Gleichung 10-34 können die Pole und Nullstellen von H(z) aus der z-Ebene 1/(s+ 1). Gleichung 10-26 gibt sofort das Ergebnis: in die s-Ebene abgebildet werden mit der Transformationsvorschrift lim g„, l i m (z - 1)5(z) r- i z lim g(i) k m s£(s)H(s) g-41 I (-•1.0 irn = S (10-30) Beispiel 10-6: Man l e e r den Endwert der Schrittfunktionsantwort der Näherung nullter Ordnung bei 1-1(s) = 1/(s + I). Wie in Gleichung 10-7 ist die z-über- (10-35) Diese Transformation enthält einige der grundlegenden Eigenschaften digitaler Filter und anderer Abtastsysteme (siehe z.B. (Jury 19641) und sollte sorgfältig untersucht werden. Wir nehmen einen Punkt in der z-Ehene mit Polarkoordinaten (r, a n . Dann ergibt sich aus Gleichung 10.35 der entsprechende Punkt in der s-Ebene zu 1 1 s — log z — log reM*2"1; n = 0, 1, 2, . . . (10-36) tragungsfunktion Holz) r . z - ezWg. Deshalb gibt Gleichung 10-29 den Endwert: (10-31) - I log r + —(8 * 2nr); n 0 , I . 2. . . (10-37) Das heißt, daß ein einzelner Punkt in der z-Ebene in eine unendliche Zahl von Punkten in der s-Ebene umgewandelt wird. In anderen Worten: Für n = 0 wird der 1 9 8 D i g i t a l e und kontinuierliche Systeme Pol-Nullstellenvergleiche 1 9 9 unendliche Streifen in der s-Ebene, dessen Breite von s =MIT bis s = -jtr/T reicht, wegen Gleichung 10-35 in die ganze z-Ebene abgebildet. Man beachte, daß sich die linke und rechte Hälfte der s-Ebene jeweils in das Innere und Äußere des Kreises Izi = 1 abbilden, wie dies durch Punktieren in Bild 10-5 angedeutet ist. Eine Veranschaulichung von Gleichung 10-37 ist noch in Bild 10-6 gegeben. Man beachte, wie jeder der Punkte P1, P2 und P3 in der z-Ebene nach Gleichung 10-37 in ganze Sätze von Punkten in der s-Ebene abgebildet wird. Auch die Periodizität von H(s) ist durch das Abbilden in Bild 10-6 wieder sichtbar. Die Pole und Nullstellen von H(z) in der z-Ebene transformieren sich immer in ein sich wiederholendes Muster von Polen und Nullstellen in der s-Ebene. In den folgenden Beispielen werden Pole und Nullstellen abgebildet und für kontinuierliche Systeme erster und zweiter Ordnung miteinander verglichen. „Punkt" bei s = - 00 abgebildet wird. Wie schon diskutiert, beeinträchtigt diese Null die Amplitudenantwort nicht, sondern nur die Phasenverschiebung der digitalen Näherung. z -Ebene Abbildung s-Ebene y 1-1. L t L1. LA. A S B id.1 0-7. P o I-N ullsiellend lagramme für TH(z) = Tz/(z - c- T ) Beispiel 10-8: Gegeben ist eine Wurzelortkurve für die Näherung nullter Ordnung an A(s + R) 11(s) « 22 + Rs + 4 (10-38) -wir Bild 10-5. Abbildung von einer s-Ebene in eine z-Ebene e-Ebene Abbildung z -Ebene y log r 0P3 - 4-(er2nr) ir/z 03. 0 P 3 Die Wurzelortkurve ist, wie der Name sagt, eine Darstellung der Orte der Wurzeln (üblicherweise der Pole) der Übertragungsfunktionen, in diesem Beispiel in Abhängigkeit von dem sich ändernden Parameter R. Solch eine Darstellung wird gemacht, um die Wirkung des Koeffizienten (d 1. in diesem Fall von R ) auf die Verstäikung, die Schwingung usw. zu ermitteln. Wie üblich ist die Näherung nullter Ordnung an Gleichung 10-38 die z-Transformation von T h(t), und Zeile 201 von Anhang A ergibt damit I-10(z) direkt als He(z) 7 1 A \ { ( R - a)z ( b - R)zi b - a j z - e-ar z - e-br (10-39) 0 2 a,b } ( R ± R 1 - 1 6 ) o P3' Bild 10-6. Abbildung von einer z-Ebene in eine stbene Beispiel 10-7: Die kontinuierliche Übertragungsfunktion ist 1-1(s) = 1/(s + 1), daß Abtastintervall ist T = 0.3, und die Simulation nullter Ordnung mit HO(z) = T (z- e - T) wird wie in den Beispielen 10-1 und 10-2 benutzt. Die Pol-Nullstellendiagramme, diejnxesentliehen aus einem einzigen Pol bestehen, sind in Bild 10-7 gezeigt. Man beachte, daß der einzelne Pol bei = 0.74 in der z-Ebene e in den "gewünschten" Pol bei - 1 in der s-Ebenenabgebildet wird, aber auch die sich wiederholenden Pole von Re(s) außerhalb des „primären Streifens" - n / 0 3 bis +140.3 in der s-Ebene. Man beachte auch, daß die Null bei z = 0 io d Damit ergeben sich die Pole von 1-1(s) in der s-Ebene und von r10(z) in der z-Ebene wie folgt: Pole von H(s) in der s-Ebene: ( V Rs * - 16 R -+ i.2 Pole von H0(z) in der z-Ebene: 5,, z r - e t e r i n c i i n n i v i r c r b ( 1 0 - 4 0 ) (10-41) Die Wurzelortkurven für T = 0.2, die durch Variieren von R in den Gleichungen 10-40 und 1041 gewonnen wurden, sind in Bild 10-8 gezeigt. Man beachte, 200 D i g i t a l e und kontinuierliche Systeme Übungen 2 0 1 7. Ubungen z -Ebene s -Ebene 1. G i b die digitale Näherung nulltet Ordnung für die hier gezeigte Schaltung an. Ermittle eine Formel für gom und auch eine Filter-Schaltung (Hinweis: siehe Kapitel 3 bezüglich der Impedanzfunktionen). 6 2 -2 Einheit kreis 11‚.. et(1) ( E i n h e i t e n s i n d Ohm u n d F a r a d ) 2. Tr a g e die Antwort der obigen Schaltung auf den hier gezeigten Impuls f(t) auf. Dann zeichne mit T = 0.25 sec die digitale Antwort nullter Ordnung in derselben Darstellung ein. Bild 104. (Links) Wurzelortkunen für H(s) = Als R)/(s2 + Rs 4 ) und (rechts) ihre Näherungen nullter Ordnung. T = 0.2 daß die relativen Verstärkungsbeiträge der digitalen und kontinuierlichen Pole in ähnlicher Weise mit R variieren und daß in der Tat die Wurzelorte selbst ähnlich liegen. Man beachte ebenso, daß beide Systeme oszillierende Komponenten in ihren Antworten, z.B. auf einen Impuls am Eingang bekommen, wenn R kleiner als 4 wird, da an diesem Punkt die Pole beider Systeme die reelle Achse ver- 3. G i b die digitale Näherung nullter Ordnung der hier gezeigten Schaltung an. Ermittle eine Schaltung und auch eine Formel. Vergleiche das Resultat mit dem in Beispiel 10-8. 400 lassen. 6. Abschließende Bemerkungen Der Nachdruck in diesem Kapitel lag darauf, digitale und kontinuierliche Systeme miteinander zu vergleichen. Gewöhnlich haben wir mit der kontinuierlichen Übertragungsfunktion H(s) begonnen, als ob eine digitale Simulation eines kontinuierlichen Systems vorläge. Der Leser hat wahrscheinlich bemerkt, daß die digitale Übertragungsfunktion nullter Ordnung manchmal keine sehr genauen Näherungen ergibt, besonders tu größere Werte von T. Daher scheint die Näherung nullter Ordnung trotz ihrer Nützlichkeit für das Erkennen der grundsätzlichen Eigenschaften zwischen analogen und digitalen Systemen nicht genau genug in den meisten Fällen zu sein, in denen die digitale Simulation das oberste Ziel ist. Das nächste Kapitel hebt nachdrücklich dic digitale Simulation hervor und nimmt an, daß sie das Hauptziel ist. Verschiedene Verfahren für die Ableitung von H(z) werden eingeführt. Für Simulationszwecke werden die neuen Verfahren ersicht-1. lich Verbesserungen gegenüber der Näherung nullter Ordnung darstellen, wobei; eine größere Genauigkeit für dasselbe Abtastintervall erreicht wird. 4. L e i t e einen Algorithmus nullter Ordnung und eine Filterschaltung ab, wenn die gewünschte Übertragungsfunktion gleich H(s) = s/(s + a)2 ist. 5. Zeige die zu Aufgabe 2 gehörende Faltungsformel nullter Ordnung. 6. G i b eine Formel in geschlossener Form an für die Antwort nullter Ordnung in Aufgabe 1 auf eine Einheitsschrittfunktion, die gerade nach der Zeit t = 0 einsetzt. 7. G i b für das kontinuierliche System in Aufgabe 4 mit H(s)= s/(s + a)2 einen direkten Algorithmus nullter Ordnung in der Form von Gleichung 9-38 in Kapitel 9 an. 8. ( M i t Rechner) Skizziere und vergleiche mit T = 0.25 die Amplitudenantwor.1.• ten IHOLOI und Irlo(jc...01 in Aufgabe 3. 9. ( M i t Rechner) Skizziere und vergleiche mit T = 0.25 die analoge Antwort 2 0 2 D i g i t a l e und kontinuierliche Systeme und die digitale Antwort nullter Ordnung für Aufgabe 3 auf die Rampenfunktion, die in Aufgabe 2 benutzt wurde. 10. Berechne den Endwert der Näherung nullter Ordnung in Aufgabe 1, wenn das Eingangssignal eine Einheitsschrittfunktion ist und T = 0.25 beträgt. 11. Tr a g e die digitalen und analogen Pole und Nullstellen für Aufgabe 1 in der s-Ebene auf und benutze T = 0.25. 12. L e i t e mit T = 0.25 ein Pol-Nullstellendiagramm für Aufgabe 3 ab. 13. E r m i t t l e eine Wurzelortkurve wie in Beispiel 10-8, benutze dabei aber H(s) = 1/(s2 + Rs + 5). 14. Konstruiere Blockschaltbilder für die direkten und parallelen Formen der Näherung nullter Ordnung an H(s) = 2(s + 1)/(s2 + 8s + 15). 15. W i e heißt die Näherung nullter Ordnung für jedes H(s), das in Partialbrüche mit einfachen Polen zerlegt ist, d.h. N 11(s) = E A „.,s+^a. wenn die einzelnen Terme jeder für sich angenähert werden? Einige Antworten 1. g,,, - Tf., + 3. g . T f . , - ( c o s 2 T ) ( T f „ , _ , - 2g„._1) - e2rg.,_2 4. g„, = T[ f,„ - (1 + aT)e-auf11 + e-2erg.-2 taim..1» 5. g , , , r a . T2E n e n 7. g„,= Tb, + 4 _ 1 , 4 r_ - T ( I + aT)e-erf.+4,_,+2e-arg„,,x1= 10. 1.1302 15. H0(z) NAnnr 1z - e -dr Literaturhinweise Gold, 8 . . u n d Rader. C. D i g i t a l Processing o f Signals, Kap. 3. New Yo r k : McGraw-HM, 1969. Jury, E. T h c o r y and Application o f the z-Transform Method. New York: Wiley, 1964. Kaiser, J. F. : Digital Filters. Kap. 7 i n Sy.1em Analysis hy Digital Computer, von L F. Kaiser und F. F. K uo. New Yo r k : Wiley, 1966. Steiglitz, K . : T h e Equivalence o f Digital a n d A n a l o g Signal Processing. I n f o r m a t i o n arkl Control. Bd. 8. 1965,S. 455. Tou, L 7 ' . : D i g i t a l and Sampled-Data Control Systems. Kap. 5. N e w Yo r k : McGraw-Rill, 1959. Truxal, J. G.: Control System Synthesis. New Yo r k : McGraw-I WI, 1955. deutsch: E n t w u r f automatischer Regelsysteme. Wien und München: R. Oldenbourg, 1960. KAPITEL 11 Simulation kontinuierlicher Systeme 1. Einleitung Im vorigen Kapitel lag der Nachdruck auf dem Vergleich analoger und digitaler Systeme, so als ob der digitale Prozessor dazu benutzt werden sollte, das kontinuierliche System anzunähern oder zu simulieren. Dieses Ziel wird in dem vorliegenden Kapitel weiter verfolgt, hier liegt der Nachdruck jedoch auf dem Entwurf und der Genauigkeit verschiedener Simulationsmethoden. Wenn die gewünschte lineare Obertragungsfunktion H(s) selbst eine rationale Funktion von s ist, wie sie es für jede realisierbare lineare Übertragungsfunktion sein muß, liefern die hier beschriebenen Methoden einfache und genaue digitale Simulationen von H(s). Im allgemeinen kann durch Verkleinern des Abtastintervalls d e r Fehler in der Simulation im Intervall WI < ir/T so klein wie gewünscht gemacht werden, ohne daß die Simulation dabei ungebührlich komplex wird. Die digitale Simulation spielt in der modernen Systemanalyse eine wichtige Rolle. Sie wird benutzt, um komplizierte Systementwürfe mit dem Computer zu testen, so daß die Entwicklungskosten auf die Kosten der „software" beschränkt bleiben, bis der Entwurf vollständig ist. Einige traditionelle Beispiele sind Navigation-, Steuer- und Regelsysteme für Raumfahrzeuge; Kernreaktoren, Radar-Leitsysteme und Nachrichtensysteme. Die Simulation wird auch dazu benutzt, die Antwort existierender Systeme auf verschiedene Eingangssignale zu untersuchen. Beispiele sind die Simulation des städtischen Verkehrsflusses. uni den Einfluß des Bevölkerungswachstums zu studieren, die Simulation der Meeres-Strömungsmuster, um zukünftige Umweltverschmutzungsgefahren richtig abzuschätzen, die Simulation lebender Systeme usw. Die Liste der Beispiele enthält sicher mehrere Hinweise darauf, wie allgemein die digitale Simulation anwendbar ist. Wenn die Simulation mit Eingangssignalen, Ausgangssignalen und Übertragungsfunktionen arbeitet, ist der Signalanalysis-oder Frequenzbereichs-Ansatz anwendbar, und der Entwerfer der digitalen Simulation muß sich Gedanken darüber machen, eine genaue Näherung an eine idealisierte „reale Welt" zu programmieren. Die unten beschriebenen Methoden beziehen sich besonders auf diese Aufgabenstellung, aber sie sind auch nützlich dabei, eine Art allgemeiner Verbindung zwischen den linearen analogen und digitalen Systemen herzustellen. 2. Klassifizierung der Simulationsmethoden Eine digitale Simulation eines kontinuierlichen Systems hat es, so wie es hier dermiert ist, zunächst mit der Bildung einer Übertragungsfunktion H(z) zu tun, um 204 S i m u l a t i o n Klassifizierung der Simulationsmethoden k o n t i n u i e r l i c h e r Systeme 2 0 5 den linearen Anteil des Systems, der durch eine Funktion H(s) gegeben ist, darzustellen und zudem noch damit, irgendwelche Begrenzungen oder andere Nichtlinearitäten, die im analogen System existieren, in Rechnung zu stellen. (Nichtlinearitäten werden unten in Abschnitt 6 diskutiert.) man nur an diesen Punkten an der Genauigkeit der Simulation interessiert ist und nicht an einer kontinuierlichen Annäherung an g(t). Das diskrete Fehlermodell ist von etlichen Autoren benutzt worden. (siehe [Sage und Burt 1965, Greaves und Cadzow 1967, De Figueiredo und Netravali 1971 und Rosko 19721.) Die grundlegenden Übertragungsfunktionen, die der Leser jetzt alle kennt, sind in Bild 11-1 dargestellt. Zuerst gibt es die kontinuierliche Funktion H(s) mit dem Eingangssignal f(t) und dem Ausgangssignal g(t). Das Problem der digitalen Simulation besteht dann darin, die z-Transformation 11(z) in einer solchen Weise zu bestimmen, daß das digitale Ausgangssignal glin eine gute Darstellung von g(mT) an den Abtastpunkten ist. Die resultierende Übertragungsfunktion 171(jc..)) erhält man dann, indem man eiwT anstelle von z infl(z) setzt. Sie stellt die Frequenzantwort der digitalen Simulation dar. Man beachte, daß hier fl(jw) nicht notwendigerweise die DFT der inversen Transformation von H(s) ist. Die exakte Beziehung zwischen 171(jw) und 11(s) hängt von der Simulationsmethode ab, d.h. davon, wie H(z) von 11(s) abgeleitet wird. Nach Bild 11-2 sind der diskrete Fehler und seine DFT f(t) K o n t i n u i e r l i c I 1 1 ( s ) h g ( t ) en, - 8w - g„,; ( E(iw) - Ci(ito) - C(is) - P(frülrf(ico) - a(ito) 1 ( 1 - 1 1 1 - ) 2 ) Im diskreten Spektrum EGto) hängt der Fehler ersichtlich sowohl von F(jw) als auch von 171(jw) ah, d.h. davon, wie gut diese Funktionen ihr kontinuierliches Gegenstück repräsentieren. Da der Fehler vom Eingangssignal f(t) abhängt, der Simulationsentwurf jedoch nur Flau)) beeinflußt, scheint es vernünftig, die Simulationsmethoden im Hinblick auf die Eigenschaften von f(t) zu klassifizieren. Im besonderen werden die Simulationsmethoden wahrscheinlich voneinander abweichen, je nachdem, ob das Spektrum von f(t) in die eine oder andere von zwei großen Klassen fällt: Klasse 1: IF(jcii)l ist beträchtlich größer als Null für w > rrff ; Klasse 2: IF(jco)I ist vernachlässigbar klein für w > n/T. f(t) l ( t ) f(t) 1 ( t ) fal f e s u l Die Klassen werden durch die Darstellung in Bild 11-3 angedeutet Das Tiefpaßfilter im Bild schneidet bei w = tr/T ab, so daß keine spektralen Überschneidungen entstehen, wenn f(t) mit I /T Abtastwerten pro Sekunde abgetastet wird. Natürlich braucht das Tiefpaßfilter nicht zu existieren - das Bild soll nur betonen, daß f(t) in der Simulationsklasse 2 frequenzbegrenzt ist. Digital H(z) A D t i e r O e n t DU „ . g r ( t ) Klasse 1 Bild 11 - 1 . Ü b e r t r a g u n g s f u n k t i o n e n b e i d e r S i m u l a t i o n Das grundsätzliche Fehlermodell für die Beurteilung der Genauigkeit der digitalen Simulation ist in Bild 11-2 gezeigt. Es wird ein „diskretes" Fehlermodell genannt, da der Fehler em nur an den Abtastpunkten gemessen wird. Es setzt voraus, daß Klasse I I T — 1 Ti e f P a l Filter A D H(z) A D Büc111-3. Z w e i K l a s s e n d e r d i g i t a l e n S i m u l a t i o n f(t) B i l d 1 1 - 2 . D i s k r e t e s F e h l e r m o d e l l . das z e i g t w i e m a n d e n S i m u l a t i o n s f e h l e r e m e r h ä l t 0 In der ersten Klasse kann man nicht hoffen, eine vollständig befriedigende Allzweck-Simulation zu erhalten, da ja spektrale Überschneidungen vorhanden sind. Der Abtastprozeß erbringt dabei im wesentlichen nicht soviel Information über f(t), daß der Simulator fähig wäre, f(t) von anderen Funktionen zu unterscheiden, unabhängig davon, wie gut der Simulator ist Der im nächsten Abschnitt vorgenommene Ansatz geht deshalb davon aus, die Simulation für ein besonderes f(t) genau zu machen, um dann die Genauigkeit dieser Simulation für andere Eingangssignale zu untersuchen. Anregungsinvariante Simulationen 206 S i m u l a t i o n kontinuierlicher Systeme Für die Simulationen der Klasse 2, bei denen das Spektrum von f(t) auf Frequenzen unterhalb von ntF rad sec-1 begrenzt ist, kann man Simulationen beliebig hoher Genauigkeit erreichen. Das Problem besteht in diesem Fall darin, daß man Methoden findet, wie sich 171(jco) im Intervall 1(41 < rr/T der Funktion H(jt...t) so nähert, daß der Fehler in Gleichung 11-1 unabhängig von der exakten Form von f(t) gegen Null geht. Nach dem folgenden Abschnitt werden Methoden diskutiert, wie dies ausgeführt werden kann. 3. Anregungsinvariante Simulationen Diese Simulationen finden allgemein in jeder der oben beschriebenen Klassen Anwendung. Sie sind für spezielle Eingangssignale fehlerfrei und für andere mehr oder weniger genau, was davon abhängt, wie sehr diese anderen von der ausgewählten Funktion abweichen. Sie werden hier zuerst diskutiert, weil eine von ihnen, die impulsinvariante Methode (nullter Ordnung) schon in den Kapiteln 8 und 10 diskutiert worden ist. Das Verfahren zur Verallgemeinerung der impulsinvarianten Methode und damit zur Ableitung von Simulationen, die für andere Funktionen I(t) invariant sind, kann man wie folgt zusammenfassen (.C-1 bedeutet "inverse Laplace-Transformierte von" und Z bedeutet „z-Transformierte von"): gerade wie in Kapitel 10. Diese Simulation ist wiederum impulsinvariant in dem Sinne, daß dann, wenn f(t) ein Einheitsimpuls ist, das Ausgangssignal T + e-na Beispiel 11-2: Man entwickle die schrittinvariante Simulation von H(s) = 1/(s+ 1). Die sechs obigen Schritte liefern das folgende Ergebnis für das Beispiel (In diesem ganzen Kapitel soll die Einheitsschrittfunktion u(t) bei t = 0 - einsetzen, so daß die Abtastung bei t = elen Wert u0 = 1 ergibt): H(s) 1(s) - s-I 7 ( z ) "Az) - z I t> 0 e ` , z z - e -r - tr: z- • ( I 1 5 ) Hierzu lautet die Berechnungsformel - (1 - 5. i h r e z-Transformierte ist d(z)= Z ).C- 1 [H(s)1(s)) # . 6. D i e invariante digitale Simulation lautet dann + ( I I -6) die sich auf 1 - e- mT reduziert, wenn f(t) ein Einheitsschritt ist. rl(z) = G(z)/t(z)= Z [ H ( s ) 1 ( s ) ] Da G(z) durch Definition die z-Transformierte von g(t) ist, kann man aus Bild 11-1 sehen, daß im und gm gleich sind und daß in Bild 11-2 em = 0 gilt. Die Simulation ist vollkommen genau, wenn das Eingangssignal f(t) = i(t) ist. Diese Schritte werden in den folgenden Beispielen veranschaulicht, in denen impuls- und schrittinvariante Simulationen für 1-1(s) = 1/(s + 1) entwickelt werden. (Statt von impulsinvariant müßte man genau genommen von nadelimpulsinvariant sprechen.) Beispiel 11-1: Man entwickle die impulsinvariante Simulation von H(s)= 1/(s+ 1). Das Ergebnis sollte dasselbe wie in Kapitel 10 sein. In diesem Fall ist i(t) = 8(t) und 1(s) = 1. Die im obigen Schritt 3 erforderliche z-Transforrnierte 1(z) ist die z-Transformation der digitalen Impulsfunktion, d.h. 1/T. Schritt 4 ergibt g(t) = e-1 und Schritt 5 ergibt G(z) = z/(z - e-T). Deshalb ergibt Schritt 6 Tz z - z- I g(1) - . C - 1 { 1s(s+ IJI H(z) I 4. D i e kontinuierliche Ausgangsfunktion ist dann g(t) = .C-1 (H(s)1(s)]. /1(z) s+ I i(t) - u(t) = Einheitsschritt r - 0 - 1. M a n bestimme die gewünschte Übertragungsfunktion 14(s). 3. M a n finde die Transformierten von i(t) : 1(s) und r(z). (114) gleich gm, dem Abtastwert von g(t) bei t = mT ist. z- I 2. M a n wähle die Eingangsfunktion i(t), die invariant sein soll. 2 0 7 (11-3) Damit erweist sich die imOillietariante Simulation als vollkommen genau, wenn die Eingangsfunktion f(t) eine Impulsfunktion ist, die schrittinvariante Simulation ist vollkommen, wenn f(t) eine Schrittfunktion ist, usw. Wenn nun diese Fonnen nur für arte spezifizierten Eingangssignale genau wären, würden sie von einem ziemlich begrenzten praktischen Interesse sein. Jedoch kann durch lineare Überlagerung gezeigt werden, daß auch eine eingangsinvariante Simulation, die sich für irgendeine beliebige lineare Kombination von spezifizierten Eingangsfunktionen ergibt, den Fehler Null hat. Man betrachte zum Beispiel das diskrete Fehlermodell in Bild 11-4, in dem der Fehler er'„ immer gleich Null ist. Hier ist das Eingangssignal für H(s) gleich PPM, der Halteversion nullter Ordnung von f(t). Das Bild veranschaulicht das folgende Theorem: Haltetheorem nullter Ordnung: Wenn H(s) eine beliebige lineare übertralungsfunktion ist und AnregungsinvarianteSimulationen 2 0 9 208 S i m u l a t i o n kontinuierlicher Systeme und die dritte Zeile folgt aus Gleichung 11-7. Das schließliche Ergebnis G•(z) = G'(z) beweist das Theorem, d.h. daß in Bild 114 ert = 0 ist. - ° Ein ähnliches Ergebnis kann man für den Haltevorgang erster Ordnung erhalten, indem man die Schrittinvariante H(z) durch die Rampeninvariante H(z) ersetzt. Das diskrete Fehlermodell ist in Bild 11-5 gezeigt. Wieder ist der Fehler gleich N u l l , vorausgesetzt, daß diesmal das H(z) zugeführte Eingangssignal die Halteversion erster Ordnung für f(t) ist, d.h. eine Folge gerader Linien, welche die Abtastpunkte miteinander verbinden. Das Haltetheorem erster Ordnung, das Bild 11-5 entspricht, lautet wie folgt: Bild I I -4. Diskretes Fehlermodel für die schrittinvariante Simulation, die den Fehler Null ergibt. wenn H(s) die Näherung nullter Ordnungvon f(t) zugeführt wird Haltetheorem erster Ordnung: Wenn H(s) eine beliebige lineare Übertragungsfunktion ist und 1-1(z) - z ; l z k i [ei} (11.7) (z - 1)2 { _,[11(1) Tz d a n n ist ii(z) eine exakte Simulation von H(s) für jedes Eingangssignal f t ) , das aus geraden Linien zwischen den Abtastpunkten konstruiert wird. dann ist H(z) eine exakte Simulation von H(s) für jedes Eingangssignal M t ) , das aus Schritten konstruiert ist, die an den Abtastpunkten auftreten. Der Beweis dieses Theorems ist nur eine Verallgemeinerung der Feststellung, die auf die obigen Schritte 1-6 folgte. Zuerst wollen wir fs(t) als Überlagerung von Schrittfunktionen ausdrücken: e: - 0 1.'(r) - Au(f) + f ..1 - I.-1)uft - Inn (11-8) Dann muß die Laplace-Transforrnation von 8-(0 lauten 6*(s) H ( s ) e ( s ) 1 . H(s) — (to + ( 1 « . - f..-1)e-wr) (11-9) Hier bedeutet e-msT eine Verzögerung von mT sec, und somit muß die z-Transformation von g(t) sein (2) - Z I . • M i l � t o + 2 , (f. -I.-1):-1") - z ( r ( z ) - z t Az)) Ar(z) - Clz) Die zweite i n Gl.ziehung I 1-10 (tilgt aus der Definition der z-Transformation Bild I I-5. Diskretes Fehlermodel für dierampeninva iante Simulation, die den Fehler Null ergibt,wenn H(s) die Näherungerster Ordnungvon it ) zugeführt wird Hier ist H(z) natürlich die rampeninvariante Simulation von I-1(s), die wieder wie in den Schritten 1 - 6 zu Beginn dieses Abschnitts konstruiert wird. Das Haltetheorem erster Ordnung kann wie in den obigen Gleichungen 11-8 bis 11-10 bewiesen werden, mit der Ausnahme, daß N O jetzt geschrieben werden muß als eine Überlagerung von Rampenfunktionen anstatt von Schrittfunktionen. Lehrreicher ist es vielleicht, das Theorem durch Anwendung der obigen Schritte 1 - 6 zu beweisen, wenn i(t) eine verallgemeinerte Rampenfunktion ist: i(t) - ( i - mr)u(t - mT) ( 1 1 - 1 2 ) d.h. eine Rampe mit der Steigung A, die zur Zeit t = mT beginnt. Die LaplaceTransformation ist dafür 1(s) Ae-mr Jr AnregungsinvarianteSimulationen 2 1 1 210 S i m u l a t i o n kontinuierlicher Systeme Eingangssignal A u s g a n g s s i g n a l 0.8 und die z-Transformation i(z) A Tz z.(z - 1)2 0.6 In l(s) ist A ein konstanter Faktor und e -m sT stellt eine Verzögerung von m Abtastpunkten dar. Infolgedessen wird die z-Transformation im obigen Schritt 5 0. 4 [Ae -""T H (All L(z) - Z 1.0 -1 32 8= 0.2 0 lr Ära Z f r i g(t)-t2s-r 2 4 6 8 to 0 2 4 6 8 Bild 11-6. Eingangs-undAusgangssignalevun H(s) = s 1 und ihre Simulation erster Ordnung mit f(t) = 2te-t und T = 0.6 Deshalb ergibt der obige Schritt 6 17(r) - t(z)/T(z) (z 1 ) 2 z t u , [H(s)i} Tz s 2 was identisch ist mit der Formel für rl(z) in dem Theorem, Gleichung 11-11. Dieses Resultat beweist in der Tat das Theorem, da es zeigt, daß die rampeninvariante Simulation unabhängig ist sowohl von A, der Steigung der Rampenfunktion in Gleichung 11-12, als auch von m, dem Anfangspunkt. Deshalb muß die Simulation exakt sein für jede lineare Kombination dieser Funktionen, d.h. für N i ) des Theorems. Beispiel 11-3: Man linde die rampeninvariante Simulation von H(s) = 1/(s+ I ) und zeichne ihre Antwort auf die Funktion f(t) = 2 t e- I . Entsprechend dem obigen Theorem findet man H(z) wie folgt: H(z) ( z -Tz1)2 + 1 5 2 ( 5 1 + 1)}} - (z 1 ) 2 Tz + e-'1 (1 _ e- r ) , (z [ Tz Tz ( z - 1)2 ( z - 1)(z - er)} (T - 1 + e-T)z - Te-T + 1 - e- r punkten zusammengesetzt. Rechts stehen g(t) und der Abtastwertesatz [gm] aus Gleichung 11-18, wobei (8.1 natürlich [ 4 1 in Bild 11-1 entspricht. In diesem Fall stellt [4,1 sowohl (1.) das Ausgangssignal von H(z) mit den Eingangssignalen [im] als auch (2.) die Abtastwerte des Ausgangssignals von H(s) mit dem Eingangssignal fi(t) dar. Die invarianten Simulationen sind beschrieben worden von Jury (1964) und von Rosko (1972), der auch Anwendungsbeispiele angibt. Sie sind nützlich, wenn f(t) nicht frequenzbegrenzt ist (d h. bei Simulationen der Klasse 1), da sie einen Hinweis auf den Fehler liefern, der sich daraus ergibt, wie gut f(t) durch (*(t) dargestellt wird. Wenn diese Darstellung wie z.B. in Bild 11-6 gut ist, kann man üblicherweise von der Simulation befriedigende Ergebnisse erwarten. In der Tat kann die Genauigkeit der Simulation für fs(t) dazu benutzt werden, eine Schranke für den Ausgangsfehler, der aus der Differenz zwischen f(t) und 1-*(t) herrührt, aufzustellen. Das diskrete Fehlerrhodell In'rlieses Vorgehen ist in Bild 11-7 zu sehen. Hier ist wie in Bild 11-2 der Fehler gleich em anstatt gleich wie in den Bildern 114 und 11-5. Wie oben festgestellt, rührt en, vollkommen von der Diskrepanz zwischen f(t) und fs(t) her. Aus dem Bild entnimmt man die Einhüllende e(t) ersichtlich zu e(t) g-1111(s)IF*(s) - F(s)11 I 1 (s)E,(s)1 (11-17) T(z - und das Faltungstheorem ergibt em, die Abtastwerte von e(t) zu den Zeiten t =mT Die der Gleichung 11-17 entsprechende Rechenformel ist g. 7 RT - 1 + e-r)f„, - ( Te r - I + e r g . - 2 (1149 Die Wirkung dieser Formel wird in Bild 11-6 mit T = 0.6 dargestellt. Links st f(t) und M t ) , und ersichtlich ist f"(t) aus geraden Linien zwischen den Abtast e . f m r h(T)e(t/T - r)dr (11-20) Jetzt kann für den Betrag von em eine obere Schranke errichtet werden, indem man nur eimax als maximale Amplitude von ell.°, d.h. als maximale Diskrepanz Andere Simulationen 2 1 2 S i m u l a t i o n kontinuierlicher Systeme f(t) H a l t e I- • f (t) kreis - i a(a) (betragsmäßig) zwischen f(t) und f+(t) zuläßt. Aus Gleichung 11-20 wird diese obere Schranke zu -T I h(r) I dr; n 5 m wobei der Index von em zu n verändert wurde, um zu betonen, daß die Schranken nur im Zeitintervall von t = 0 bis t = mT gelten. Eine absolute obere Schranke für den Fehler der invarianten Simulation findet man, indem man rn in Gleichung 11-21 unbeschränkt wachsen läßt. Das Ergebnis ist I e.l 5 eigen _ I - l h(r)i dr; 0 < m < oo 1 3 sultierende Übertragungsfunktion rl(jw) im Intervall WI < co/T anzupassen. Dies ist ein vernünftiges Ziel, wenn f(t) oberhalb von w = rr/T einen vemachlässigbaren Inhalt hat. Wenn das Ziel erreicht werden kann, dann wird die Simulation in dem Sinne genau sein, daß gia, i n Bild 11-1 einen genauen Abtastwert von g(t) darstellt. Bild 11-7. Vollständiges diskretes Fehlermodelfür invariante Simulationen, das zeigt, daß der Ausgangsfehler em sich ergibt, nachdem der Eingangsfehler ei(t) durch H(s) hindurchgelaufen ist I e .1 5 esna fo 2 ( 1 1 - 2 2 ) Diese letztere Schranke ist nützlich unter der Voraussetzung, daß die kontinuierliche Impulsantwort h(t) eine endliche Energie hat. Man beachte, daß die Schranke direkt proportional zu dem maximalen Eingangsfehler eimax ist und deshalb gewöhnlich so klein wie gewünscht gemacht werden kann, indem man den Zeitschritt T und damit den Unterschied zwischen 1(t) und f*(t) verringert. Fehlergrenzen für Systeme erster und zweiter Ordnung findet man in den Übungen am Ende dieses Kapitels (siehe die Aufgaben 23-25). Abschließend läßt sich sagen, daß die in diesem Kapitel beschriebenen invarianten Simulationen leicht zu gewinnen sind und sowohl für die Simulationen der Klasse 1 wie auch für die der Klasse 2 nützlich sind. Sie erfordern nicht, daß f(t) frequenzbegrenzt ist, und der Simulationsfehler kann in Abhängigkeit der Diskrepanz zwischen f(t) und seiner „Halte"-Version fs(t) abgeschätzt werden. 4. A n d e r e S i m u l a t i o n e n Zwei andere einfache Simulationsmethoden werden in diesdrAbschnitt beschrieben. Eine ist eine angepaßte Version der Näherung nullter Ordnung bzw. der impulsinvarianten Näherung und die andere ist eine Substitutionsmethode, in der man 11(z) erhält, indem man eine Funktion von z für s in 1-1(s) einsetzt. Beide Methoden sind am leichtesten zu diskutieren und zu analysieren, wenn sie auf Simulationen der Klasse 2 angewandt werden. Dann ist es, wie in Abschnitt 1 beschrie ben, eines der Ziele, die kontinuierliche Übertragungsfunktion H a ) ) an die to- Die einfachste Näherung für H(s) ist die Näherung nullter Ordnung bzw. impulsinvariante Näherung 110(z), die schon in Kapitel 10 und wieder im vorangegangenen Kapitel diskutiert worden ist. Ein Beispiel in Kapitel 10 zeigte, daß wenigstens für H(s) = 1/(s + 1) die Differenz zwischen Ro(jce) und H(jco) wesentlich verkleinert werden könnte, wenn 110(z) einfach mit einer Konstanten multipliziert würde. Dieser Ansatz, bei dem man die angepaßte impulsinvariante Näherung 171A(z) durch Maßstabsänderung von H0(z) erhält, ist von Fowler (1965) vorgeschlagen worden. Den konstanten Skalierungsfaktor erhält man, indem man 110(z) so anpaßt, daß sein Endwert mit dem von 1-1(s) für eine Schrittfunktionsanregung übereinstimmt. Wenn die Anregung ein Schritt ist, ergibt das Endwerttheorem (Kapitel 10, Abschnitt 4) Endwert (kontinuierlich) - tim 11(s) ( 1 1 - 2 3 ) Endwert (digital) - hm 1-10(z) ( 1 1 - 2 4 ) Nimmt man an, daß diese Grenzwerte endlich und von Null verschieden sind, folgt der Skalierungsfaktor durch ihr Verhältnis, und die Formel für die angepaßte Simulation erster Ordnung lautet 11.4(r) r i o ( z ) flott) (11-25) Mit dieser skalierten Version von H0(z) wird die Simulation den korrekten Endwert haben, der sich für eine Schrittanregung oder jedes andere Eingangssignal ergibt, das auf einen konstanten Endwert hinläuft. Mit anderen Worten: Die Gleichstromantwort der Simulation ist exakt, und HA GO) = H(j0). Aus diesem Grund nennt man auch HA(z) die „gleichstromangepaßte" Simulation nullter Ordnung. Wenn der Grenzwert in Gleichung 11-23 oder 11-24 entweder Null oder Unendlich ist, kann man 110(z) so anpassen, daß er die korrekte Endwertantwort auf eine andere Anregung, wie z.B. einen Impuls oder eine Rampe, aufweist. Jedoch ist es in diesen Fällen oft am besten, sich einer der anderen Simulationsmethoden zuzuwenden. Das folgende Beispiel veranschaulicht einen Fall, in dem 110(z)gleichstromangepaßt werden kann. Beispiel 11-4: Man finde die gleichstromangepaßte Simulation nullter Ordnung von H(s) = 1/(s + I). Die Näherung nullter Ordnung (Gleichung I I.3) ist h1o(z) T z z- (11-26) Andere Simulationen 2 1 5 214 S i m u l a t i o n kontinuierlicher Systeme und deshalb ergibt sich mit Gleichung 11-25 die angepaßte Simulation H A ( z ) 7 i ( 1 - e-r)z - e r ) ( z - e-r) z - e ' r (11-27) Bild 11-8 gibt für dieses Beispiel die Amplitudenverstärkung wieder, ebenso die analogen und digitalen Antworten auf f(t) = 1 - e- t . Wählt man T = 0.4 sec, d.h. eine Nyquist-Frequenz von rr/T = 2.5 zr, so wird F(jw) = 1/jw(I + jw) jenseits dieser Frequenz klein, obwohl H(jw) es dort nicht ist, und damit kann man das Beispiel in die Klasse 2 einordnen. Bild 11-8 sollte man mit Bild 10-2 in Kapitel 2 vergleichen. 1 Amplitudenverstärkung 1 d e Von größerem Interesse ist jedoch die Abbildung der jw-Achse, die man durch die bilineare Substitution erhält. In Gleichung 11-28 wird ein Punkt z = eit0T auf m Einheitskreis der z-Ebene in einen Punkt jw' in der s-Ebene wie folgt transformiert: _Ad A e)'T - w 2 eh' + I r ( I 1-29) tanjA Wenn die Simulation von H(s) gemäß Gleichung 11-28 durchgeführt wird, erhält man ; ( I 1-30) wobei der Index 13 die bilineare Simulation bezeichnet. Dann hat wegen Gleichung 11-29 die Simulation die folgende Frequenzantwort: Ausgangssignal He(jw) H ( j & ) H Q A t a e ) A(r) • li,(.14.) I (1-8-1.)E. + e - T g r i 1110'41 0 0 • tr 0 0 t 2 4 6 Bdd 11-8. (Links) Amplitudenantworten für angepaßteSimulation nullter Ordnung von H(s) = 1/(s + 1). (Rechts)Analogeund digitale Antworten auf f(t) = 1 - e-l;T = 0.4 Die zweite einfache Näherungsmethode ist die Substitutionsmethode, bei der eine Funktion von z für s in H(s) eingesetzt wird, um H(z) zu erhalten. Die einzige bekannte, allgemein bei digitalen Näherungen benutzte Form ist die „bilineare Substitution" [Gibson 1963], [Kaiser 1966], [Gold und Rader 1969]: s z+ I ( 1 1 - 3 1 ) 1 - (1+t)a-t (11-28) Hier ist A eine Konstante. Diese bilineare Form hat für die digitale Simulation einige interessante Eigenschaften. Sie ist rational, so daß auch 11(z) rational sein muß, wenn H(s) eine rationale Funktion ist. Sie hat auch die Eigenschaft, das Innere des Einheitskreises in der z-Ebene auf den ersten Streifen in der linken Hälfte der s-Ebene abzubilden, eine Eigenschaft, die sie mit s = ( I M log z (siehe Kapitel 10, Gleichungen 10-35 und 10-36) gemeinsam hat. In der Tat ergibt Gleichung 11-28 mit A = 2/taintrolie Annäherung an (I /T) log z, die ganz grob die Gültigkeit der bilinearen e r k l ä r t : Die Pole und Nullstellen von 11(s) im ersten Streifen sind grob dilfrAlgen von 11(s) im ersten Streifen (die b Substitution mit A = 2/T nennt man nach A. Tustin die „Tustinsche Näherung'. An diesem Ergebnis kann man zuerst sehen, daß AB(jw) und H(jw) bei w = 0 gleich sind, d.h. hier benötigt man keine Gleichstromanpassung. Ferner ist AB(jw) bei to = r/T gleich H(jw) bei w = co, so daß in der Tat H(jw) für 0 m).a..-.4. Bild 11-18. Das zu simulierende nichtlineare System mit geschlossener Schleife Rechteck g, . 0: i f (f.> M). g. » I 0 Logarithmus 0 Kehrwert i. y L g_ l o2 g„ - log f,,,; I . > 0 g. - I/ f.; . 4 . 0 0 - - - - \ " 4 : 7 Quadrat 1----it....— g2-1,-1 kann man einige oder auch sämtliche der folgenden Schritte ausführen, um ein lineares System mit geschlossener Schleife zu simulieren: I. M a n ersetzt die nichtlinearen Elemente vorübergehend durch nominelle Verstärkungsfunkt ionen. Man simuliert unter Berücksichtigung der bekannten Eigenschaften von f(t) jeden Block in dem Blockschaltbild durch Verwendung einer der in Abschnitt 3 oder 4 dieses Kapitels gezeigten Methoden. 1. 3. M i n fügt dann und nur dann eine Einheitsverzögerung in die geschlossene Schleife ein, wenn es nötig ist, die Simulation der geschlossenen Schleife realisierbar zu machen. f 4. M a n addiert, wenn möglich, eine konstante Verstärkung innerhalb der ge-i schlossenen Schleife, damit man die resultierenden Pole der geschlossenen' Schleife m i t denen einer Simulation der geschlossenen Schleife 1-1(s) in: Übereinstimmung bringen kann. 5. A m Eingang fügt man einen Block hinzu, um das resultierende H(z) zu .• Das Blockschaltbild in Bild 11-18 werde jetzt als Beispiel genommen. In der Schaltung stellt 111(5) eine Einrichtung dar, deren Ausgangssignal y(t) in der Weise begrenzt wird, daß der Betrag von g(t) die Eins nicht übersteigen kann. Der Integrator H2(s) im Rückkopplungsweg läßt g(t) als Ergebnis einer Impulsanregung schwingen und bewirkt, daß für eine konstante Anregung der Endwert Null erreicht wird, wie man an der Form der resultierenden (linearen) Funktion 11(s) für kleine Signale erkennen kann: H(s) - H 1 ( s ) 1 + Hi(s)liz(s) ( s + + (11.53) 9 Der oben erwähnte Schritt 1 wird in diesem Beispiel einfach dadurch ausgeführt, daß man dem Begrenzer die Verstärkung Eins gibt, d.h. indem man das System wie in Gleichung 11-53 für kleine Signale modelliert. Für Schritt 2 wollen wir zum Beispiel annehmen, daß die schrittinvariante Form gewählt wird. Dann sind die individuellen Blockmodelle fit(z.) - z z fe { I 11 I 2 7 . S(3. + 2 ) 1 2 ( z - e-2T) (11-54) was mit Ausnahme einer Konstanten mit G eichung 1149 übereinstimme, und 112(z) - z- I _ i z Z [1011 1 0 7 ' z (11-55) Das Ergebnis nach Schritt 2 ist in Bild 11-19 gezeigt. Das schrittinvariante Modell des Integrators hat eine Eigenschaft, die in Simulationen mit geschlossenen Schleifen oft sehr nützlich ist, nämlich, daß es mehr Pole als Nullstellen gibt. Damit gilt im Rückkopplungsteil von Bild 11-19 x. - + „,_ 1 (11-56) 2 2 6 S i m u l a t i o n kontinuierlicher Systeme Mehrfache und nichtlineare Systeme 227 ( ) if3(z) 1_-2T Begrenzun gm 2(z-e- 2 T ) ±1 (Gl. 11 - 6 0 ) xm und die Simulation ist ohne den obigen Schritt 3 realisierbar, da der gegenwärtige Wert xm (und deshalb em) in Abhängigkeit der vergangenen Werte der Schleifenvariablen berechnet werden kann (ein Gegenbeispiel wird unten angegeben). In Schritt 4 ergibt sich als nächstes das schrittinvariante Modell der resultierenden Funktion 11(s) X(z) z - ' z triri(t.)11 z- 1 • Z 4 m 10T z-1 2-1 Bild 11-19. Teilweise durchgeführte Simulation a n Bild 11-18 nach Schritt 2, wobei schrittinvariante Blöcke benutzt werden • 1 t's - «2e- T Ein 3T1/3(I - r-27.))1.4. - 0 + 1 ' 2 5 f . - 1 + ((e-2T + STO - t r 2 T ) ) 1 . _ 2 1 + 2e- T us, _ i m 1 T- r - 2 T v. _ 2 10T1._ 1 + _ 1 cm • 14 - r . es, • ((I - e-27)/2)e,,,_1 + er2T SIGNIAMINI (ABS( v..). I ) . y . ) Bild 11-20. Vollständige schrittinvariante Simulation von Bild 11-18 m i t schrittinvarianten Blöcken 1)3(z) + ifj(z(z) 2 e - r s i n 3 T z 2 / - ( I + e-21.)2 + t - 2 r + 5 T ( 1 - e - 2 7 ) I ( s + 1)2 + 91} 3(1 - e - 2 r ) e r ( z - ) s i n 3T 3 ( ▪ z2 - 2ze-rcos 3T + e n . ) (11-57) während der Nenner der resultierenden Übertragungsfunktion des teilweise vervollständigten Modells in Bild 11-19 mit einer konstanten Verstärkung IC irgendwo in der geschlossenen Schleife lautet Nenner - 2 - (1 + e-27.)z + 5KT(l - en") + e n . ( 11-58) Offensichtlich kann kein Wert von K die Wurzeln der Gleichung 11-58 mit denen des Zählers von H(z) i n Gleichung 11-57 i n Übereinstimmung bringen, und Schritt 4 ist in diesem Fall nicht möglich (auch hier wird weiter unten noch ein Gegenbeispiel angegeben). Um Schritt 5 durchzuführen, wird in Bild 11-19 ein Eingangsblock 1:13(z) hinzugefügt, um die resultierende übertatunisfunktion schrittinvariant zu machen, d.h. gleich 1-1(z) in Gleichung 11-57. Damit ergibt sich wie in Bild 11-20 n3(z)/14) r / ( 2 ) i n Gleichung 11-57 1 + /)i(z)y2(z) und wenn man nach i -13(z) auflöst ( 1 1 - 5 9 ) z 2 - 2 e - T z cos 3 T + e - 2 7 ( 1 1 - 6 0 ) Schließlich wird Schritt 6 durchgeführt, indem man den Begrenzer wieder in das digitale Modell einsetzt. Die vollständige schrittinvariante Simulation ist mit den zugehörigen Rechenalgorithmen in Bild 11-20 gezeigt. Die Simulation in Bild 11-20 kann ersichtlich realisiert werden, wenn die Berechnungen in der angegebenen Reihenfolge durchgeführt werden. Die Formel für gin in diesem Bild ist der FORTRAN-Ausdruck für gm als begrenzte Version von ym. Bevor wir jetzt mit Hilfe von Bild 11-20 an eine Abtastsimulation gehen, ist es lehrreich, die schrittinvariante Simulation mit einer anderen Blockauswahl in Schritt 2 noch einmal aufzubauen. Nimmt man für jeden Block die angepaßte Form nullter Ordnung, so zeigt Bild 11-21. den Aufbau nach Vollendung des Schrittes 2. Jeder Block ist wie in Abschnitt 4 modelliert (siehe z.B. das Beispiel 114). Der Block für die Vorwärtsrichtung ist gleichstroniangepaßt, während der Rückkopplungsblock die korrekte Impulsantwort hat und keine Anpassung benötigt. Der wichtige Unterschied zwischen den Bildern 11-19 und 11-21 besteht darin, daß das letztere nicht realisierbar ist, weil der gegenwärtige Wert jeder Variablen in der Schleife in Abhängigkeit von anderen gegenwärtigen Schlcifenwerten berechnet werden muß, z.B. x . - 10Tg + x 1 ( 1 1 - 6 1 ) 2 2 8 S i m u l a t i o n kontinuierlicher Systeme ee (1-ei-2S)z Mehrfache und nichtlineare Systeme 2 2 9 mit denen in Gleichung 11-62 in Übereinstimmung gebracht werden können. Die Lösung für K heißt Yin 1 2(z- e 2 T ) 5KT(I — en.) — 1 — C-2T - 2 e - r cos 3T, go oder K I — 2e- r cos 3 T + e n . • 5T(I — r a r ) (z) 10Tz s - 1 Bad 11-21. Teilweise durchgeführte Simulation von Bild 11.18 nach Schritt 2, wobei angepaßte Blöcke nullter Ordnung benutzt werden Wie früher schon erwähnt, muß die Berechnung irgendwie mit Ausdrücken beginnen, die nur vergangene Werte enthalten. Deshalb erfordert der Schritt 3 in diesem Fall, daß man eine Einheitsverzögerung irgendwo in der Schleife unterbringt, um die Simulation möglich zu machen. Entscheidet man sich dafür (was willkürlich ist), die Verzögerung in den Rückkopplungsteil zu legen, so gilt das in Bild 11-22 gezeigte Ergebnis. Man beachte, daß man xn., jetzt wie in Gleichung 11-56 findet anstatt wie in Gleichung 11-61, und damit ist die Simulation der geschlossenen Schleife realisierbar. Gehen wir nun in diesem Fall zu Schritt 4 weiter vor, kann man wieder versuchen, die Pole der geschlossenen Schleife von Bild 11-22 mit denen des Modells der geschlossenen Schleife H(s) in Übereinstimmung zu bringen. Der Nenner des Modells nullter Ordnung von H(s) ist derselbe wie in Gleichung 11-57, d h. Wenn K (willkürlich) in den Rückkopplungsteil eingesetzt wird, ergibt sich das in Bild 11-23 dargestellte Resultat, wobei die Pole der geschlossenen Schleife jetzt mit denen von Gleichung 11-62 übereinstimmen. Um schließlich den obigen Schritt 5 durchzuführen und um dieses Modell mit der Simulation in Bild 11-20 vergleichbar zu mache.n, kann eine Eingangsübertragungsfunktion H3(z) abgeleitet werden, um die Gesamtsimulation schrittinvariant zu machen. Die Gleichung für H3(z) ist ähnlich wie Gleichung 11-60: Els(z) I + Ki/2(z)) N(z) ( I 1-65) wobei 1:11(z) und 112(z) in Bild 11-23 gegeben sind, K i n Gleichung 1164 und H(z) in Gleichung 11-57, Wenn man diese Funktionen in Gleichung 11-65 einsetzt, ist das Ergebnis 173(4 2 9 - T sin 3T 3(1 — iST)z (11-66) H1(z) Nenner des Modells nullter Ordnung von 1-1(s) z 2 — 2e-Tz cos 3T + - 2 T (11-62) aber der Nenner der resultierenden Übertragungsfunktion von Bild 11.22 mit einer konstanten Verstärkung K in der Schleife ist jetzt (11-64) ( 1 e 2 T )z fm 1 a n 2(z-e 2T) Nenner — z2 + 15KT(I — e - 2 5 — 1 — e-27], e -2T ( 1 1 - 6 3 ) lt i n In diesem Fall kann man K so anpassen, daß die Wurzeln von Gleichung I 163 10Tz z-1 Bild 11-23. Teilwe'se duichgetlibrte Simulation von Bild 11-18 nach Schritt 4, wobei angepaßte Blöcke nullt r Ordnung benutzt werden (z) 1- e - 2 T z 2T) L1 . I I-11 1 1 a Bild 11-22. Teilweise durchgeführte Simulation von Bild 11-18 nach Schritt 3, wobei angepaßte Blöcke nullter Ordnung benutzt werden Nachdem man noch Schritt 6, d.h. das Einsetzen des Begrenzers, vollzogen hat, ergibt sich die vollständige schrittinvariante Simulation mit angepaßten Blöcken nullter Ordnung in Bild 11-24. Wieder ist wie in Bild 11-20 die Formel für g. ein FORTRAN-Statement, das den Begrenzer beschreibt. Es ist lehrreich, die schrittinvarianten Simulationen in den Bildern 11 .20 und 11-24 miteinander zu vergleichen. Obgleich die zwei Modelle verschieden sind, ist es wegen der Konstruktion von H3(z) ganz gewiß, daß sie identische, exakte Resultate ergeben, solange das Eingangssignal f(t) nur aus Schritten zusatnmenge- Abschließende Bemerkungen 2 3 0 S i m u l a t i o n kontinuierlicher Systeme r 2 e 1 l 3 ( z ) T e i n 3T m e 2 3 1 • d i g i t a l ; F i g . 11 - 2 0 ra limit 3(1-e)z ti 2(z-e-2?) 10 2' • d i g i t a l ; F i g . 11 - 2 4 - 8 10•Tz K n k o n t i n u i e r l i c h : F i g . 11 - 1 8 6 m1.11-64 • 2.-Tfain 3r14,_1/(30-g-27.1) 4 es,• r a - Y. - 1 0 - dw - SIGN(AMINI(ABS(y.).1).Y.1 0 Bild I I -24. Vollständige schritt invariante Simulation von Bild 11-18 m i t angepaßten Blöcken nullter Ordnung setzt und so klein ist, daß die Operation linear bleibt. Dieses Verhalten wird in Bild 11-25 erläutert, das sowohl das Integratorausgangssignal x(t) als auch das normale Ausgangssignal g(t) zeigt, für den Fall, daß das Eingangssignal eine Einheitsschrittfunktion bei t = 0 - ist. Beide Simulationen (Bilder 11-20 und 11.24) von g(t) sind exakt, bei der Simulation von x(t) ist jedoch ein leichter Fehler vorhanden. Dieser Fehler ist für beide Simulationen bei der Schrittweite T = 0.1 fast gleich; er wächst natürlich, wenn man T größer macht, und nimmt ab, wenn man T verkleinert. Bild 11-26 veranschaulicht die nichtlineare Operation als Antwort auf eine Schritt2 • d i g i t a l ; F i g . 11 - 2 4 0.2 g(t) k o n t i n u i e r l i c h ; F i g . 11 - 1 8 t) -0. -0. B M 11-26. Kontinuierliche und simulierte Antworten auf eine Schrittfunktion mit der Amplitude = 6; Schrittweite T = 0.1 anregung mit der Amplitude 6 bei t = 0 - . Wieder sind beide Simulationen exakt, bis g(t) den Wert 1.0 erreicht und die Operation nichtlinear wird. Nach dem Erreichen der Grenze unterscheiden sich die zwei Simulationen von g(t), wobei die Simulation in Bild 11-24 die genauere der beiden ist. Die verbesserte Genauigkeit mit dem Modell in Bild 11.24 rührt hauptsächlich von der Polanpassung her, die mit den angepaßten Blöcken nullter92dnung, aber nicht mit den schrittinvarianten Blöcken möglich ist. Das g r e i d i M t für x(t), d.U. auch hier ist die Simulation mit angepaßten Blöcken nullter Ordnung genauer. Man beachte auch in den Bildern 11-25 und 11-26, daß die Simulationen von x(t) genauer wären, wenn sie einen Zeitschritt nach links verschoben wären, womit man die künstliche Verzögerung in der Rückkopplungsschleife eliminieren würde. 0.1 7. A b s c h l i e ß e n d e B e m e r k u n g e n 0 -0.1 Bild 11-25. Kontinuierliche und simulierte Antworten auf eine E i n h e i t s s c h r i t t f u n k t i j Schrittweite T = 0.1 In diesem Kapitel sind einige der leichtesten Methoden für die Simulation kontinuiedicher Übertragungsfunktionen eingeführt worden. Die Simulation an sich ist in Wirklichkeit nur ein Teil des Themas gewesen; der andere Teil bestand in der Entwicklung einiger interessanter Beziehungen zwischen den digitalen und den kontinuierlichen Systemen. Die Nützlichkeit dieser Beziehungen ist nicht auf die Simulation beschränkt; die bilineare Substitution wird z.B. in Kapitel 12 wieder gebraucht, um digitale Filter abzuleiten. Die Frage der Gesamtgenauigkeit der verschiedenen Simulationsmethoden ist in Übungen 2 3 2 S i m u l a t i o n kontinuierlicher Systeme irgendeiner allgemeinen Weise schwer auszudrücken. Wie in diesem Kapitel gezeigt, kann man Fehler im Zeitbereich sowie im Frequenzbereich messen und auch unter speziellen Anregungsbedingungen bei der nichtlinearen Operation. Letzten Endes hat es die Simulation immer mit einer Mischung von Kunst, Wissenschaft, Glück und verschiedenen Graden der Ehrlichkeit zu tun. Es ist im allgemeinen möglich, einen komplexen Prozeß so zu modellieren, daß das Ergebnis dem gleicht, was der Wissenschaftler zu sehen wünscht, anstatt daß es ein getreues Abbild der Wirklichkeit ist, und man muß sorgfältig darauf achten, aus der Komplexität der Simulation keine irreführenden Ergebnisse abzuleiten. 233 14. Simuliere das unten stehende System. Benutze die schrittinvariante Näherung. f( t) 7. (e+1) — Kehrwert lfx —•• 5 ( t ) 15. G i b einen impulsinva ianten Simulationsalgorithmus für das abgebildete System an. Passe die Gleichstromverstärkung geeignet an. —EBegrenzung 2 2 1 1 i r + 4 + 2 02 16. W i e heißt die Antwort von H(s) in Abschnitt 6, Gleichung 11-53 auf eine Einheitsschrittfunktion bei t = 0? 8. Übungen 1. Zeige, daß gm in Gleichung 11-6 korrekt ist, wenn die Eingangsfunktion f(t) = u(t) ist. 2. L e i t e eine Simulation von H(s) = 1/(s + a) ab, die dann genau ist, wenn die Eingangsfunktion f(t) = A e-at ist. Gib die Rechenformel an. 3. L ö s e Aufgabe 2 für H(s) = 1/(s + b). 4. Berechne das Ausgangssignal für fm = A e—maT unter Benutzung der Antwort auf Aufgabe 3 und bestätige seine Richtigkeit. 17. G i b in Bild 11-22 den Algorithmus für ym an, wenn die Verzögerung in den Vorwärtsteil der Schleife eingesetzt wird. 18. W i e heißt in Bild 11-23 die Konstante K, wenn die Verzögerung in den Vorwärtsteil der Schleife versetzt wird? 19. Modifiziere Bild 11-24, indem K und z - I in den Vorwärtsteil der Schleife verlegt werden. Wie lautet 113(z) in dem modifizierten Schaltbild? 20. G i b die bilinearen Blöcke an, die man zur Simulation des Bildes 11-18 benötigt. Benutze die Tustinsche Näherung. 5. G i b il(z) für die rampeninvariante Simulation von I1(s) = 1/(s + a) an. 21. Konstruiere mit Hilfe der bilinearen Blöcke in der vorigen Aufgabe und mit einer Rückkopplungsverzögerung eine vollständige bilineare Simulation von Bild 11-18. Wie heißt 113(z) in diesem Fall? 6. E r m i t t l e eine Rechenformel für die schrittinvariante Simulation von 11(s) = sffs2 + 2 s + 5). 22. Entwickle rampeninvariante Blöcke f ü r das untenstehende nichtlineare System. 7. Tr a g e 111(jca)1 zusammen mit IH(jca)1 auf, wobei ii(jca) die Antwort der schrittinvarianten Simulation von 1-1(s) = 1/(s+ 1) ist. Benutze T = 0.3 sec. l M22 H B e g r e n z u n g k i l - 8. Beweise, daß der Endwert der gleichstromangepaßten Simulation nullter Ordnung von H(s) = 1/(s + a) auch korrekt ist, wenn das Eingangssignal eine Schrittfunktion ist. Leite ii-(z) für die augepaßte Näherung nullter Ordnung an 11(s) = I/s ab. .910. L ö s e Aufgabe 9 für 11(s) = 1/(s + 1 )2 . Gib eine Rechenformel an. 11. Bestimme H(z) für die bilineare Näherung an I1(s) = 1/(s + 1)2 so, daß sie bei w = 0 und bei einem Viertel der Nyquist-Frequenz exakt ist. 12. ( M i t Rechner) Trage die Amplitudenantwort von H(s) = 1/[s(s + I)) zusammen mit der bilinearen Simulation auf, wobei die letztere bei 1 Hz genau sein soll. Benutze T = 0.25. 23. We n n eimax die maximale Differenz zwischen f(t) und seiner Halteversion f+(t) in Gleichung 11-22 ist, wie lautet die obere Grenze des Simulationsfehlers bei H(s) = A/(s + a)? 24. L ö s e die vorige Aufgabe für H(s) - A /[(s + a)2 + bal. 25. L ö s e die vorige Aufgabe für H(s) - As/[(s + a)2 + b2J. 13. Simuliere das System in Bild 11-16 mit der bilinearen Näherung, die bei der Hälfte der Nyquist-Frequenz genau ist. • Übungen 234 S i m u l a t i o n kontinuierlicher Systeme Einige Antworten 2. g,„ - r a ( T f , „ _ , + g„,_11 3. g . ( r a r e r ) 5. e z ) 4 . e n g . -1 ( a T + r a r - 1 ) z - ( a r r a . + e's2. - 1) a2T(r - e ' r ) 6. g,,, e a s i n 2 T ( 1 ; , _ , - f . _ 2 ) / 2 + 2e-rcos 2Tg„,_, - e n -g.,-2 9. # ( z ) T z / ( r - I ) 10. g„, ( 1 - + - e -2T 11. 17(z) ( z + 1)2 , A RA + 1)z - ( A - I)12 4 13. 1/(z) 8 T 2 ( z + 1)2 1(7r + 2 7 ' ) : - (er - 2 T ) ) ( ( r + 4 T ) z - (w - 4711 T 8 16. g(t) - ( 1 / 3 ) e i sin 31 18. K I 19. %f2(z) - 2 e a cos 3 T + 5T(1 - e -2T) 1 0 Te Ts i n 3T 3(1 - 2e c o s 3 T + e n . ) 21 ri,(z) 2 ( T + + (5T2 - 4)z2 + 2(5T2 - 7 ' + I ) z + 5T2 . (5T2 + 2 T + 2)z2 + 2(5T2 - 2)22 + (5T2 - 2 T + 2)z 23. 1 e,“ 1 < (4/a)emusi 2 4 . 25. I es. < A e vvcsch(ar/2b) e i n . , ; l 4.1 < A clnh(aar/2b) a2 + b2 t i m " V - (GMan-14o) c 7 c . b2 Literaturhinweise Ceschino, F., und Kuntsmann, J.: Numerical Solution of Initial Value Problems. Englewood Cliffs, N. J.: Prentioe-Hall, 1966. DeFigueiredo, R. J. P., und Netravali, A. Pl.: Optimal Splint Digital Simulators of Analog Filters. 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Mit anderen Worten, die Filterübertragungsfunktion bildet ein „Fenster" im Frequenzbereich, durch das ein Teil des Eingangsspektrums hindurchgehen darf. Die idealisierten Amplitudencharakteristiken von vier grundlegenden Filtertypen sind (für w > 0) in Bild 12-1 dargestellt. Von diesen ist die Tiefpaßcharakteristik in gewissem Sinn die grundlegendste. Die unten folgenden Abschnitte 2, 3 und 4 befassen sich nur mit dem Entwurf von analogen und digitalen Tiefpaßfiltern. In Abschnitt 5 wird eine systematische Methode beschrieben, wie man Tiefpaßfilter in Hochpaß-, Bandpaß- und Bandstopfilter transformiert. Abschnitt 6 beschreibt dann eine Methode, die im allgemeinen bei der Synthese digitaler Filter anwendbar ist und im besonderen bei der Synthese von digitalen Vielkanal-Bandpaßfiltern. Schließlich beschreibt Abschnitt 7 die Fehler, die durch die endlichen Wortlängen verursacht werden. Am Anfang sollte man etwas Vergleichendes über den Entwurf von analogen und digitalen Filtern sagen. Der Entwurf von analogen Filtern ist ein ausgiebig erforschtes Gebiet. Zum Beispiel liefern Storer (1957), Guillemin (1957) und Kuo (1962) eine detaillierte Diskussion der Buttenvorth- und Tschebyscheff-Filter (die weiter unten beschrieben werden) als Teil des umfassenderen Gebietes des 1110.3)1 Illool Iffool 1110‘.01 1. n Wz rief paß wand pa Bild 12-1. Idealisierte Amplitudencharakteristiken 0 141 '2 Bandsperre Der erste in diesem Kapitel diskutierte Schritt ist von allgemeinerem Interesse dadurch, daß er Einsicht in die Pol-Nullstellen-Synthese verleiht und auch dadurch, daß er weiterhin beim Entwurf digitaler Filter verwendet wird. Der zweite hier nicht diskutierte Schritt enthält spezielle Probleme der analogen Realisierung, wie z.B. die Isolierung zwischen den Stufen, der Leistungsverlust in den Schaltelementen usw. • Probleme, die bei dem digitalen Entwurf nicht existieren. Weiterhin werden in bezug auf den Entwurf digitaler Filter zwei Ansätze hier diskutiert. Der erste enthält das Entwerfen eines Analogfilters (durch Plazieren der Pole und Nullstellen in der s-Ebene), das dann in die digitale Form überführt wird (durch Abbilden der Pole und Nullstellen auf die z -Ebene), um die gewünschten Charakteristiken zu erhalten. Der zweite enthält das direkte Plazieren der Pole und Nullstellen in der z-Ehene, um eine vorgegebene Charakteristik zu erzielen. Beide Ansätze, und besonders der erste, heben wieder die enge Beziehung zwischen den analogen und den digitalen Systemen hervor. 2. B u t t e r w o r t h - F i l t e r Der Entwurf analoger Tiefpaßfilter, die die ideale Charakteristik in Bild 12-1 annähern, ist, wie erwähnt, ein vielerforschtes Gebiet gewesen. Dieses Entwurfsproblem, das von Guillemin (1957) das „Approximationsproblem" genannt wurde, hat zu einigen mehr oder weniger standardisierten Entwürfen analoger Tiefpässe. geführt. von denen einer das Butterworth-Filter ist. Das Butterworth-Filter kantin &infachen Ausdrücken beschrieben werden, nachdem ein paar vorbereitende Einzelheiten, die in Bild I2_-2 zusammengefaßt sind, definiert sind. Bild 12-2 ist vor allem eine Darstellung der Leistungsverstärkung, d.h. der quadrierten Amplitudenantwort in Abhängigkeit der Frequenz. Sie ist natürlich eine gerade Funktion von w, so daß nur die rechte Seite des Diagramms gezeigt wird. Die Leistungsverstärkungsfunktion IH(jw)12 wird der Amplitudenantwort lilacolt in der Beschreibung der Filtercharakteristiken vorgezogen. (Man beachte, daß die zwei Funktionen darüber hinaus für die idealisierten Fälle in Bild 12-1 identisch sind.) Im allgemeinen wird die Leistungsverstärkung eines Filters in einer von zwei Weisen ausgedrückt Leistungsverstärkung - 1 /l( jw) I 2 Leistungsverstärkung in dB - 10 1og101 1i(0ed)1 Butterworth-Filter 2 3 9 238 E n t w u r f analoger und digitaler Filter (dB ist die Abkürzung von Dezibel) Bild 12-2 definiert weiterhin einige Grundbereiche und Parameter, die im allgemeinen beim Filterentwurf nützlich sind, wobei die Tatsache vorweggenommen sei, daß die ideale Tiefpaßcharakteristik in endlicher Form nicht realisiert werden kann. In Bild 12-2 gibt es eine Grenzfrequenz coc, welche die obere Grenze eines Durchlaßbandes von 0 bis coc auf der Frequenzachse markiert, und eine Sperrfrequenz wr, die größer als co, ist und den Beginn des Sperrbandes von CO, bis Unendlich markiert. Zwischen dem Durchlaßband und dem Sperrband, d.h. in dem Intervall co, < Icol < wr, gibt es eine A r t von „Niemandsland", in dem die Leistungsverstärkung rasch absinkt. Die Verstärkungsparameter X und e bestimmen wie folgt die Toleranzen, die der Entwerfer akzeptieren kann: 1 111(10)12> I + £2 Durchlaßband: I to I < to,: (12-2) Sperrband: I t o I > i f 0412 < I 1 + X2 1ilütta 12 1 von solch einem Filter, daß es maximal flach ist in der Nähe von w = 0 und w = oc.. Es hat eine für den Grad beteiligter Polyname maximale Zahl verschwindender Ableitungen in dieser Nachbarschaft. Die Ordnung N wird wie folgt aus dem verbleibenden Entwurfsparameter X bestimmt: Wenn GJ gleich (Air wird, ergibt Gleichung 12-3 1HaUto.) 12 1 1 + X2 ( 1 + 1 / e 2 r l 4 o g ) (to,./toc) tu, (Da die Logarithmen in Gleichung 12-4 in einem Verhältnis erscheinen, kann jede Basis benutzt werden.) Damit muß der Entwerfer die Wahl treffen zwischen der Eckigkeit der Leistungsverstärkungscharakteristik und der Größe von N. Die relative Verbesserung dieser Charakteristik mit wachsendem N ist in Bild 12-3 für den Fall e = 1 dargestellt. Normalerweise wählt der Entwerfer die Werte für X und w r, benutzt Gleichung 124 zur Bestimmung von N, paßt möglicherweise i und/oder wr an, wenn N größer gemacht werden kann oder wenn N kleiner gemacht werden muß, und kommt auf diese Weise schließlich zu einer Wahl für N. (Die Anstiegszeit der Filterantwort, die mehr oder weniger proportional zu N anwächst, beeinflußt in einigen Fällen ebenfalls die Wahl von N.) To l e r a n z berelehe 1 1a,(5.)12 1.0 Ne 1 2 0.8 3 10 0.6 0 0 w e W r 0.6 feourchleebandel H S p e r r b a n d 0.2 Bild 12-2. Lcistungsverstärkungscharakteristik eines Tiefpaßfilters Eine typische, innerhalb der Toleranzen liegende Tiefpaßcharakteristik ist in dem Bild 12-2 gezeigt. Man sieht, daß die ideale Rechteckcharakteristik erreicht wird, wenn sich E der Null, wr dem Wert e...)c, und X dem Wert Unendlich nähert. Das analoge Butterworth-Filter hat eine Leistungsverstärkung der folgenden allgemeinen Form (12-3) 1hts(lw)12 — 1+ e l ± r tue in der N die Ordnung des Filters genannt wird und e und wc wie oben definiert sind (der Index B bezeichnet die Butterworth-Übertragungsfunktion). Man sagt 0 1 2 w/ w e 3 Bild 12-3. Leistungsverzliirkung eines Buttenvorth-Filters lilr E= 1 Ist einmal N bestimmt, gibt Gleichung 12-3 die Leistungsverstärkung des Butter- • worth-Filters an. Die Pole von 11-Ig(s)12 in der s-Ebene findet man, indem man den Nenner von Gleichung 12-3 gleich Null setzt und s = jw beachtet. Das heißt, aus E = + 1 - 0; folgen Pole bei s„ - toce-1/Nenaa+N- lil2N; n I , 2, 3, . . . , 2N (12-5) 242 E n t w u r f analoger und digitaler Filter T s c h e b y s c h e f f - F i l VN(x) 2 x V , , _1(x) - _ 1 ( 2 ) ; N >1 t e r 2 4 3 dB - 10 logio I 14(j0)12 a - 1 0 1 0 3 11 + ( 1 1 100 (12-10) Wenn w groß ist, beträg die Neigung der dB-Funktion in Gleichung 12-10 ersichtlich etwa 12 dB pro Oktave. Das heißt, wenn sich w verdoppelt, fällt die Leistungsverstärkung um etwa 12 dB. Diese Neigung wird die Abfall-Rate der Leistungsverstärkungsfunkt an genannt, und man erkennt, daß sie im allgemeinen 6 N dB pro Oktave für das Butterworth-Filter beträgt. In der s-Ebenen-Darstellung kann die Leistungsverstärkung auch als das Quadrat von co2/P2P2 betrachtet werden, wobei P, und. P2 die entsprechenden Abstände von den Polen zur Operationsfrequenz to sind. Ein letzter, die Leistungsverstärkung betreffender Punkt ist die verschiedene Darstellungsart der Kurven für N = 2 in Bild 12-3 und in Bild 12-5. Die Phasenbeiträge a, und a2 sind in dem Pol-Nullstellen-Diagramm von Bild 12-5 ebenfalls gezeigt; aus der Geometrie der Darstellung ergeben sie sich zu a, - man «2 - t a t + 100/V2— 1 0 0 / Vr und natürlich ist die gesamte Phasenverschiebung des Filters (12-12) die auch in Bild 12-5 aufgetragen ist. Fassen wir zusammen: Butterworth-Filter sind durch eine glatte Leistungsverstärkungscharakteristik gekennzeichnet, die eine maximale Flachheit im Durch-. laßband und im Sperrband zusammen mit vernünftig scharfen Begrenzungen hat. Opfert man etwas von der Flachheit und erlaubt entweder im Durchlaßband oder im Sperrband kleine Wellen (engl.: ripple), so kann man mit derselben Zahl von Polen eine schärfere Begrenzung erreichen. Die Tschebyscheff-Filter, die als nächste beschrieben werden, folgen diesem Weg. 3. Tschebyscheff-Filter Soll das Butterworth-Filter so verändert werden, daß kleine Wellen z.B. im Durchlaßband erlaubt werden, so wird man natürlich wünschen, daß für eine vorg bene Anzahl N von Polen in der s-Ebene die durch die kleinen Wellen verursachten maximalen Verstärkungsabweichungen minimal gehalten werden. Dies fiihrt wiederum zu der Benutzung von Tschebyscheff-Polynomen des Grades N, nämlich VN(x), die wie folgt definiert sind: coshI ( V e ) ( 1 2 - 1 8 ) cosh- ' 4 , 4 0 Dieses Ergebnis für jedes de beiden Tschebyscheff-Filter ist analog zu Gleichung 124 für das Butterworth-Fil er, ergibt jedoch einen kleineren Wert N für dieselben Parameterwerte. 0.4 0.2 0 0 wr 0 t i e wr wr Tschebyscheff Typ 2 Butterworth T e c h e b y s e h e f f Typ 1 Bild 12.7. Vergleich der Leistungsverstärkungen; N = 3 , e . 0.2, und cor = 2coc Die Pole der zwei Tschebyscheff-Filter sind natürlich voneinander verschieden und sollen deshalb getrennt betrachtet werden (siehe 1Guälemin 19571 für eine ähnliche Behandlung). Für das Filter von Typ 1 findet man die Pole, indem man den Nenner von Gleichung 12-14 gleich Null setzt und als Argument s statt jw setzt: + v„, Tschebyscheff-Filter illustriert, welche in diesem Beispiel gleich 1/(1 + X2) 0 . 0 4 ist, verglichen mit etwa 0.28 für das Buttenvorth-Filter. Im allgemeinen kann ein Vergleich der drei Leistungsverstärkungskurven wie folgt tabelliert werden: Filter I N(im) 1 2 im Durchlaßband I Sf( (u) I 2 i m Sperrband Butterwort h M a x i m a l flach M a x i m a l flach Tschebyscheff Type 1 G l e i c h e Ripplung M a x i m a l flach zwischen 1 und 11(1 . i l l Tschebyscheff Type 2 M a x i m a l flach G l e i c h e Ripplung zwischen 0 und 1/(1 + A2) Gerade wie bei dem Butterworth-Filter kann man die Ordnung N des Tschebyscheff-Filters in Abhängigkeit von e, X, 4), und cor finden. Wie durch das Bild 12-7 nahegelegt, findet man N weiterhin in derselben Weise sowohl für die Filter von Typ 1 als auch für die von Typ 2. Uni dieses zu demonstrieren und um J jur - 0; (12-19) Erinnert man sich, daß aus Gleichung 12-16 die Größe VN(x) gleich cos(Ncos 1 x ) ist und beachtet, daß der innere Term cos-1(s/jcoc) in diesem Fall komplex ist, so können wir diesen Term durch y + ja darstellen, so daß cor (s/jed,.) - y + ja: . " . s = Wer. COS + j001 uic(sinhasiny + jcoshacosyl ( 1 2 - 2 0 ) Die Funktion VN, ausgedrückt durch a und X, wird jetzt zu (4--) c o s 1N(7 + ja)) a cos N7 cosh Na - j sin Nysinh Na ( 1 2 - 2 1 ) 3 wobei a und 7 reelle Variable sind. Setzt man diese Form von VN gleich ± j/e Tschebyscheff-Filter 246 E n t w u r f analoger und digitaler Filter 2 4 7 in Gleichung 12-19, so ergibt sich das folgende Resultat: Zunächst, da cosh Na für reelles a von Null verschieden sein muß, 2 n - c .1 ;7 -0 y N s o 2N I , -Wc ainh o r2 w c coal. a 2, . . . , 2N ( 1 2 - 2 2 ) (Man beachte, daß diese Werte mit den Winkeln der Butterworth-Pole in Gleichung 12-5 eng verwandt sind.) Weiterhin, da sich als Konsequenz von Gleichung 12-22 die Beziehung N 7 = ± 1 ergibt, sinh Na 1 ; I - 7 a±—sinh I (12-23) Damit sind die Tschebyscheff-Pole vorn Ty p 1 durch die Gleichungen 12-20, 12-22 und 12-23 gegeben. Obgleich diese Ableitung etwas kompliziert ist, ist das Ergebnis ganz einfach. Es ist sogar noch ansprechender, wenn man an - ir/2 von 7n einsetzt, wobei (3, der Butterworth-Polwinkel in Gleichung 12-5 ist. (Man bemerke, daß Gleichung 12-22 damit in Verbindung mit Gleichung 12-5 gebracht wird.) Dann ergeben sich die Tschebyscheff-Pole vom Typ 1 wie folgt: s„ = wc(sinh a cos ß, + j cosh a sin jf„ ); sintr I 1; i 3 „ - 2n +2NN I w; n = I , 2, . . . , 2N (12-24) Beispiel 12-3: Man entwerfe ein Tschebyscheff-Filter vom Typ 1, das folgende Spezifikationen erfüllen soll: Mit den Definitionen von e und X in Bild 12-7 werden diese Parameter aus den Spezifikationen zu e = 0.2 und X = 5.0 bestimmt. Als nächstes kann man N mit Gleichung 12-18 finden: - 2.97;N — 3 Bild 12-8. Pole des Tschetwscheff-Filters Typ 1 mit N = 3 a = ! sink-t(5) - 0.771 3 2w 4 i r 01 = T . 0 , = 7,03 = - 3 auf der linken Halbebene s2 105(sinh 0.771)(— 1) = —0E50 x 105 4.1,33— 1051(0.850)(-0.500) * j(1.31)(0.866)] - 103(-0A25 t j1.13) Die Pole si , s2 und s3 liegen wie in der linken Hälfte von Bild 12-8, ausgenommen, daß hier die Ellipse kreisförmiger ist. Damit hat dieses Filter vom Typ I die Übertragungsfunktion , Hc(s) (s— s 1)(s-s—.5s2s32)(s— s 3) ( 1 2 2 6 ) mit den oben angegebenen Polen. Die Leistungsverstärkung 11-1,(jw$1.2 i s t in Bild 12-7 gezeigt. Durchlaßband0 1 0 0 krad sec-1 minimale Leistungsverstärkung bei con 0 . 9 6 1 5 ( - 0 . 1 7 dB) Beginn des Sperrbandes 2 0 0 krad secmaximale Leistungsverstärkung bei cor 0 . 0 3 8 5 (-14.1 dB) c°s"Xl.) Butterworth-Ortskurve • Die Gleichung 12-24 ergibt nun die folgenden Pole: Wie dies durch die Form von Gleichung 12-24 nahegelegt wird, liegen die Pole von 11-las)12 auf einer Ellipse in der s-Ehene. Ein Beispiel ist in Bild 12.8 für N = 3 gegeben. Das Bild zeigt die Geometrie, die mit Gleichung 12-24 assoziiert ist, und deutet in der Tat eine systematische Konstruktion der Tschebyscheff-Pole an, wenn die Butterworth-Pole für dasselbe N gegeben sind. Wie oben erwähnt, haben die Butterworih-Pole (auf den Kreisen im Bild) die Winkel [13,]. Die Konstruktion geht dann wie im Bild gezeigt vor sich. Die Pole von Hr(s) sind diejenigen auf der linken Halbebene, dh. diejenigen, für die n von 1 bis N in Gleichung 12-24 geht. Das folgende Beispiel zeigt den Entwurf eines Filters vom Typ I mit typischen Anforderungen. N> Tschebyscheff-Ortskurve (12-25) Für dieses Beispiel ist der Faktor (-cl s2 s3) im Zähler von Gleichung 12-26 die richtige Wahl (richtig in dem Sinne, daß die kleinen Wellen zwischen den Werten 1und 1/(1 + e2) wie in Bild 12-7 liegen), da dann Hc(0)= I ist, wie es sein sollte. Man beachte jedoch sorgfältig, daß dieses Verfahren nur bei ungeradem N richtig ist. Wenn N gerade ist, wird 4 ( 0 ) in Gleichung 12-14 zu Eins anstatt zu Null, und der richtige Wert von H,(0) lautet dann 248 E n t w u r f analoger und digitaler Filter T s c h e b Die Übertragungsfunktion Ha(s) muß daher bei geradem N im Maßstab um diesen Wert verändert werden. Speziell hat also bei geradem N die Funktion 1-1,(s) die Form S1S2...SN H c(s) (12.27) - s1)(s - s 2)• • .(s - s N) I T C - 6.1 (0 = 1 / E s c h e f a 5 f I - F i l e r 2 1 (12-29) 1+ z - / ( 1 — ) w, VR, ri - we(0.500 sinh a * j 0.866 cosh rr) (-0.433 * j1.15)103 Diese Pole werden mit s = cor tocir auf die s-Ebene abgebildet und ergeben sy - 2 x 1010/rt = -2.31 x 103 - (-0.574 ± j1.52)103 Schließlich hat Gleichung 12-29 Nullstellen, wenn V3(v/coc) = 0, oder bei r = 0 und bei ± j 0.866 to,. Die Nullstelle bei r = 0 wird zur Nullstelle bei s = 00 und die anderen zwei Nullstellen liegen bei ( 1 2 . 3 1 -sts2si(s -1 s.ffs - 2ss) ( s4ss(s— s1)(s — s2)(8 — s 3 1 3 2 ) w x 10-5 t Beispiel 124: Man entwerfe ein Tschebyscheff-Filter vom Typ 2 (d.h. flach im Durchlaßband, gleiche kleine Wellen im Sperrband), das die gleichen Eigenschaften wie das Filter in Beispiel 12-3 hat. Zuerst erinnern wir uns, daß die Verfahren zur Ermittlung von e, X, und N dieselben für Typ 1 und Typ 2 sind. Deshalb ist N 3 wie im vorigen Beispiel. Als nächstes wird nach Gleichung 12-28 Radien d e r K r e i s e : W , W e . w 2.1010 w ' p1(2'2)'1(2) 0.1923 r1 - o c s i n h o - 0 . 8 6 6 x 1 0 5 r2 O h ( 1 2 - 3 0 w e h 1 . 3 2 x 105 ) Folgt man dem oben angegebenen Verfahren, findet man die Pole von Gleichung 12-29 auf der linken Halbebengeie folgt ) Die Übertragungsfunktion lautet deshalb für dieses Beispiel H c(s) Die Ähnlichkeit der Gleichungen 12-29 und 12-14 deutet an, daß man die Pole von z.B. 114(7)12 für r = u + jv mit Schritten finden kann, die ähnlich den obigen Schritten für das Filter vom Typ I sind. Dann kann man die Pole und Nullstellen der Funktion 1-1,(r) von der r -Ebene auf die s-Ebene abbilden, indem man, wie durch Gleichung 12-28 angedeutet, die Transformation s = corcocir benutzt. Dieses Verfahren für das Filter vom Typ 2 wird in dem folgenden Beispiel veranschaulicht: - 5.0; 9 - 0.784 s4,s, t o r w e Ir & j 2 . 3 1 x 105 0.2; X 4 2r a a ifir mi - T .p2 i r , p 3 - (12-28) V N N CO, in Gleichung 12-15 macht, um die Leistungsverstärkung in der folgenden Form zu erhalten: 111c-0012 - t 72 - w e s i n h a - -0.866 x 103 Wenden wir uns nun dem Tschebyscheff-Filter vom Typ 2 mit gleichen kleinen Wellen im Sperrband zu, so läßt die Gleichung 12-15 vermuten, daß die Übertragungsfunktion sowohl Nullstellen wie auch Pole hat. Die Pole und Nullstellen kann man mit einem Ansatz finden, der ähnlich dem obigen ist, wenn man die Substitutionen V y Bild 12-9. Pol- und Nullstellen des Tschebyseheff-Fillers Typ 2 im Beispiel 1 2 4 250 E n t w u r f analoger u n d digitaler F i l t e r Digitale F i l t e r über die bilineare Tr a n s f o r m a t i o n mit den oben angegebenen Polen und Nullstellen. Da dieses Filter vom Typ 2 die Werte e = 0.2, N = 3 und cor = 2 co, hat, ist die Leistungsverstärkungsfunktion 11-1,6c0)12 diejenige rechts in Bild 12-7. Bild 12-9 gibt die Pole und Nullstellen wieder. Man beachte die Lage der Pole und Nullstellen relativ zum Durchlaßband und zum Sperrband in Bild 12-9 und man beachte ebenso die Konstruktion von si und s3 aus r l und 73, die wiederum genauso wie in Bild 12-8 konstruiert werden. Schließlich beachte man in diesem Beispiel, daß Hc(s) in Gleichung 12-32 so konstruiert ist, daß 11,(0) = 1 ist. Anders als beim Tschebyscheff-Filter vom Typ 1 weist das Filter vom Typ 2 den Wert I-1,(0)= 1 für gerade und für ungerade Werte von N auf. Neben den oben beschriebenen Butterworth- und Tschebyscheff-Filtern ist das elliptische Filter ein anderer standardmäßiger Entwurf (siehe [Storer 1957, Guillemin 1957, Gold und Rader 1969]). Das elliptische Filter hat eine Leistungsverstärkungsfunktion mit gleichen kleinen Wellen sowohl im Durchlaßband als auch im Sperrband und einen noch stärker abfallenden Grenzbereich. Anstatt jedoch mit der Behandlung der analogen Filter weiter fortzufahren, soll sich die Diskussion in diesem Kapitel jetzt dem Entwurf der digitalen Filter zuwenden. 4. Digitale Filter über die bilineare Transformation Dieser erste Zugang zu dem digitalen Filterentwurf ermöglicht es einem, Nutzen aus bekannten analogen Entwürfen wie den Butterworth- und TschebyscheffFiltern zu ziehen. Die bilineare Transformation wird als eine Transformation von der s-Ebene in die z -Ebene betrachtet, welche die Umwandlung von analogen Polen und Nullstellen in digitale Pole und Nullstellen erlaubt. Der Anhang C enthält FORTRAN-Routinen, welche das in diesem Abschnitt ausgeführte Verfah• ren für den Entwurf von digitalen Butterworth-Filtern verkörpern. Der Leser wird sich daran erinnern, daß die bilineare Transformation zu den Simulationsmethoden gehört, die im vorigen Kapitel beschrieben wurden. In der Tat wäre es ganz natürlich (wenn man schon einmal die digitale Simulation studiert hat), zu einem digitalen Filterentwurf zu kommen, indem man versucht, das entsprechende analoge Filter so genau wie möglich zu simulieren. Jedoch ist die genaue Simulation hier nicht das oberste Ziel. Wenn die analoge Filtercharakteristik eher verbessert als simuliert werden, d 1. bei der Transforma. t i o n rechteckiger gemacht werden kann, dann soll-das resultierende digitale Filter der genauen Simulation vorgezogen werden. Ein Beispiel einer solchen Verbesserung ist i n Bild 12-10 dargestellt. Man nehme für dieses Bild an, daß ein analoges Filter mit der Übertragungsfunktion H(jw) entworfen worden ist. Der Fall (1) im Bild illustriert eine perfekte Simulation von 11(jw). Die linke Darstellung zeigt w ' = co, wobei co' die Frequenzvariable für die digitale Simulation wie in Kapitel 11, Abschnitt 4 ist. Deshalb ist die Leistungsverstärkung des resultierenden digitalen Filters oben rechts im Bild genau gleich Hur.» für Icol < Andererseits zeigt Fall (2) eine bilineare Transformation von w nach to', die die 2 5 1 (1) E x a k t e Simulation (2) B e s s e r e Annäherung für den FilterEntwurf B i l d 1 2 - 1 0 . Z w e i Beispiele für den E n t w u r f digitaler F i l t e r verbesserte Leistungsverstärkungscharakteristik 11-1(jcor)12 rechts unten zur Folge hat. Die verbesserte Verstärkungscharakteristik fällt wegen to' > w für w > rascher ab und hat wegen w' < w für w < co, ein flacheres Oberteil. Bild 12-10 deutet also an, daß eine bilineare Transformation, die für die Erzeugung eines digitalen Filters aus einem analogen Filter benutzt wird, eine verbesserte Form ähnlich der links stehenden Kurve (2) hervorbringen sollte. Die bilineare Transformation mit A = 1 ist die einfachste Abbildung der jw-Achse auf den Einheitskreis in der z-Ebene: z— I z+ I (12-33) Da sie nur eine Näherung an s = log z ist, erzeugt sie eine Frequenztransformation, die ähnlich der Kurve (2) in Bild 12-10 ist, wie man durch Einsetzen von z = eIcuT zeigen kann: eba — .1"? t j a ebeT/2 e - h T / 2 eisr/2 e r j e e n l i :. t a n w--r 2 ( 1 2 - 3 4 ) In Bild 12-11 ist w' über wT aufgetragen. Die Kurve ist ähnlich der Kurve (2) in Bild 12-10, außer daß Bild 12-11 natürlich unabhängig von to, und anderen Eigenschaften des analogen Filters ist. Um sich an die Tatsache anzupassen, daß wc und to, ebenfalls transformiert werden, hat man das folgende Entwurfsverfahren ersonnen — siehe [Gold und Rader 1969, Kaiser 1966 und Golden und Kaiser 1964]): Verfahren für den Gebtauch der bilinearen Transformation. 1. M a n beginnt mit den gewünschten Werten von we und tor oder ähnlichen kritischen Frequenzen (für ein Bandpaßfilter würden zum Beispiel die End- 252 E n t w u r f analoger und digitaler Filter 253 Digitale Filter über die bilineare Transformation und so erzeugt Schritt 2 des Verfahrens die gewünschten Verstärkungswerte 171(jwc) und 171(jcor) bei den Frequenzen co, und cor. ei1 3 Die folgenden typischen Beispiele, in denen digitale Butterworth- und Tschebyscheff-Filter entworfen werden, dienen zur Veranschaulichung dieses Verfahrens. Beispiel 12-5: Man entwerfe ein digitales Butterworth-Filter, das die folgenden Spezifikationen erfüllt: Abtastintervall T = 100 µsec; Leistungsverstärkung zwischen 0 und —0.7 dB von 0 bis 1000 Hz; Leistungsverstärkung wenigstens herunter bis —10 dB bei 1200 Hz. Folgt man dem obigen Verfahren, besteht der erste Schritt darin, die Frequenzen w, und tor zu transformieren, die in diesem Beispiel die entsprechenden Werte 2000 rt und 2400 n rad sec- I haben. Die transformierten Werte sind 0 0 1 2 3 w, Bild 12-11. D i e bilineare Frequenztransforrnation, to' = tan(4r172) tan teer 2 CO; punkte des Durchlaßbandes anstelle von to, und cor herangezogen werden, siehe Beispiel 12-8) und findet die transformierten Werte e..); und CO' mit Hilfe der Gleichung 12-34, d.h. (an 20200x• 1 0 ' w 0.32492: (12-38) tan 2400r4 143-4 0.39593 2 Der nächste Schritt besteht darin, ein analoges Filter mit den Werten tot,' und r..0; zu entwerfen. Wenn die minimale Durchgangsbandverstärkung bei tot,' gleich —0.7 dB ist, folgt wT tan 2— 2. M a n entwirft ein analoges Filter mit der Übertragungsfunktion 11A(s), gerade wie in den vorhergehenden Abschnitten, benutzt aber GJ; und 141.4 anstelle von c..ic und (Jr. 10 logio I HA(j<0;) 12 1 0 logio .". 3. M a n transformie401A(s) in ii-(z) mit s tan "2 e l ) 0 . 1 + e2 7 0.070 (12-39) e - 0.41821 z— I und wenn die maximale Sperrbandverstärkung bei cors gleich —10 dB ist, folgt z + 1 10 Jogi° / / , ( j i . 4 ) 1 2 1 0 logio 1 1 I +Ar Dann ist H(z) die z-Übertragungsfunktion des gewünschten digitalen Filters. 0 Die Richtigkeit der „Anpassung" von tot, und w, in diesem Verfahren kann man "durch das folgende Argument zeigen: Gemäß Schritt 3 ist H(z) — HA M - - 1 ) z+ I ( 1 2 - 3 6 ) 3 7 ) Deshalb ergibt sich aus den Gleichungen 12-34 bis 12-36 R ( k ) - HA Uce Hat man t o : , e und X gefunden, kann man die Ordnung N des Filters mit Gleichung 124 ermitteln: (12-35) Aber dann ist, wie vorher gezeigt, die Übertragungsfunktion des digitalen Filters lir(jw) — f i ( s s r ) (12-40) ( 1 2 - N N > l o g (XIO 9 . 9 7 log ( 4 / 4 ) = 10 ( 1 2 4 1 ) Deshalb ist, wie in den Gleichungen 12-9 und 12-5, die Übertragungsfunktion des a n a l o g e n Filters Digitale Filter über die bilineare Transformation 254 E n t w u r f analoger und digitaler Filter whoc HA(S) s 1 s 2 . • •sio (s - s1)(s - s2) - • •(s - sio); er•i2e+N-1112N. 2 5 5 2 3 4 5 6 7 8 n - 0.35452 em2"4-59/20: / / ••• I , 2, . . . , 10 1 Nyquist-Frequent (12-42) Der dritte und letzte Schritt besteht nun darin, HA(s) in r1(z) zu überführen und dabei die bilineare Substitution zu benutzen: il(z) = H , t ( z I ) z+ I 0 sis2 • • •Sle 1 (zz s ) ( 2 2 + 11 S 2 ) . . . ( _ SIS2 + ` 1 ) 1 1 0 3 1 0 ) 0 -1.00 • (1243) [(I - 51)z - ( I + s1)]...1(I - s10)z - (I + sio)l wobei st bis ste, in Gleichung 1242 angegeben sind. 1.-1-(z) ist die gewünschte zÜbertragungsfunktion. Die Leistungsverstärkung dieses digitalen Filters könnte man finden, indem man elwT für z einsetzt und von Gleichung 1243 den quadrierten Betrag bildet, aber man kann sie sehr viel leichter finden, wie dies von Golden und Kaiser (1964) gezeigt worden ist, wenn man die Gleichungen 12-37 und 12-34 heranzieht: -150 Bild 12-12. Leistungwerstärkung des Butterworth-Filters für N = 10,6 = 0A182 I , und44/cT= 0.2er ri(iw) i 2 - 1 HAticin 12 s, R e i s » ; 2 - H , , ( j tan 2 ( 1 2 - 4 4 ) Somit ist es nur nötig, co,' für co, und co' für to in der Butterworth-Leistwerstärkung von Gleichung 12-3 einzusetzen, um zu erhalten Irici<41 - -50 0 I + e2(tan (i0772))2" tan T / 2 ) ( 2 4 5 ) Die Leistungsverstärkungsfunktion für dieses Beispiel ist in Bild 12-12 aufgetragen. Das Diagramm zeigt die Leistungsverstärkung des digitalen Filters in dB und auch die Leistungsverstärkung eines analogen Butterworth-Filters mit denselben Werten von N und e; es veranschaulicht damit die Entwurfsverbesserung, die durch die bilineare Transformation bewirkt wird und die oben in Bild 12-10 vorhergesagt wurde. Die digitale Übertragungsfunktion 11(z) in Gleichung 1243 kann man bequem in der in Kapitel 9, Abschnitt 5 beschriebenen Serienform realisieren. Um dies auszuführen, ist zu beachten, daß sn und s/ l _n in Gleichung 1242 konjugiert komplex sind. Das heißt -ce;r1lt°,0"-X R 0 2 + 9r (1246) s„_„ R e -2s" Als nächstes zerlegen wir Gleichung 1243 wie folgt in 5 Faktoren: (12-47) "Uz) = ni(:),12(z)1%3(z)1-fi(z)iii(2): t-i„(z) - 1 1 • s g s i i - . ( z + 1)2 - s,,» - (I + s"))[(1 R2(z + 1)2 (1 + sii .)1 [(1 - Refi")z - (1 + Reft")11(1 - Re #")z - ( I + Re-s")1 R2(z2 + 2: + I ) (1248) (1 + R2 - 2R cos 0,,)z1 - 2(1 - R2)z + (1 + R2 + 2R cos0„) wobei n von I bis 5 geht. Die durch die Gleichungen 1247 und 1248 gegebene Realisierung ist in Bild 12-13 dargestellt. Die Parameter sind in allgemeiner-Form angeschrieben, so daß sich das Bild auf jedes digitale Butterworth-Filter der Ordnung 10 anwenden läßt. In dem darunter stehenden Schaltbild beachte man die •“. M u l t i p l i k a t i o n des Eingangssignals mit R2 im Zähler von Gleichung 1248 und die Division des Ausgangssignals durch den Koeffizienten von z2 i m Nenner von 266 E n t w u r f analoger und digitaler Filter usitale Filter über die bilineare Transformation HA(s) Gesamtes H ( z ) : 1 ( a ) 2 ( z ) . V4(z) ( z ) 4 5 2 . • • sio 5 7 • (s - s i ) ( 1 - 5 2 ) . . . ( S S I O ) V 7 r i k e . S. = <4.(sinh a cos /3„ + j cosh of sin #,); n 1 , 2, . . . , 10 = 0.05241 cos 220 9r + j032912 sin 2 2 0 9 r 1 1+R2-211C. Einzelnes V Z ) : R w e e -1 / 1 0 2 Der Schritt 3 des Verfahrens ergibt dann die z-Übertragungsfunktion des gewünschten digitalen Filters: 1f(z) • 1+R2+2RCn 2 ( 1 - R 2 ) ( 1 2 - 5 0 ) ( z + I) Cn c o 9 2 2 0 s s i n ( z + 1)10 ((I - st)z - ( I + Bild 12-13. Serielle Realisierung des digitalen Buttenvortit-F Liters; N = 10 Gleichung 1248. Durch Ändern der Zahl der Blöcke in dem oberen Schaltbild kann das Bild offensichtlich auf jedes digitale Butterworth-Filter mit geradem N angewandt werden. Die leichte Modifikation für ungerades N sei einer Übung überlassen. „ U I (12-51) - sio)z - ( I + sio)I V R -71- mit sn wie in Gleichung 12-50. Eine Serien-Realisierung von H(z) hat dieselbe Form wie in Bild 12-13 (aber natürlich verschiedene Parameterwerte) und kann in derselben Weise gewonnen werden. ia Die digitale Leistungsverstärkung lautet für dieses Beispiel, ähnlich wie in Gleichung 1245 für das vorige Beispiel I 1/04.0i 2 - I HAtiws)i 2 Beispiel 12-6: Um das obige Butterworth-Filter mit einem Tschebyscheff-Filter der gleichen Ordnung zu vergleichen, nehmen wir an, es solle ein TschebyscheffFilter mit den folgenden Werten entworfen werden: 1 + v p / t a n 4772)) ‘tan (torT/2) (12-52) Abtastintervall T = 100 µsec; Leistungsverstärkung zwischen 0 und -0.7 dB von 0 bis 1000 Hz; Leistungsverstärkung maximal flach im Sperrband und wenigstens so klein wie - 1 0 dB bei 1040 Hz. Hier sind X, e, und ct.in identisch mit den Werten von Beispiel 12-5, aber wr ist sehr viel kleiner - das „Niemandsland" zwischen &in und G.)r hat nur 1/5 seiner früheren Breite. Dennoch ergibt sich N noch wie vorher zu N> -4 ru cosi!' I (Ä/e) c o s h - I (3/0.41821) 3 cosh-1(4/04) c o s h '(0.33887/0.32492) 1; o •-• - 5 0 - 9.105; N - 0 . 7 da 1 0 ( 1 2 4 9 ) 0 Auf diese Weise hat man mit dem Tschebyscheff-Filter der gleichen Ordnung einen sehr viel schnelleren Abfall als bei dem Butterworth-Filter erreicht. Folgt man dem oben angegebenen Entwurfsverfahren mit Schritt 2 und benutzt die Gleichungen 12-27 und 12-24, so ergibt sich der Entwurf des analogen Filters wie folgt (das Filter vom Typ I wird gewählt, um für eine flache Leistungsverstärkung im Sperrband zu sorgen): -100 Bild 12-14. Leistungsverstärkung eines digitalen Tschebyseheff.Filters Ty p 1 f ü r N = 10, E r -0.41821. und c i k T = 0.277 1 258 E n t w u r f analoger und digitaler Filter Frequenztransformationen Die Leistungsverstärkung in dB ist in Bild 12-14 zum Vergleich mit der Butterworth-Charakteristik in BildI2-12 aufgetragen. Die Pole und Nullstellen sind in der z-Ebene in Bild 12-15 aufgetragen. Wie durch Gleichung 12-51 gezeigt, gibt es eine Nullstelle der Ordnung 10 bei z = —1 und 10 Pole bei z , I 1 + sa — n I , 2, . , 10 ( 1 2 - 5 3 ) mit sn wie in Gleichung 12-50. Man beachte die Lage der Pole relativ zu dem Durchlaßband. Da die Grenzfrequenz 1000 Hz beträgt und die Hälfte der Abtastfrequenz 5000 Hz ist, erstreckt sich das Durchlaßband über 1/5 des Einheitskreises bzw. über ± 36 Winkelgrad. Zusammenfassend läßt sich feststellen, daß die bilineare Transformation ein bequemes und nützliches Mittel darstellt, um analoge Entwurfsmethoden bei der Konstruktion digitaler Filter einzusetzen. Die analoge Leistungsterstärkungskurve bleibt bei der Transformation nicht erhalten, sondern wird tatsächlich noch verbessert, so daß das digitale Filter sogar eine wünschenswertere Charakteristik als sein analoges Gegenstück hat. 2 5 9 5. Frequenztransformationen Die Umwandlung von Tiefpaßfiltern i n Hochpaß-, Bandpaß- und BandsperrenFilter ist sehr klar bei Guillemin (1957) und bei Kuo (1962) beschrieben worden. Die Verfahren sind relativ einfach und lassen sich auf analoge und auf digitale Filter anwenden. Jedes Umwandlungsverfahren hat es mit der Substitution einer Funktion von s, nennen wir sie s(s), in eine analoge Tiefpaß-Übertragungsfunktion H(s) zu tun, um eine neue Übertragungsfunktion H(s') zu schaffen. Folgerichtig haben die Umwandlungen die folgenden wichtigen Eigenschaften gemeinsam: Die umgewandelte Übertragungsfunktion F l a w ) hat genau die gleichen Werte wie die Tiefpaßfunktion H(j6.3), aber bei anderen Werten von w, d.h. bei anderen Frequenzen. 2. D i g i t a l e Filter, die mit Hilfe der bilinearen Transformation entworfen wurden, können einfach umgewandelt werden, indem man die analogen Darstellungen umwandelt, bevor man die Substitution s ( z — I )/(z + 1) anwendet. Die Umwandlungsformeln sind in Tabelle 12-1 angegeben. Wie schon oben bemerkt, hat es jede Umwandlung mit der Ersetzung von s durch eine neue Funktion von s in der Tiefpaß-Übertragungsfunktion 1-1(s) zu tun. Der Tiefpaßfall sei zuerst als trivialer Fall gezeigt, in dem s durch sich selbst ersetzt wird. Rechts in der Tabelle stehen die resultierenden Transformationen des Frequenzbereiches, die man durch s = jco erhält. im Hochpaßfall wird das Durchlaßband des ursprünglichen Tiefpaßfilters, d.h. Iwl < can, in den Bereich abgebildet, in dem wie gezeigt kJ' > GJ, ist, womit das gewünschte neue Durchlaßband bei Frequenzen größer als con geschaffen ist; siehe das unimaßeende Beispiel 12-7. Die Bandpaß transformation, ist ein wenig komplizierter. Man beachte, daß sie Tabelle 12-1. U m w a n d l u n g von Tiefpaßfiltern Tiefpaß S.1-1 Wr 2 we Bandpaß + 2.2102 a 022 - u i , - u 2 I Bild 12-15. Pole und Nullstellen des digitalen Tschebysclieff-Filters vom.Typ 1 ; N = 10; = 0.41821, und CacT = 0.21r= 36° u1 u2 1 '2 3422,2 Bandsperre S 0 , 0 2 -w2 260 E n t w u r f analoger und digitaler Filter Frequenztransformationen die Ordnung des Filters verdoppelt, da s2 in der Transformation enthalten ist. Wie in der Tabelle gezeigt, muß das ursprüngliche Tiefpaßfilter mit folgender Grenzfrequenz entworfen werden ° ' < - 4 1 2 H1(s) = • s i s a • • sio s2)••.(s - sio) s. = incemb“else; n - 1, 2, . . . , 10 (12-56) (12-54) — L 11 Mit Zeile 2 von Tabelle 12-1 wird nun s durch 4 s in HL(s) ersetzt, um die Hochpaß-Übertragungsfunktion HH (s) zu erhalten: d.h. m i t einer Grenzfrequenz, die gleich der Bandbreite des Bandpaßfilters ist. Die Richtigkeit dieser Aussage, wie auch die der Zeile 3 in Tabelle 12-1, kann man mit folgendem Argument einsehen: Wir nennen die Tiefpaß- und Bandpaß-Übertragungsfunktionen entsprechend HL(jw) und Hg(jw). Die Substitution in Zeile 3 der Tabelle bringt dann HH(s) H L ( w 2 / s ) sis2 • • • sw (weVs—si)(w2/s—s2). •• — s'° -4,2 + w1/02. sio) - wel/si Rs - ulr2/52)• • • (s - w2/sio) He( l41) H 4:1 2 6 1 (12-57) 412 - 41141:). Damit sind die ursprünglichen Pole in Gleichung 12-56 auf sich selbst in der sEbene abgebildet und eine vielfache Nullstelle ist bei s = 0 eingeführt worden. Die Hochpaß-Leistungsverstärkungsfunktion von Gleichung 12-3 lautet (12-55) ••• Ha(±lwi) H t l ± l ( w : - w2)) H d e l w e ) ; 112(t1402) = Hcl*.142 - w111 * 1 4 Die zwei letzteren Beziehungen zeigen die Abbildung der Endpunkte des Bandpasses von Zeile 3 der Tabelle in die des Tiefpasses. Die zweite Zeile in Gleichung 12-55 ergibt etwas allgemeiner das gewünschte Resultat: Die Tiefpaßverstärkung für lcol < co, ist mit der Bandpaßverstärkung für wl < Iwl < w 2 identisch, wenn die Beziehung in Gleichung 12-54 gilt. H N ( l W ) Zwei Beispiele seien jetzt dargelegt, um die Transformationen in der Tabelle 12-1 zu veranschaulichen. Im ersten wird ein analbes Hochpaßfilter erzeugt und im zweiten ein digitales Bandpaßfilter. In befterFällen wird das Butterworth-Tiefpaßfilter als Ausgangspunkt benutzt. Beispiel 12-7: Man wandle das analoge Tiefpaß-Butterworth-Filter mit N = 10 und e = I i n ein Hochpaßfilter um. Die Tiefpaß-Übertragungsfunktion ist durch die Gleichungen 12.9 und 12-5 gegeben M ) 1 1 (12-58) + (w,.//0)30 Eine dB-Darstellung d'eser Funktion ist in Bild 12-16 angegeben. Die TiefpaßLeistungsverstärkung IHL(j/...))12 ist zum Vergleich ebenfalls aufgetragen. Die Kurven sind normiert, insofern als die Leistungsverstärkung in dB über cofwe aufgetragen ist. Schließlich folgt die Bandsperrentransformation in Tabelle 12-1 aus dem vorigen Argument. Durch einfaches Invertieren der Bandpaß-Substitutionsfunktion und Multiplizieren mit c o werden ersichtlich die „Durchgangs"-Gebiete im BandpaßFrequenzbereich in die „Sperr"-Gebiete im Bandsperren-Frequenzbereich abgebildet und umgekehrt. Einen Punkt bei all diesen Transformationen sollte man übrigens beachten. Alle Transformationen werden eine perfekte Verstärkungscharakteristik hervorbringen, wenn nur eine perfekte Tiefpaßcharakteristik vorliegt. Der Leser kann dies verifizieren, indem er jede Transformation auf Büd 12-1 anwendet und die drei Funktionen auf der rechten Seite von der Tiefpaßfunktion auf der linken Seite erhält. Wenn jedoch die Tiefpaßcharakteristik nicht rechteckig ist (und sie ist es natürlich in der Praxis nie), dann werden sich die Flanken der Verstärkungsfunktion bei der Transformation verformen. Die Verformung verursacht jedoch gewöhnlich keine Probleme, wie unten noch angedeutet wird. 12 Beispiel 12-8: Wandle das Ticfpaß-Butterworth-Filter mit N = 10 und c = 1 in 1 0 4 2 3 — -50 • • -150 Bild 12-16. Analog Leistungsvers) irklingen 'irres Ilutlerworlh-lloch- und Tiefpasses; N= 10, e = 1 Frequenztransformallonen 262 E n t w u r f analoger und digitaler Filter ein digitales Bandpaßfilter um, das ein Durchlaßband von 0.2 bis 0.3 mal der Abtastfrequenz hat. Wie früher erwähnt, besteht das Verfahren darin, zuerst das Tiefpaßfilter in ein zugehöriges analoges Bandpaßfilter umzuwandeln, und dann die bilineare Transformation auf dieses anzuwenden, um das digitale Filter zu erhalten. Für den ersten Schritt fuhren die obigen Angaben zu 240.2 T) 2 1 r . = ST' (02 - 2 : ( " ) \T 1 S T wr to; = t a n - r - = tan 3 = 0.7265 (12-60) w2T 3 w = t a n — = tan 10 —= 1.3764 2 0 . 8 1 r 1 eit -so (12-59) Diese Frequenzen werden nun gemäß dem Verfahren im vorhergehenden Abschnitt transformiert: tr 0.6w 0 . 6 w 0 2 6 3 digital -100 0 0 0 analog d i g i t a l -150 Als nächstes ermittelt man tsici wie in Tabelle 12-1 oder in Gleichung 12-54: ‘441 = - 0); - 0.6499 ( 1 2 - 6 1 ) Bild 12-17. Leistungsverstärkung von Buttenvorth-Bandpaßt litern; N = 10 Die zugehörige Tiefpaß-Leistungsverstärkung ergibt sich deshalb zu I Hz(iso) l 2 - ( 1 I + 4/4)211 2 - 6 2 ) mit N = 10 und dem angegebenen to,' sowie e = 1. Aus Tabelle 12.1 oder Gleichung 12-55 folgt die analoge Bandpaßverstärkung zu I n(iw)I 2 - w ‘i'lcd2) w / (12-63) 1 + (t.? - m i m u i co w:. Ha t a / ran= I+ oif) 2 2 2 - gleich ebenfalls eingezeichnet. Die Entwicklung der z-Übertragungsfunktion verläuft in derselben Weise, wobei man mit Gleichung 12-56 anstelle von Gleichung 12-62 beginnt und die bilineare Form in die analoge Bandpaß-Ubertragungsfunkhon einsetzt. Es ist lehrreich, die Pole von 14(z) dadurch zu finden, daß man die Pole des analogen Tiefpaßfilters (Gleichung 12-56) transformiert, und zwar zuerst in die analogen Bandpaßpole und dann in die digitalen Bandpaßpole in der z-Ebene. Dies ist in Bild 12-18 dargestellt. Um die analogen Bandpaßpole zu erhalten, ergibt die Zeile 3 von Tabelle 1271 so2 + /0',031 s o ( si. - Daraus ermittelt man die Leistungsverstärkung des digitalen Bandpaßfilters wie in Gleichung 12-44: 117cm1 - -200 2 - 6 5 ) wobei sL ein Tiefpaßpol und sB ein Bandpaßpol ist. Deshalb ist so = 2 (st t 4(4 1 - (12-66) 4w; und somit ergeben sich die zwei Sätze von analogen Bandpaßpolen in der mittleren Zeichnung. Als nächstes ergibt die bilineare Transformation IN (12-64) tan coT — 2 Diese Leistungsverstärkung ist in Bild 12-17 aufgetragen. Die vergleichbare analoge Verstärkung i n Gleichung 12-63 m i t ungestrichenen Parametern ist zum Ver- s z- I ( z+ I 1 2 - 6 7 ) die digitalen Bandpaßpole bei zo 1 1+ s 1 s 8 (I 2-68) 266 E n t w u r f analoger und digitaler Filter Digitale Filter mit Fitouenzabtastung 2 6 7 den. Am Anfang der Diskussion über diese Ableitung wollen wir annehmen, daß [Bk] die DFT von [bn] ist, so daß N-1 B, - E tudenantwort des digitalen Filters bei com = 2irm/NT, d.h. bei irgendeinem der Abtastpunkte auf der Frequenzachse, mit m ( _ i ) . 11 , k n/T vernachlässigbar ist. 272 Digitale Filter mit Frequenzabtastung E n t w u r f analoger und digitaler Filter 2. M a n wählt das Frequenzabtastintervall 27r/N (auf der toT-Achse wie in Bild 12.19) und denkt daran, daß N auch die Speichergröße des Filters festlegt (z—N in Bild 12-24) und genauso die Impulsdauer (NT sec). 3. M a n ermittelt den Abtastwertesatz [HO = [IH(j2nk/N11. 4. M a n verwirklicht das Filter wie in Gleichung 12-83 oder in den Bildern 12-22 und 12-23. 5. M a n wiederholt die Schritte für andere Filter wie in Bild 12-24. L E H a m fl F2 H 2 0 - 0.707 ( - 3 dB) H 2i_24 I His 0.707 H 0.707 LEa a F2 H22 0.1 H 3 0 - 0.707 H 31 34 I H i s - 0.707 H3. •• 0.1 H19 - 0.1 ( - 2 0 dB) 130 0 . 7 0 7 Hzi 24 - 1 His - 0.707 H26.• 0.1 k H g; In der Praxis kann der Schritt 3 etwas Fingerspitzengefühl benötigen und vielleicht ein paar Versuche erfordern, bevor ein befriedigender Abtastwertesatz erreicht ist. Das folgende Beispiel veranschaulicht gerade diesen Gesichtspunkt wie auch das ganze obige Verfahren. Beispiel 12-9: Es werden zwei digitale Bandpaßfilter F1 und F2 gefordert, die die folgenden Spezifikationen erfüllen sollen: Schritte 4 und 5: Diese letzten Schritte sind zum Teil in Bild 12-27 vollendet. In diesem Bild ist der Gesamtentwurf zu sehen, mit einem 4üT .(kHZ) -10 • ( 1 2 8 4 ) - rekb, Schritt 3: M i t einem Umlauf in der z-Ebene, der in diesem Beispiel 40 kHz darstellt, und mit N = 200 müssen die Nullstellen auf dem Einheitskreis 200 Hz voneinander sein. Damit gibt es zum Beispiel in dem F r Durchlaßband Abtastpunkte bei 4, 4.2, 4.4.4.6, 4.8 und 5 kllz, d.h. bei Winkeln 2nt/N mit k = 20-25. Mit den an den Durchlaßbandenden-spezifizierten — 3 dB könnte man daher [Hk]für fürF u n d F2 wie folgt wählen: n/4 5 . 1 2 3 ' / 4 15 2 0 F1 Le1stungsverstarkung F2 Leistungsverstärkung T Schritt 1: D i e Faltungsfrequenz ist 1/2T = 20 kHz, und dieser Wert ist weit oberhalb der beiden Durchlaßbänder. Schritt 2: We n n die Dauer der Impulsantwort gleich 5 msec ist, dann wird (12-86) Das Ergebnis ist in Bild 12-26 gezeigt. Die Bandpaßcharakteristiken sind ein bißchen breiter als die in Bild 12-25, aber die Seitenbänder sind beachtlich unterdrückt. Abtastintervall T = 25 usec; Durchlaßband = 4-5 kHz für F1; 6-7 kHz für F2 ; Leistungsverstärkung an den Enden des Durchlaßbandes = 0.5 = — 3 dB; Dauer einer Impulsantwort = 5 msec. Folgt man den Schritten in dem obigen Verfahren, so geht man wie folgt vor: 3 Unter Benutzung dieser Werte für F1 und F2 ergeben sich Leistungsverstärkungskurven, die in Bild 12-25 gezeigt sind. Wenn die Seitenbänder unerwünscht sind, kann der Entwickler vielleicht darangehen, sie mit zusätzlichen, von Null verschiedenen Werten Hk auf jeder Seite des Durchlaßbandes zu unterdrücken. Wir wollen zum Beispiel annehmen, daß [Hk ] wie folgt für F1 und F2 modifiziert wird: m Bild 12-24. D r e i Bandpaßfilter 7 (12-85) /131-34 His - 0.707 Ft 2/14 2 -20 tn N — 0.005/T — 200 • -30 -40 Bild 12-25 Verstärkungskurve f ü r das Beispiel 12-9 mit den A b t stwertesätzen von Gleichung 12-85 274 E n t w u r f analoger und digitaler Filter D i g Ausgang für jeden der zwei Bandpässe. Ein typischer elementarer Filterabschnitt ist in Bild 12-23 gezeigt. Ein Filteralgorithmus für F1 i n diesem Beispiel, den man aus Gleichung 12-83 erhält, lautet 26 1-1(z) t (-1)4X1H, 1 - c o s ( 0 . 0 1 k ) erstärkung in dB - 0.01(1 - Pim z-2°°) 4.01 1 - 2rz-I cos(0.01 rk) + r2Z-2' (12-87) or 0 v(klts) .14 5 • 1 / 2 0 -10 3 1 1 / 5 4 2 0 i t a l e Filter m i t Frequenzabtastung (12.88) - e19.„ + e20.. + • • • + Unter Benutzung eines Wertes r = 1 - 2-19 in diesen Rechenformeln ergibt sich die Impulsantwort in Bild 12-28 (das ist die Antwort auf einen einzelnen Abtastwert f0 = 1/T = 4 x 104 bei t = 0; siehe Kapitel 8, Abschnitt 5). In diesem Bild wurde g(t) konstruiert, indem gerade Linien zwischen den Abtastpunkten [ginl gezogen wurden. Wie erwartet läuft die Impulsantwort am Ende der 5 msec aus. In Bild 12-29 ist die Antwort auf eine Sinuswelle der Frequenz 5 kHz, die bei t = 0 beginnt, aufgetragen. Da die Verstärkung von F1 bei 5 kHz gerade - 3 dB 2000 1000 0 -1000 -2000 5 cssec Bild 12-26 Verbesserte Verstärkungskurven für das Beispiel 12-9 mit Gleichung 12-86 Bild 12-28. Impulsantwort; Beispiel 12-9 5(t) 1.0 0.5 -0.5 IIIIIIIII I'rlIv 5 onc Bild 12-27. Filterschaltbild für das Beispiel 12-9 5 ek„, ( - 1 ) * ilkiX. — rx„, _1 cm (0.01 wir)] + 2re A. _icos (0.01 rk) - r2ek,„ _ 2 g( e) -20 . 7 x. 0 . 0 1 ( f . - rmj._x.) F1 L e i s t u n g s v e r s t ä r k u n g F2 Leistungsverstärkung 2 Bild 12-29. A n t w o r t auf f(t) = sin(100011nt) für 1 > 0; Beispiel 12.9 II Fehler durch Worte endlicher Länge 2 7 7 276 E n t w u r f analoger und digitaler Filter beträgt, wird, nachdem die Stabilität erreicht ist, die Amplitude von g(t) zu 0.707. 7. Fehler, die durch Worte endlicher Länge bedingt sind Abrundungs- öder Abbruchfehler, die von den endlichen Wortlängen herrühren, verursachen in vielen Rechensituationen Probleme, und die digitale Filterung bildet keine Ausnahme. Dieser Abschnitt enthält eine kurze Diskussion dieser Fehler, wie sie ganz allgemein bei digitalen Filtern vorkommen, d.h. nicht nur bei den Filtern, die im vorliegenden Kapitel gerade diskutiert wurden_ Es gibt eine beträchtliche Menge gn Literatur über die Wirkungen der endlichen Wortlänge, und nur einige grundlegende Dinge seien hier zusammen mit einigen Beispielen dargeboten. Die Beispiele sind mit ungewöhnlich kurzen Wortlängen gebildet, so daß die Fehler größer werden. Ausgiebigere Literatur über die Wirkungen der endlichen Wortlänge kann man finden im Kapitel 4 von Gold und Rader (1969), Abschnitt 5.11 von Wait (1970) und Teil 3 von Rabiner und Rader (1972). Ein Fehlermodell, das der Diskussion der Abbruchfehler entspricht, ist in Bild 12-30 gezeigt. Das Modellist denen in Kapitel I I insofern ähnlich, als ein Fehler em als Differenz zwischen dem Abtastwert gm am Ausgang und einem idealen Ausgangsimpuls gm erzeugt wird. Das ideale Ausgangssignal wird theoretisch erzeugt, indem f ( t ) mit Hilfe eines (für alle praktischen Zwecke) unbegrenzten Analog-Digital-Wandlers ADC' digitalisiert wird und die Abtastwerte dann durch fis(z) gefiltert werden, wobei ein Rechner mit unendlicher Wortlänge benutzt wird. Das tatsächliche Ausgangssignal gm kommt aus einem endlichen ADC, auf den ein Signalprozessor mit endlicher Wortlänge folgt Werte e - aT, cos bT, usw. an, wie in den Beispielen dieses Kapitels. Die Worte endlicher Länge in dem Signalprozessor erfordern daher kleine Anpassungen dieser Koeffizientenwerte, um das Filter realisieren zu können. 3. Produktabrundung: Im Algorithmus für gm erfordert jedes Produkt (eines Koeffizienten mit dem Abtastwert) eine Abrundung oder ein Abbrechen, um das Ergebnis in die ursprüngliche Wortgröße einzupassen. Selbst wenn es in den ersten zwei Kategorien keine Fehler gäbe, könnte die Abrundung des Produktes verursachen, daß gm sich von 4'. unterscheidet. Wie in Bild 12-30 geschildert, ist gm verschieden von dem idealen 4 , weil erstens [fM] nicht der wahre Abtastwertesatz von f(t) ist und weil zweitens H(z) keine exakte Realisierung von H*(z) ist. Der erste dieser Gründe spiegelt sich in der obigen Kategorie 1 wider und der zweite tut dies in den Kategorien 2 und 3. Ein Beispiel der Signalquantisierung (Kategorie 1) und ihrer Wirkung auf das Ausgangssignal eines (perfekt realisierten) Filters zweiter Ordnung ist in Bild 12-31 gezeigt. Das Blockchaltbild zeigt ein kontinuierliches Signal f(t) = t e - t, das mit einem 4-Bit-ADC digitalisiert wird, dessen Gesamtbereich ± 0.4 beträgt (die Einheiten sind natürlich auch diejenigen von f(t), z.B. Volt, Ampere, Grad, Meter usw.). Somit ist ein Bit äquivalent zu 0.8/24 bzw. 0.05. Mit der Annahme, daß der ADC immer zum nächsten Stufenwert hin abrundet, beträgt der maximale Eingangsquantisierungsfehler dann ± 0.05/2 = ± 0.025. Der Abtastwertesatz des Eingangssignals und der zugehörige Eingangsquantisierungsfehler fm - Pim sind links in Bild 12-31 gezeigt. Rechts in Bild 12-31 ist das Filterausgangssignal gm zusammen mit dem Ausgangs- (t) t e t H 4 -bit ADC 0.275z(z-L) z2-1.95z+0.96 r. 0.4 0.2 Bild 12-30. Quantisierungsfehlermod II. Der Fehler em ist der Unterschied zwischen dem wirklichen und dem idealen Ausgangssignal mit unendlicher Wort länge 0 Die Ursachen von em kann man in drei verschiedene Kategorien einteilen: I. Signalquantisierung: Wegen des endlichen ADC ist fm eine abgebrochene (oder abgerundete) Version von f(mT), wie dies in Kapitel 4, Abschnitt 4 diskutiert wurde. 4 2. Koeffizientenquantisierung: Die Koeffizienten von ii(z) werden im allgemeinen aus dem Kontinuum-Zahlenbereich abgeleitet und nehmen oft die 0.05 ° -oas Quantisierungsfehler des Eingangs • ••; - ; . ; • 0.05 i 2 4 6 8 Ausgangsfehler em -0.05 Bad 12-31. Darstellung des Eingangs- und Ausgangsquantisierungsfehlers. Der Bereich des 4-Bit-ADC ist ± 0.4:Schrittweite ist T = 0.5 Fehler durch Worte endlicher Länge 2 7 9 278 E n t w u r f analoger und digitaler Filter fehler en aufgetragen. Man beachte, daß em nicht der Fehler ist, den man durch eine Quantisierung von g(t) erhält, sondern vielmehr das Ergebnis des Eingangsfehlers, der durch das Filter hindurchgelaufen ist, wie dies in Bild 12-32 dargestellt ist. Damit ist in diesem Beispiel der Ausgangsfehler eine geglättete Version des Eingangsquantisierungsfehlers. Im allgemeinen wird die Wirkung des Filterns auf den Eingangsquantisierungsfehler am besten im Frequenzbereich behandeltDies tut man gewöhnlich, indem man das Leistungspektrum des Eingangsfehlers mit rl(jw)12 multipliziert, ein Thema, das später noch behandelt wird. f(t) fm —f+ m f H Wir wollen nun die Kategorien 2 und 3 betrachten, welche die unvollkommene Realisierung einer idealen Funktion i --1"(z) betreffen. Die erste Art der Unvollkommenheit rührt von den endlich langen Koeffizienten in H(z) her, während die Koeffizienten von 1:1-*(z) aus dem Kontinuum genommen werden. Die zweite Art rührt von der Abrundung des Produktes im Ablauf des Filterprozesses her. Die Ableitung des Fehlers aus beiden Unvollkommenheiten ist in Bild 12-33 gezeigt, welches andeutet, daß der Fehler durch Vergleich des Ausgangssignals von H(z) mit dem einer „perfekten" Version von H(z), dh. mit dem Ausgangssignal eines Prozessors einer sehr großen Wortlänge ermittelt werden könnte. Die Fehler aus Koeffizienten endlicher Länge (Kategorie 2) kann man als Fehler betrachten, die durch geringfügige Verschiebungen der Pole und Nullstellen von 14*(z) verursacht werden, welche selbst wieder durch Verkürzen (oder Abrunden) der Koeffizienten verursacht werden. Setzen wir zum Beispiel (12-89) und nehmen an, daß a1 und a1 als 4 Bit lange binäre Brüche (von 0.0001 bis 0.1111) oder als 5 Bit lange binäre Brüche (von 0.00001 bis 0.1111 I) verwirklicht sind. Alle die möglichen komplexen Polstellen innerhalb des Einheitskreises in der z-Ebene sind in Bild 12-34 für diese zwei Fälle dargestellt. Da das Muster in jedem Quadranten das gleiche ist, ist nur der erste Quadrant dargestellt. Somit würde sich in dieser Darstellung kein Fehler ergeben, wenn die Pole von 11*(z) mit einem Satz von Punkten zusammentreffen würden, aber im anderen Fäll müßte sich jeder Pol zu einem benachbarten Punkt bewegen, um ein Pol von H(z) zu werden. Man beachte, daß die Punkte in Bild 12-34 in Richtung der H(e) Bild 12-33. Ausgangsfehler, der allein von der unvollkommenen Realisierung von IT*(z) herrührt Im(z) em Bild 12-32. Ausgangsfehler, der allein, wie in Bild 12-31, vom Eingangsquant isieru ngsfehler herrührt 13(z) il(z) — 22— 2aiz + a2 —111*(z) I m ( z ) Polarellen (5-bit Koeffizienten) Polstellen (4- b i t Koeffizienten) 0.5 0 . 5 Re(z) Ra (z) 0 0 . 5 1 . 0 0 . 5 1 . 0 Bild 12-34. Mögliche Polstellen innerhalb des Einheitskreises für 1-11z) in Gleichung 12-89 mit 4- und 5-Bit-Festkommakoeffizienten reellen Achse gleich weit voneinander entfernt sind, aber nicht in Richtung der imaginären Achse, da der reelle Teil eines jeden Poles in Gleichung 12-89 einfach al ist, während der imaginäre Teil lautet ± x/a2 — aj. Fehler der Kategorie 2 können auch eine Instabilität erzeugen, indem sie die Ursache dafür sind, daß sich einer oder mehrere Pole aus dem Kreis heraus bewegen, wie dies von Kaiser (1965) beschrieben worden ist. Ein spezifisches Beispiel der Wirkung endlich langer Koeffizienten auf die Filterverstärkung ist in Bild 12-35 gezeigt. Das Filter ist das Butterworth-Filter aus 5 Sektionen, das in Abschnitt 4, Beispiel 12-5 abgeleitet wurde. Als wichtiger Punkt ist in diesem Beispiel zu beachten, daß zwar die theoretische Leistungsverstärkung durch drekichung 1245 gegeben ist, daß man aber, wenn man annimmt, daß das Filter in der Serienform von Bild 12-13 realisiert ist, die wirkliche Leistungsverstärkung m i t der Koeffizientenabrundung findet, indem man den quadrierten Betrag in Gleichung 1247 nimmt, dh. Hu.)12 - n J ig.(e)"5 12 (12-90) wobei man jeden Faktor des Produktes durch Substitution von z = ei('-'T in Glei- 280 Ü und digitaler Filterb Entwurf analoger u n g e n 2 8 1 1.4 7- b i t K o e f f i z i e n t e n 8. Ü b u n g e n 8 b i t s 1.2 9 o d e r mehr b i t s 1.0 1. L e i t e eine Formel für den Filterparameter e in Abhängigkeit von dBc, der Leistungsverstärkung in dB am Ende des Durchlaßbandes, ab. Die folgenden Filtercharakteristiken werden in den untenstehenden Übungen benutzt: 0 . 8 Alm A F i l t e r B F i l i e r C 0.6 6 b i t s 0-10 kHz 0 - 1 0 kHz 5 - 1 5 kHz Durchlaßband Minimale Leistungsverstärkung bei co, 0.5 0 . 5 1 5 kHz 1 1 . 7 5 kHz Beginn des Sperrbandes 0.4 0.2 Maximale Leistungsverstärkung bei toi. 0.1 uff 0.1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 Bild 12-35. Auswirkungen der Koeffizientenabrundung auf die Leistungsverstärkung des digitalen Butterworth•Filters in Bild 12-13 chung 12-47 mit abgerundeten Koeffizienten findet (die Antwort auf Übung 33 liefert jeden Faktor in Gleichung 12-90 explizit). Festkommakoeffizienten wurden in dieser Darstellung benutzt, d.h. jeder Koeffizient der Längen Bit hat links ein Bit und rechts vorn Komma n-1 Bits. Die wichtige Beobachtung in Bild 12-35 besteht darin, daß dank der ziemlich willkürlichen Bewegung der Pole, die in Bild 12-34 angedeutet ist, die Verstärkungsfunktion in ebenfalls willkürlicher Weise gestört wird, wenn die Wortlänge der Koeffizienten sich ändert. Das Filter im Beispiel von Bild 12.35 war in der Serienform angenommen worden. Im allgemeinen sollte man die Serien- und Parallelformen der Realisierung der direkten Form (Kapitel 9, Abschnitt 5) vorziehen, da die Anforderungen an die Koeffizientengenauigkeit mit der Ordnung der Differenzengleichung anwachsen [Gold und Rader, 1969]. Berücksichtigt man nun die Fehler durch Produktabrundung (Kategorie 3), so ist es schwierig, irgendwelche einfachen Richtlinien aufzustellen, besonders bei Gleitkommasystemen. Diese Fehler hängen nicht nur von den Filtercharakteristiken ab, sondern auch von den Signalcharakteristiken, da beide bei den abgerundeten Produkten beteiligt sind. Gold und Rader liefern für verschiedene Filter einige Formeln des Abrundungsrauschens. Jedoch ist es oft am besten, wie es von Wait (1970) vorgeschlagen wurde, beide Fehler der Kategorie 2 und 3 zusammen zu messen, indem man das Filter auf einem großen Allzweck-Rechner programmiert (simuliert) und die Wortlänge für einen speziellen Satz von Eingangssignalen variiert (die Filter-„Wortlänge" kann in dem Allzweck-Rechner einfach durch das Maskieren und Abrunden von Stellen eingestellt werden). Dieser empirische Weg ist relativ sicher und leicht durchzuführen und erlaubt einem, genauso gut auch andere Einflüsse beim Filterentwurf zu studieren (z.B. die Zahl der Abschnitte, die Schrittlänge usw.). 0 . 1 2. Welches ist die Ordnung des Filters A, wenn der Butterworth-Entwurf benutzt wird? 3. Welche Ordnung benötigt man für das Filter A . wenn der TschebyscheffEntwurf gewählt wird? 4. Welches ist die Ordnung des Butterworth-Filters B? 5. Welches ist die Ordnung des Tschebyscheff-Filters B? 6. Welches sind die Koordinaten des Poles 53 des Butterworth-Filters A? 7. Bestimme die vollständige Übertragungsfunktion des Butterworth-Filters A. 8. Drücke die Leistungsverstärkung des Buttenvorth-Fillers A in dB aus. 9. L e i t e die Phasenverschiebung ‘p(w) für das Buttenvorth-Filter A ah. 10. E r m i t t l e und zeichne die Pole des Butterworth-Filters B. 11. Zeichne die Leistungsverstärkung und die Phasenverschiebung f ü r das Butterworth-Filter B. 12. E r m i t t l e die Koordinaten des Poles s, des Tschebyscheff-Filters A vom Typ I. 13. ZeiChnetle-Vole des Tschebyscheff-Filters A vom Typ I in der s-Ebene. 14. Zeichne die Leistungsverstärkung des Tschebyscheff-Filters A vom Typ 1. 15. Zeichne die Pole und Nullstellen des Tschebyscheff-Filters A vom Typ 2. 16. Zeichne die Leistungsverstärkung in dB des Tschebyscheff-Filters B vom Typ 2. 17. Entwerfe mit der vorgegebenen Abtastrate von 50000 Abtastwerten sec I das digitale Butterworth-Filter A. Gib die Rechenformel für gni an. 18. Zeichne die Leistungsverstärkungen der analogen und digitalen Versionen des Butterworth-Filters A in dB, und erläutere.die Differenz zwischen den r . zwei Kurven. Benutze T = 10 µsec. 282 E n t w u r f analogerund digitaler Filter 19. Z e i c h n e eine schematische Realisierung des digitalen Butterworth-Filters A mit T = 10 µsec. 20. Z e i c h n e die Leistungsverstärkung in dB des digitalen Tschebyscheff-Filters A vom Typ 1 und benutze T = 20 µsec. 21. G i b einen Satz von Rechenformeln für das digitale Butterworth-Filter B an und benutze T = 20 µsec. 22. Wa n d l e das analoge Butterworth-Filter A in ein analoges Hochpaßfilter um. Wo liegen die Pole in der s-Ebene? 23. F o r m e das analoge Filter in Aufgabe 22 zu einem digitalen Filter um und gib eine Formel für die Leistungsverstärkung an. Beriutze T = 20 µsec. Übungen 2 8 3 3. N 2 4. N 7 5. N - 4 6. 2 r • 104(-0.5 - j0.866) 7. a r 3-lo 12 (s - 2r•104e12613)(s - 211-104e14#/3)(s + 2r• 104) 8. - 1 0 logia[l + ( S ) 6 ] 21-104 10. s„ - 2er• 04e1'1"3)12; 12. -20219 - j48813 n 24. W i e heißen die Frequenzen (41 und w2, wenn das analoge Filter A in ein analoges Filter C umgewandelt wird? 14. 1 Hd.fra) 12 - 1 V 0.00040 - 0.04,2 + 2 25. W i e heißen die Frequenzen c01', w2' und cocI, wenn das analoge Filter B in ein digitales Filter C umgewandelt wird und T = 20 µsec ist? 18. I Ha(jw) 12 26. G i b eine Formel für die Leistungsverstärkung des digitalen Filters C an, wenn dieses von dem Tschebyscheff-Filter B vom Typ 2 abgeleitet wird. Benutze T = 20 µsec. 27. Konstruiere eine elementare Filterschaltung ähnlich der in Bild 12-23, die jedoch vier Koeffizienten (Dreiecke) hat, von denen einer genau gleich „2" ist. 28. Entwerfe ein digitales Filter C mit der Methode der Frequenzabtastung.Benütze T = 20 µsec und eine Speichergröße von 20. Wähle den Wertesatz [ H U so, daß jedes Element entweder Eins oder Null ist. Gib eine Gleichung für H(z) an. 29. Konstruiere ein vollständiges Schaltbild des vorhergehenden Filters C. 30. Zeichne die Leistungsverstärkung in dB des vorhergehenden Filters C. 31. Passe den Wertesatz (HO an, um die Seitenbänder in der vorhergehenden Leistungsverstärkung zu unterdrücken, und trage die verbesserte Leistungsverstärkung in da auf. Hinweis: Siehe Beispiel 12-9. 32. Z e i g e , daß in einem Serienschaltungs-Bandpaßfilter der Form von Gleichung 12-69 die Koeffizienten Bk und Dk beide Null sind, wenn die Summe der zwei 3-dB Frequenzen gleich der Nyquist-Frequenz ist. (Hinweis: Folge dem Algorithmus im Anhang C mit F1 + F2 = 1/2T). 33. D r ü c k e jeden Term in der Formel für die Leistungsverstärkung eines digitalen Butterworth-Filters mit Hilfe der Gleichungen 12-90 und 12-48 aus. Einige Antworten 1. NAo-dat'l° - 1 2. N 3 + 106 0 . 0 106; 1 / I Frequenz in kHz. 0 R 1 1 8 L b e l l • 0.00118 + tan6(0.01n) • - Frequenz in kHz. 20. I fic(jra) 12 v 14.36 tan1(10-2w) - 7.58 tan2(10 -2w) + 2 22. s. - 2 r x 104 eill"•1)113); n 24. w1 - 1 0 4 r ; 28 A ( : ) 1 w 2 - r2122-20 3 ( _ i)4 10 1 . 2 33. I r i s C i w ) I 2 - 1. 2, . . . 6 x 104r 1 + B„2 + -R2 , 1 3 . 2 ( ,R 2 0„ D . + z - rz. c o s ( k r 11 0 ) 2rz cos(kr/10) + I 6.4„2cos6(ruT/2) 2841 + C,)coswT + 2C„cos U f f ' 1 ) C a ( 1 + R2 + 2R cos da) 0 . 0 . - 1 + R2 - 2R cos6„; R c o ; , _i/N 8 . 2n + N - 1 r 2N Literaturhinweise *kutterworth, O n the Theory of Filter Am plifiers. Wireless Engr., Bd. I ,S. 536, 1930. Clan, D. S. K . , und Rabiner, L. R . : Analysis o f Quantization Eitors in 11w Direct Form for Finite Impulse Response Digital Filters. IEEE Trans. A U - 2 I , No.4, August, 1973, S. 354. Gold, 8.. und Rader, C M.: Digital Processing of Signals, Kap. 2, 3 und 4. New Yodc: MeGraw-Hdl, 1969. Golden, R . ?A., u n d Kaiser. J . 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V.: Digital Filters, Kap. 5 in Active Filters: Lumped, Distributed, Integrated, Digital, and Parametric, hrsg. v. L. P. Huelsrnan. New York: McGraw•Hill, 1970. KAPITEL 13 Überblick über Zufallsfunktionen, Korrelation und Leistungsspektren 1. Zufallsfunktionen "In allen Anwendungen der Signalanalysis entstehen immer wieder Situationen, in denen eine Funktion f(t) nicht exakt bestimmt werden kann, oder in denen sie nicht vollständig vorhersagbar ist. Manchmal nennt man eine solche Funktion Rauschen, um zum Ausdruck zu bringen, daß sie sowohl unerwünscht als auch unvorhersagbar ist, aber ein unvorhersagbares Signal kann auch vorkommen, wenn die Ursache oder der Signalgenerator nicht vollständig bestimmt ist. Solche Funktionen werden als Zufallsfunktionen behandelt, dh. es werden anstelle ihrer unbestimmten aktuellen Werte ihre statistischen Eigenschaften benutzt. Einige der wichtigsten Aspekte dieser statistischen Eigenschaften, die für die vorliegende Diskussion brauchbar sind, werden in diesem Abschnitt und den folgenden Abschnitten in einem Überblick dargestellt. Die Anwendungsfelder der Statistik und der Wahrscheinlichkeitsrechnung sind sehr breit und sie sind auch grundlegend für viele Zweige der Wissenschaft, und selbstverständlich wird hier kein Versuch gemacht, eine umfassende Darstellung zu liefern. Die Liste der Literaturhinweise enthält einige ausgezeichnete Lehrbücher mit derartigen Darstellungen. Die wichtigste statistische Eigenschaft jeder Zufallsfunktion f(t) ist ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion, von der wir annehmen, daß sie ein Maß für die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines jeden Wertes von f(t) ist. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion von f ( t ) ist im eindimensionalen Raum der Abtastwerte von f ( t ) definiert. Dies ist-einfach eine Gerade mit Punkten, die allen möglichen Werten von f(t) entsprechen. Wenn zum Beispiel die Werte von f(t) bestimmt werden, indem man eine Münze bei jedem Wert von t wirft, dann besteht der Raum der Abtastwerte aus zwei Punkten, die Kopf und Adler darstellen. Oder, wenn f(t) der Winkel einer Wetterfahne ist, 4 ist der Raum der Ablastwerte eine kontinuierliche Linie von 0 bis 2 tr rad: Wenn der Raum der Abtastwerte diskret ist (also eine abzählbare Zahl von Punkten enthält), dann ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion als P(fn) definiert, so daß PC4) 2 0 u n d E n- I p w - (13-1) tubei N, die Zahl der Punkte im Raum der Abtastwerte, irgendeine ganze Zahl 286 Ü b e r b l i c k über Zufallsfunktionen, Korrelation und Leistungsspektren sein kann und die Werte von n die Punkte (fn) im Raum der Abtastwerte abzählen. In dem obigen Beispiel der Münze sind, wenn man n = 1 und 2 für Kopf und Adler setzt, bei N = 2 die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion gegeben zu P(fi)= 1/2 und P(f2)= 1/2. Im Fall des kontinuierlichen Werteraumes, der hier von größerem Interesse ist, wird die Wahrscheinlichkeitsfunktion mit kleinen Buchstaben pa) geschrieben, sie wird eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion pdf genannt (pdf = probabllity density function) und so definiert, daß P(I) i 0 u n d f • p(f)df - I f P(I)df (13-3) Bevor wir nun wichtige besondere Beispiele der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion pdf (von jetzt an nur noch pdf genannt) untersuchen, kann man ein paar ihrer grundlegenden Eigenschaften in allgemeinen Ausdrücken definieren. Beispiele dieser Eigenschaften werden unten zusammen mit pdf-Beispielen angegeben. Zuerst wird d e r Mittelwert (Erwartungswert, Durchschnittswert) irgendeiner Funktion von f, z.B. y(f), in der Weise definiert E(Y) f Y(I)P(I)dl (134) daß E(y) im wesentlichen die Summe aller Werte von y(f) ist, wobei jeder Wert mit einem entsprechenden Wert von p(f) gewichtet wird. Wenn das Integral in Gleichung 13-4 nicht konvergiert, dann hat y(f) keinen Mittelwert. Zwei besondere Mittelwertfunktionen sind so wichtig, daß man ihnen spezielle Symbole gegeben hat. Der erste ist der Mittelwert von f selbst, der das Symbol Pf besitzt. Dieser Mittelwert von f ergibt sich aus Gleichung 134 mit y(f) = f PI E E ( I ) f tungswert der quadrierten Abweichung von f von seinem Mittelwert, d.h. cri ist der Erwartungswert von y(f) = (f -P1)2. Demgemäß wird 0/ E R f P f )21; cri f . ( I - pf)zp(I)df f f 2 P ( f ) d I - 2ilf f " M I M T + p ( f ) d f (13-2) in einer zu Gleichung 13-1 analogen Weise gilt. In dieser Schreibweise ist das Argument f nicht f(t), sondern vielmehr ein möglicher Wert von f(t), d.h. ein Punkt im Werteraum von f(t). Entsprechend ist die Wahrscheinlichkeit eines Wertes von f(t) zwischen f = a und f = b P la g I < b l = Zufallsfunktionen 2 8 7 (13-5) - E(P) - 2sim1 + rit Somit folgt 07 = E ( / 2 ) - Y j (134) Die Varianz ergibt sich damit als Differenz zwischen dem mittleren quadrierten Wert von f und dem Quadrat von D i e Wurzel aus cri, dh. of, wird die „Standardabweichung von r genannt; sie ist das Standardmaß der Abweichung von f von seinem mittleren Wert und hat dieselben Einheiten wie f. 11(0 q (y) gleiche Flächen df d y Bild 13-1. Gleiche Wahrscheinlichkeiten ah gleiche Flächen Eine wichtige grundlegende Aufgabe, die sich i n der Signalanalysis oft ergibt, besteht darin, daß p(f) gegeben ist und man nun die pdf einer Funktion y(t) bestimmen muß. Diese Aufgabe wird im allgemeinen gelöst, indem man das Produkt p(f)df als die Wahrscheinlichkeit auffaßt, dafür, daß f(t) zwischen f und f + df liegt, d.h. als einen verschwindend kleinen Zuwachs der Fläche über dem Werteraum von f. Im einfachsten Fall ist wie in Bild 13-1 y(f) eine eindeutige Eins-zuEins-Abbildung zwischen den f und y Werteräumen, so daß p(f)df und q(y)dy dieselben Wahrscheinlichkeiten sind. Das heißt für die Flächen q ( y ) l dy I - v ( f ) I d f l Somit ist yr im wesentlichen die Summe von mit der pdf gewichteten Werten von f, d.h. die „Schwerpunkts"-Koordinate von p(f). Die zweite wichtige Erwartungswertfunktion ist die Streuung oder Varianz von f, der man das Symbol g i b t . Die Varianz ist das gebräuchliche Maß der Veränderlichkeit von f(t) um seinen Mittelwert itt herum. Sie ist definiert als der Erwar- (13-7) oder, mit der Annahme, daß y(f) eine Ableitung hat, qf y(f)1 P U ) Idy/d fl ( 1 3 wobei idy/dfl der Absolut wert der Ableitung von y(f) ist. - 8 ) 2 8 8 Ü b e r b l i c k über Zufallsfunktionen, Korrelation und Leistungsspektren Gleichmäßige und normale Dichtefunktionen Beispiel 13-1: Wenn die Funktion p(f) zusammen mit der linearen Beziehung y = af + b gegeben ist, wie heißt die pdf von y? Die Antwort lautet mit Idy/c1f1 = lal in diesem Fall (13-9) q ( y ) Pol Man beachte, daß für a = 1 die zwei pdfs dieselben sind, was zeigt, daß das Addieren oder Subtrahieren einer Konstanten zu f(t) zwar das Argument, aber nicht die Form der pdf ändert. Zwei nützliche Hilfssätze folgen aus dem Ergebnis in Gleichung 13-8 und aus Beispiel 13-1. 41s erstes ist - aµ1 + b ( 1 3 - 1 0 ) 9 Wenn wir uns nun speziellen Beispielen der pdf zuwenden, sind in der digitalen Signalanalysis zwei Formen von besonderem Interesse. Die erste ist die in Bild 13-2 gezeigte gleichmäßige pdf. Die gleichmäßige pdf drückt die Annahme aus, daß alle Werte von f(t) zwischen den Werten a und b „gleich wahrscheinlich" sind. („Gleich wahrscheinlich" hat nur in dem diskreten Fall eine reale Bedeutung; nichtsdestoweniger hat diese Bezeichnung hier im kontinuierlichen Fall einen gewissen heuristisch gerechtfertigten Anklang.) Man beachte wieder in Bild 13-2, daß der Abtastwerteraum die horizontale f -Achse ist (das Intervall von a bis b) und daß das Integral über p(f) der Gleichung 13-2 genügt. Wenn p(() gleichmäßig ist, wird f(t) eine gleichmäßige Variate genannt (jedoch findet man auch die Bezeichnung Variable). p(f) 1. b- a , f . ( a f + " ) I— a a Y -a f fp(f)df + b ▪ + b ( a p(f)df 1 3 - 1 1 f r Intfldf 1 b- a µ./+e)24(y)dy f bf d f = (b + a)I2 ( a f + b - (auf + b ) , , e , a , d f ) = . 2 r f Der Mittelwert einer wie in Bild 13-2 verteilten gleichmäßigen Variate ist im Einklang mit Gleichung 13-5 was man zeigen kann, wenn man die Gleichungen 13-8 bis 13-10 in der Varianzdefinition benutzt. Bei Beachtung von y = af + b verläuft der Beweis wie folgt: - , ) (13-12) 4.. - f 1 Bild 13-2. Gleichmäßige Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion Zweitens ist die Varianz von af + b - 8 2. Gleichmäßige und normale Dichtefunktionen Das heißt, wenn y = af + b, dann ist der Mittelwert von y gleich auf + b. Dies folgt durch Benutzung der Gleichungen 13-8 und 13-9 in der Definition des Mittelwertes in Gleichung 13-5 (bei der Definition von 1.1), ist dy ein positiver kleiner Zuwachs und ist somit in diesem Fall gleich laldf): µ•1.e- 2 (13-14) Wie erwartet liegt der Mittelwert auf halbem Wege zwischen a und b in Bild 13-2. Die Varianz der gleichmäßigen Variate ergibt sich aus Gleichung 13-6: ( f - m1)21)(f)df af2 E ( f 2 ) - pf2 (13-13) Die in den obigen Beispielen benutzten Methoden sind allgemein gültig, unfflittel oder Varianz anderer Funktionen von f zu finden (siehe IDwass, 1970], Kapitel 7). f f r pdf(b(b+ a)2 4 (b - a)2 12 (13-15) Somit ist die Standardabweichung einer gleichmäßigen Variate gerade 1W1f9.-mal dem gesamten Wertebereich b a . 290 O b e r b l i c k über Zufallsfunktionen, Korrelation und Leistungsspektren G l e i c h m ä ß i g e und normale Dichtefunktionen 2 9 1 zweiten Zeile von Gleichung 13-18 erhält man, indem man von kartesischen zu Polarkoordinaten übergeht, dh. x2 + y2 = r2 und dxdy = r dr de.) Der Beweis, daß p der Mittelwert von f ist, wird erbracht, indem man die normale pdf in Gleichung 13-5 einsetzt und wieder die Substitution x = ( f - µ ) / o f macht: f f N ( µ , o)df fe-cf-A212.2 df « 1/ 2 7I . Bad 13-3. Die normale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion - Die zweite pdf von größerem Interesse ist die Gaußsche oder normale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, dargestellt in Bild 13-3. Diese Funktion ist hier vor allem deswegen von Interesse, weil i n vielen Anwendungen der Signalanalysis ein Gaußsches Rauschen angenommen wird, was bedeutet, daß die pdf der Rauschfunktion wie in Bild 13-3 gezeigt verläuft. Die allgemeine Form der normalen pdf lautet: N($1, N p(f) e - ( 1 - 4212.2 o Virr ( 1 3 - 1 6 (13-19) In der dritten Zeile von Gleichung 13-19 ist das erste Integral gleich Null und das zweite ist nach den Gleichungen 13-17 und 13-18 gleich Eins, so daß pr = µ folgt. In ähnlicher Weise kann man ar = a beweisen: Setzt man = 0, so ergibt Gleichung 13-6 die Beziehung cri = E(f2) und Gleichung 13-4 führt zu ) of.2 f 2 N ( 0 , o)df in der µ und o das Mittel und die Standardabweichung von f sind, dh. die unten gezeigten Werte pr und ar. (In der Technik wird die Schreibweise N(p, e) für die normale pdf bevorzugt, siehe z.B. [Goode und Machol 1957].) Zuerst kann man, uni zu sehen, daß N(i, a) ein Einheitsintegral wie in Gleichung 13-2 hat, die Substitution x = (f - µ)/Q j f machen, so daß das Integral wird 1 .. N(µ, o)df - , - ( 1 ol/Sr- L - - i - . 1 e- 12dx 1.2e_/2/2,, 2 1 3 - 1 7 0.2 1 2 [f. N(µ o)dfi • f f 1 r ers2 e-Y2dx dy (13-20) wobei hier die partielle Integration angewendet wurde. ) Dieses Integral kann man einfach errechnen, indem man sein Quadrat auswertet: -re o n212.2 e ( i l ; I e2 d x ' r ins e x 2 dx + p VI; e Unglücklicherweise kann, wenn N(p, o) die pdf von f ist, die Wahrscheinlichkeit, daß f zwischen einem Pur von Werten liegt (wie dies in Gleichung 13-3 definiert ist), nicht so leicht ausgedrückt werden wie zum Beispiel im Falle der gleichmäßigen pdf. Deshalb sind normierte Fassungen dieser Wahrscheinlichkeit in Handbüchern tabelliert. (Siehe zum Beispiel das Handbuch von Burington (1965). Burington tabelliert das Integral i n Gleichung 13-21 wie auch verwandte Integrale von N(p, a).) Typischerweise werden Werte des Integrals N(0,I) tabelliert; d h wenn x gemäß N(0,1) verteilt ist, sind die Werte der Wahrscheinlichkeit, daß x kleiner als irgendein Wert T ist e(T) - F i x < e _ d r d r a f N ( 0 , Hdx ( 1 3 - 2 1 ) - 2 f r e - ' 2 dr (13-18) womit bewiesen ist, daß N(p, a) das Einheitsintegral hat. (Das Ergebnis in der als Funktion der Werte T tabelliert. Mit diesen tabellierten Werten kann man die allgemeinere Form von P # a < f < b i n Gleichung 13-3 mit p(f) = N(p, o) finden, indem man die Gleichungen 13-10 und 13-12 sowie die Substitution 2 9 2 Ü b e r b l i c k Über Zufallsfunktionen, Korrelation und Leistungsspektren x - (f - 0/0 ( 1 3 - 2 Multivariate Dichtefunktionen 2 ) heranzieht. Alles dies wird in den folgenden Beispielen klarer werden. Beispiel 13-2: Wenn die Werte einer Zufallsfunktion f(t) so verteilt sind, daß p(f) = N(I, 2), wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, daß f(t) positiv ist? Setzt man x - (f f / 2 - 1/2, ( 1 3 2 3 ) 2 9 3 fallsvariaten x l , x2, . , xn folgt in einer ganz natürlichen Weise. Für kontinuierliche Variaten kann man zum Beispiel die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion mit p(xi , x2, , xn) bezeichnen, und wie für n = 1 in Gleichung 13-2 ist /*I , 0 und f f - • - I . p ( x l , x2, so ergibt Gleichung 13-10 µx = 1/2 - 1/2 = 0 und Gleichung 13-12 ergibt cr. = (1/2) (2) = 1, und somit ist die pdf von x gleich N(0,1). Dann ist gemäß Gleichung 13-23 x größer als - 1/2, wenn f positiv ist, und so folgt , rt,,)dx1 d x 2 . dx, - 1 (13-26) P ( x 1 ' x 2 ) -1C.8 P 1 ! > 01 P l x > -1/21 - 1 - n ( - 1 / 2 ) - 40(1/2) ( 1 3 - 2 4 ) Jfp(x.12:2)dicidx2 - 1 A r 11111111 1111111111101 was, wie man in einem Handbuch findet, etwa gleich 0.69 ist. Beispiel 13-3: Wenn die pdf einer Funktion f(t) gleich N(2,3) ist, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit dafür, daß f(t) in dem Intervall (-4, +4) liegt? Setzt man x - ( f - 224/9 - ( f - 2)/3 ( 1 3 2 5 ) so zeigen die Gleichungen 13-10 und 13-12 wieder, daß die pdf von x gleich N(0,I) ist. Wenn als nächstes f zwischen - 4 und +4 liegt, dann muß x zwischen - 2 und +2/3 liegen. Die Situation ist in Bild 134 dargestellt, und die erforderliche Wahrscheinlichkeit ist im Bilde angegeben. 1.1-4 a, E(ff,) - E(f)E( f,) - 0 ( 1 3 4 6 ) t Bild 1 3 4 . Beispiele der Autokorrelationsfunktion Das Ergebnis der Gleichungen 1345 und 1346 ist mit der Bezeichnung ipff(r) rechts unten in Bild 13-9 dargestellt. 6. Leistungs- und Energiespektren Die üblichen Maße für Energie und Leistung sind eng mit der Autokorrelationsfunktion verwandt. Die oben genannte Eigenschaft 5 ergibt soff(0) als Mittelwert von f2(t) oder als Durchschnittsleistung von f(t). Andererseits folgt aus Gleichung 1341, daß pff(0) die gesamte Energie in f(t) sein muß pff (0) - - 11 12(t)dt ( 1 3 4 7 ) Offensichtlich ist bei endlichem pff(0) die durchschnittliche Leistung gleich Null, und umgekehrt muß für von Null verschiedenes eff(0) die gesamte Energie Unendlich sein. Ein allgemeiner Impuls ist hier als eine Funktion f(t) definiert, die eine endliche Energie hat, so daß das Integral in Gleichung 1347 konvergiert. Für Impulse existiert die Fourier-Transformierte F(jw) genauso wie die Transformierte Etfi(jp) der Korrelationsfunktion prat). In der Tat lautet diese Trans- formierte 3 0 2 Ü b e r b l i c k über Zufallsfunktionen, Korrelation und Leistungsspektren liff( au) = f L e i s t u n Funktton d e r Z e l t : p f f (r)ern dr g s - und Energiespektren 3 0 3 f ( t ) f(t) - Cat 1 J ( 1 ) f f ( I + r)e-M dr dr ff(t)ehilth f f (x)ria dx; x = r + (1348) F ( - M F ( j • l ) - I F(jr0) 2 wobei man die dritte Zeile durch Substitution von x = r + t in das innere Integral der zweiten Zeile erhält. Somit zeigt sich, daß R a u » das Quadrat des Amplitudenspektrums von f(t) ist. Andererseits hat Rff(jw) auch Beziehungen zur Gesamtenergie pa(0) in Gleichung 1347, da pe.(r) 2 — r f „ R ff ( jw)emdw, ( 1 3 4 9 ) Autokorrelationefunktion: , H O f f ( T; e A- Energl•epektrum: Rf f 2 1 w+a2 und daher pff(0) - I f 2r R ff ( j w ) d w I — f F ( j o ) I 2r/c• (13-50) Da die gesamte Energie pff(0) in f(t) gleich 1/2tr mal dem Integral von Rff(jw) ist, muß Rff(jw) = IF(jw)I2 das Energiespektrum sein bzw. die Energie-SpektraldichtefunIction von f(t), wobei sich die Energiedichte in den Einheiten quadrierte Amplitude pro Hertz ergibt. (Die Einheiten enthalten das „pro Hertz" wegen dv = dw/2n, wobei sich dv in Hertz ergibt, wenn dw in Radiant pro Sekunde gemessen wird.) Da 1E041 das Amplitudeaspektturn von f(t) darstellt, ist das Ergebnis, daß 1E0(412 das Energiespektrum bedeutet, gewiß nicht unsinnig. (Für IFfiw)12 wird auch der Term .Leistungsverstärkung" gebraucht, wenn F(jw) eine Übertragungsfunktion wie in Kapitel 12 ist. Somit ist die Leistungsverstärkung eines Filters gleich dem Energiespektrum seiner Impulsantwort.) Beispiel 13-4: Man beschreibe die Korrelationsfunktion und den Energieinhalt des dargestellten Impulses f(t) = e-at für t > 0. Zuerst ergibt sich die Autokorrelationsfunktion zu te(,-) - f I U ) » + r)di I e 2a Sie ist ebenfalls dargestellt. Als nächstes folgt die Energiespektralfunktion, die man entweder als Rff(jw) oder als IFQw)I2 berechnen kann, zu I Aw2 e 2 ) . Sie ist ebenfalls dargestellt. Schließlich ergibt sich die gesamte Energie pff(0) zu 1/2a. • Die Situation ist analog für periodische oder zufällige Funktionen, außer daß hier die Energie unendlich ist und somit die Leistung anstelle der Energie herangezogen werden muß. Geradeso wie das Energiespektrum eines Impulses R(jte) lautet, ergibt sich das Leistungsspektrum einer Zufallsfunktion wie folgt: ff(jo.)) = f e f f ( l ) e - . " dr 0 3 - 5 0 Das heißt, das Leistungsspektrum ist die Fourier-Transformierte der Autokorrelationsfunktion. Die gesamte Leistung in f(t) ist gemittelte oder gesamte Leistung - 2 ( 1 ) ) „ , = nu(0) - „ f „ , (jc.)d., ( 1 3 - 5 2 ) 2w Dies folgt aus der Definition der inversen Transformation genauso, wie Gleichung 13-50 aus Gleichung 13-49 folgt. Wiederum sind die Einheiten von 4)fr(jw) Leistung pro Hertz analog zu den Einheiten Energie pro Hertz für R a(jw). Man beachte, daß Sff(jc..)), die Fourier-Transformierte von soff(r), nicht konvergiert, wenn f(t) einen periodischen Inhalt hat, denn in diesem Fall verschwindet eff(w) nicht mit wachsendem r (siehe Gleichung 13-44). Wenn f(t) zufällig ist und - ekrüchtverschwindendes Mittel aufweist, betrachtet man es so, daß es sowohl euren zufälligen als auch einen periodischen Inhalt hat, wobei der periodische Inhalt in diesem Falle genau die Gleichstromkomponente ist. In den Fällen, in denen f(t) sowohl einen zufälligen als auch einen periodischen Inhalt hat, ist es nützlich, das Leistungsspektrum von f(t) als die kontinuierliche Funktion 4)ff(jw) zu definieren, zusammen mit einer oder mehreren Nadelimpulsfunktionen der Flächen 2a1ce12 bei den Frequenzen ± nwo, so daß man die gesamte in f(t) ent- Übungen 3 0 4 Ü b e r b l i c k über Zufallsfunktionen, Korrelation und Leistungsspektren haltene Leistung wieder finden kann als 1/2rr mal dem Integral des Leistungsspektrums wie in Gleichung 13-52. Wenn andererseits f(t) zufällig ist und das Mittel Null hat, dann gibt Gleichung 13-52 die gesamte Leistung und auch die Varianz o i von f(t), da in diesem Falle cri das Mittel von f2(t) ist. Somit ergibt das Leistungsspektrum eff(jigi) die Verteilung der Varianz von f(t) über der Frequenz. Beispiel 13-5: Man ermittle das Leistungsspektrum der Zufallsfunktion in Bild 13-9 mit b = 1. Die Autokorrelationsfunktion e,orf(r) von Bild 13-9 ist hier mit b = 1 noch einmal gezeichnet. Das Leistungsspektrum ist die Fourier-Transformierte von gpff(r): .ff(jw) - ( O die auch unten aufgetragen ist. Die gesamte Leistung ist soff(0) = a, was auch gleich 1/21r mal dem Integral von Scr(jra) ist. Autokorrelationsfunktion: Funktion T y p von f ( t ) Autokorrelation i m p u l s a r t i g F o r m e 5 l Pf(r) - 1 ( 1 ) f o n ) d t J - 172 (t)f(t + r)dt ff(r) - M A ) l i m — Autokorrelation z u f ä l l i g T-. T 7 7 2 Autokorrelation p e r i o d i s c h r f f ( r ) Leistungsdichte z u f ä l l i g - 4 n— —,= s iwn— a w2 2 0 Tabelle 13-1. Übersicht über Formeln - ror + 2 E 1 r. 1 2 cos M e t a Energiedichte i m p u l s a r t i g K f f t i t t i l - I TI " d r 3 f O f f ( . A . ) . P f ! (T)e-iler dr - f Leistungsdichte p e r i o d i s c h O f f ( jui) 2 r Gesamtenergie i m p u l s a r t i g Pf (0) f F ( j.›) I 2 l i e f f ( r ) e - i e dr E 1 c„! f2(0c1( - — — .0) f R ff ( . 4 4 4 ) 4Iff(r) Gesamtleistung z u f ä l l i g Gesamtleistung p e r i o d i s c h ff (0) - erf, 2 ; 9.0401 - E f . eff(noltho Ic,Ir -a Leistungsspektrum: 7. Übungen Nimm an, die Abtastwerte von f(t) zu den Zeiten t = 1 , ± 2 usw. werden durch das Werfen von zwei Würfeln bestimmt, wobei jeder Abtastwert fn die zur Zeit tn geworfene Summe ist: a) Skizziere die Wahrscheinlichkeitsfunktion P(fn). b) Diskutiere, ob f(t) eine stationäre Funktion ist. a Eine Zusammenstellung der grundlegenden Formeln für Autokorrelationsfunktionen, Leistungsspektren und Energiespektren ist in Tabelle 13-1 wiedergegeben. Man beachte, daß das Leistungsdichtespektrum der periodischen Funktion als eine Reihe von NadeliMpulsfunktionen gegeben ist, wie dies gerade beschrieben wurde, so daß seine Dimensionen diejenigen von 4fi(jc.)) sind, nämlich Leistung pro Hertz. .4 2. Gegeben ist die dargestellte exponentielle pdf. a) Berechne ;ix und b) berechne ce. •• Übungen 3 0 7 306 Ü b e r b l i c k über Zufallsfunktionen, Korrelation und Leistungsspektren 3. We n n die Werte von f(t) gleichmäßig von -1 bis +1 verteilt sind, wie heißt dann der Mittelwert von g(t) = 3 f(t) + 4? Wie verhält sich ai zu ag2? 4. We n n die Werte von f(t) wie in Aufgabe 3 verteilt sind, wie heißt die pdf von y(t) = f2(t)? Hinweis: Eine Eins-zu-Eins-Abbildung zwischen den Abtastwerteräumen existiert nicht; deshalb muß man eine revidierte Form der Gleichung 13-8 finden. 5. W e n n f(t) normal verteilt ist, wie heißt die Wahrscheinlichkeit dafür, daß f(t) sich innerhalb einer Standardabweichung von seinem Mittelwert befindet? Gib Deine Antwort in Abhängigkeit der in Abschnitt 2 beschriebenen normierten Funktion tp(T) und ermittle, wenn möglich, den numerischen Wert. 6. Skizziere die gleichmäßigen pdfs mit a) µ = 0 und o2 = 1112. b) p = 1/2 und 02 = 1/12. 16. L e i t e die zweite Autokorrelationsfunktion in Bild 13-9 ab. 17. L e i t e die dritte Autokorrelationsfunktion in Bild 13-9 ab. 18. Beschreibe die Korrelationsfunktion >es(r) in dem Fall, in dem eine der Funktionen f(t) oder g(t) ein Einheitsimpuls bei t = 0 ist. 19. a ) Berechne die Autokorrelationsfunktion der gezeigten Funktion f(t), die aus einer Reihe von rechteckigen Impulsen besteht, deren Amplituden unabhängig voneinander und gleichmäßig im Intervall ( - 1 , +1) verteilt sind. b) Berechne das Leistungsspektrum cbff(jW). f(t) 1.0 0.5 8 7. W e n n die pdf von f(t) gleich N(100,1) ist, wie heißt die Wahrscheinlichkeit dafür, daß f(t) zwischen 98 und 102 liegt? Antworte wie in Aufgabe 5. 8. We n n die pdf von f(t) gleich N(0,4) ist, wie groß sind dann die Chancen dafür, f(t) = 3 zu messen, sofern wir annehmen, daß das Meßinstrument auf die nächste ganze Zahl abrundet? Antworte wie in Aufgabe 5. 9. L e i t e die Kovarianzfunktion der verbundenen pdf in Bild 13-5 ab. 10. G i b ein physikalisches Beispiel einer stationären Funktion an, die nicht ergodisch ist. 11. W e n n f(t) mit gleichmäßiger pdf von -1 bis 1 gegeben ist, zeige, wie man g(t) erzeugt, das eine gleichmäßige pdf von 0 bis 2 hat. 12. Beweise, daß der Erwartungswert des Produktes zweier unabhängiger Variaten x und y gleich µs py ist und daß deshalb die Kovarianz wie in Gleichung 13-33 gleich Null ist. 13. Berechne die Autokorrelationsfunktion, das Energiespektrum und die gesamte Energie für das gezeigte f(t). A f(t) t • 14. L ö s e Aufgabe 13 für den angegebenen Sinusimpuls. f(t) a + 2t 15. L e i t e die erste Autokorrelationsfunktion in Bild 13-9 ab. lö ' -1.0 20. L ö s e Aufgabe 19 für den Fall, daß f(t) gleichmäßig im Intervall (0,1) verteilt ist. 21. Z w e i Zufallsvariate x(t) und y(t) haben identische Leistungsspektren, die durch 4>xx(jut) = eyy(jc..›) gegeben sind. Jedoch ist p(x) = N(0,2) und g(y) ist gleichmäßig. Wie lautet ay2? 22. Gegeben sei die Autokorrelationsfunktion e t ( r ) einer Zufallsvariaten f(t) mit dem Mittelwert pf gleich Null; a) leite eine Formel für sogg(r) ab für die Funktion g(t) = A f(t) + B; b) leite dig(jc.J) in Abhängigkeit von eff(jr.0) ab. 23. E r m i t t l e die Autokorrelationsfunktion und das Energiespektrum eines einzelnen Rechteckenpulses der Breite a und der Amplitude b. Einige Antworten 2. 1/Ä, 1/Ä2 3. ps - 4, 072 - 1/3, 0,2 3 4. 4(y) 1 / ( 2 Vjy), 0 S y < 5. 40(1) - r ( - 1 ) --- 0.68 7. r(2) - r ( - 2 ) 0 . 9 5 8. 40(0.875) - 40(0.625) -=•-• 0.08 9. 0 11. g(t) = I + f(t) Überblick über Zufallsfunktionen, Korrelation und Leistungsspektren 13. pft: (r) 42(a — r 2 9 + 6a2 T I ) für a < r < a 14. off® - L 2:0 — I r I) COSWor + H a i n wo! x11/2 rur — 2—r <_ r < 2—r wo w o — wo 19. NB (r) 1 — 3I * I für I o I 5 1, 41.04/90 - (;34, )ain2 (2) KAPITEL 14 Zufallsfolgen und spektrale Schätzungen 20. (Siehe Antwort auf Übungen 19 und 22) 21. 4 22. logg(r) Alveff(T) + B2, 4),(jw) - A24, B(jw) + 1326(w) 1. Einleitung Literaturhinweise Blane-Ldpierre, A., und Fonet. R.: Theory of RandomFunkäons, Bd. 1. New York: Gordon andBreachScience Publishen, 1965. Rurington, R. S.: Handbook of Mathematical Tables and Fonnulas. 4. Aufl. New York: McGraw-Hill, 1965. Derman, C., Gleter, L. J., und Olkin, 1.: A Guide to Probability Theory andApplication. New York: Holt, Rinehart und Winston, 1973. Dwam, M.: Probability Theory and Apptiations. New York: W. A. Benjamin, 1970. Feiler, W.: An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Bd. I. 2. Aull. New York: Wiey, 1957. Goode, Harry 11., und Machol, R. E.: SystemEngineering, Kap. 5 und 6. New York: McGrawHill. 1957. Laning. J. H., und Berlin, R. H.: Random Processes. in Automatic Control. New York: McGraw-Hill, 1956. Middleron, D.: Statistical Communication Theory. New York: McGraw-Hill, 1960. Schwartz, M.: Information Transmission, Modulation and Noise. Kap. 6. 2. Aufl. New York: McGraw-Hill, 1970. Truxal,J. G.: Control SystemSynthesis, Kap. 7. New York: McGraw41LH, 1955. deutsch: Entwurf automatischerRegelsysteme.Wien undMünchen: R. Oldenbourg, 1960. Wiener, N.: Ceneralized HarntonicAnalysis.Acta Mathematica, Bd. 54, 1930,S. 117. Die Analysis von Zufallssignalen hat es mit Folgen von zufälligen Daten zu tun, dh. im Falle der digitalen Verarbeitung mit geordneten Abtastwertesätzen von Zufallsfunktionen. Oft ist bei der Verarbeitung einer Zufallsfolge die Messung der statistischen Eigenschaften der Folge das Ziel. Wie in Kapitel 13 angedeutet, ist die Schätzung des Leistungsspektrums vielleicht das zentrale Ziel, weil das Leistungsspektrum von f(t) der Ausgangspunkt für die Bestimmung der Varianz of2, der Verteilung von of über der Frequenz und für alle in der Autokorrelationsfunktion e r enthaltenen Informationen ist. Das Thema der spektralen Schätzung ist an sich ein ziemlich ausgedehntes, und es gibt Lehrbücher, die diesem Thema allein gewidmet sind (siehe die Liste der Literaturhinweise). Hier wird die Diskussion auf die praktischen Methoden und Verfahren der spektralen Schätzung mit Zufallsfolgen beschränkt. Ein anderes Thema, das mit der spektralen Schätzung eng verwandt ist, ist die Erzeugung von Zufallsfolgen. Zufallsfolgen werden zum Beispiel oft bei digitalen Simulationen benötigt. Physikalische Variable wie das elektromagnetische Rausdien, mechanisches Rauschen, Brownsche Bewegung, Radar-Zielverfolgungsfehler, Turbulenz usw. sind im wesentlichen nicht vorauszusagen und müssen oft als Zufallsfunktionen simuliert werden, wobei nur Ihre Leistungsspektren und Amplituden-pdfs von vomeherein bekannt sind. Solche Zufallsfolgen kann man auf digitale Weise leicht erzeugen, indem man abgetastetes weißes Rauschen durch ein passendes Filter schickt, wie es unten noch beschrieben wird. Um dieses große Gebiet abzudecken, d.h. die Erzeugung von Zufallsfolgen und das Schätzen von Leistungsspektren, geht dies Kapitel wie folgt vor: Zuerst gibt es eine kurze Diskussion des abgetasteten weißen Rauschens, das als Zufallsfolge angesehen wird. Dann wird die Erzeugung anderer Zufallsfolgen als ein Prozeß betrachtet, bei dem weißes Rauschen durch ein passendes Filter hindurchläuft, und ein Beispiel schließt sich an, in dem eine besondere Zufallsfolge erzeugt wird. Endlich werden Methoden diskutiert, wie das Leistungsspektrum zu schätzen ist, wobei die gerade abgeleitete Zufallsfolge als Beispiel benutzt und so behandelt wird, als ob ihr (bekanntes) Leistungsspektrum von vorneherein unbekannt wäre. WeißesRauschen 3 1 1 310 Z u f a l l s f o l g e n und spektrale Schätzungen 2. Weißes Rauschen Weißes Rauschen ist der Name, den man im allgemeinen einer Zufallsfunktion gibt, die ein Leistungsspektrum hat, das für alle praktischen Zwecke eben ist, oder diese Eigenschaft über einen angegebenen Frequenzbereich aufweist. Der Name selbst schließt nur ein ebenes Spektrum ein und legt die Amplitudenverteilung nicht fest. Die Namen „Gaußsches" weißes Rauschen, „gleichmäßiges" weißes Rauschen usw. werden gebraucht, um die Form der Amplitudenverteilung zu bezeichnen. IrP m Bild 14-2. Spektrum des weißen Rauschens; gesamte Leistung = P In Bild 14-1 sind zum Beispiel Ausschnitte aus zwei kontinuierlichen Funktionen des weißen Rauschens gezeigt. Beide Funktionen haben dasselbe ebene Leistungsspektrum 4r(jw), und dennoch unterscheiden sich ihre Amplitudenverteilungen, wobei f i ( t ) die zur Gaußschen und f20) die zur gleichmäßigen Amplitudenverteilung gehörenden Zeitfunktionen sind. Obgleich die Gesamtleistungen und deshalb die Effektivwerte von f1 und f2 die gleichen sind, konzentrieren sie sich doch bei verschiedenen Amplituden. PT/3 P1(f1) •(jw) a 0 1121 - 3 . T t 0 3• Bild 14-3. Kontinuierliche Funktionen des weißen Rauschens mit identischen Abtastwerien aber verschiedenen Leistungsspektren a • p2(f 2) 421 a 1 2a -a a f2 Bild 14-1. Gaußsches und gleichmäßiges weißes Rauschen f (t) bzw. 121') Die in irgendeiner Funktion des weißen Rauschens enthaltene Gesamtleistung ist gleich 1/2n mal dem Integral von «JG)) (Kapitel 13, Abschnitt 6, Gleichung 13-52). Wenn somit 4)(jce) wirklich über alle Ftequenzen gleich (eben) wäre, müßte die Amplitude von 4)(jco) unendlich klein sein, damit die Leistung endlich wird/ Deshalb ist es hilfreich, sich 4,(jco) wie in Bild 14-2 vorzustellen, d.h. als eine Funktion, die bis zu einer Maximalfrequenz t o , eben ist. Die Gesamtleistung P in Bild 141-12 ist dann 1/2n mal der gesamten Fläche unter feie). Wenn die kontinuierliche Funktion des weißen Rauschens f(t) in regelmäßigen Abständen der Länge T abgetastet wird und wenn nur die Abtastwerte der Funktion f(t) von Interesse sind, dann kann man annehmen, daß die Gesamtleistung von f(t) in dem Frequenzintervall (—nn/T, nrr/T) konzentriert ist, wobei n irgendeine positive ganze Zahl ist. In Bild 14-3 sind zum Beispiel zwei Funktionen des weißen Rauschens gezeigt, die identische Abtastwertesätze haben. Alle Leistung von f1(t) ist in dem Intervall (—n/T, n/T), während f2(t) die Leistung in dem Intervall (-3n/T, 3n/T) hat, wobei die Gesamtleistung in beiden Fällen die gleiche ist. Es ist jedoch sehr zu beachten, daß man (infolge der spektralen Oberschneidungen bei n größer als Eins) kein Mittel hat, die zwei Funktionen, die nur mit tuen Abtastwertesätzen gegeben sind, voneinander zu unterscheiden — Leistung bei Frequenzen oberhalb von rr/T wird beim Abtastprozeß in einer solchen Weise in den niedrigeren Frequenzbereich "gefaltet", daß das Spektrum zwischen —irfT und ir/T eben bleibt. Beginnt man mit der Prämisse, daß eine abgetastete Funktion des weißen Rauschens f(t) ein Leistungsspektrum eff(jca) wie das oben beschriebene Spektrum ( K P ) haben muß, so kann man einige Eigenschaften der Abtastwerte von f(t) genauer bestimmen. Als erstes leitet man die Autokorrelationsfunktion eff(r) wie folgt ab: i •31411 •• 21.— f . e r ( jw)eih'' etw _ T •. In f i r P — ei"' dw 2w - , . . / T n ▪ F sin (nr r1 T) wirr' T (14-1) 312 Z u f a l l s f o l g e n und spektrale Schätzungen Off (1W) PT n -off T 0 Farbige Zufallsfolgen aus gefiltertem weißem Rauschen 3 1 3 erstreckt. Dann ist gemäß Gleichung 13-15 in Kapitel 13 die gesamte Leistung oder Varianz von fri P 3 = 02 - [ Bereich von p(f)12112 - K2112 na 11 Mit den in Bild 144 dargestellten Eigenschaften kann man drei wichtige Schlußfolgerungen vollziehen, die die Charakteristik einer beliebigen Funktion des weißen Rauschens f(t) betreffen: 4 - 2 ) (14-3) - 6(r„ - 1/2) Die resultierenden Abtastwerte des weißen Rauschens sind zwischen - 3 und +3 verteilt, wie dies in Bild 14.5 gezeigt ist. Das Leistungsspektrum eff06.0 ist auch in diesem Bild gezeigt Man beachte, daß eff(jw) gleich PT ist, so daß das Integral von 4)ff gleich 2nP oder 6n in diesem Beispiel ist. p(f) ff(1W) 0.3 1 6 1. D a eff(mT) = 0 für m als beliebige ganze Zahl (nicht Null), müssen die Abtastwerte von f ( t ) statistisch unabhängig voneinander sein. Das heißt Ihm + 1)1] ist unabhängig von f(mT) usw. . 2. D a fpff(r) sich der Null nähert, wenn hl anwächst, muß die Abtastwerteverteilung den Mittelwert Null haben (siehe Kapitel 13, Gleichung 13-44). Man kann deshalb sagen, daß das Mittel yr von f(t) Null ist. 1 Deshalb ist K2 = 36 und K = 6, und die Rechenformel heißt Bild 14-4. Eigenschaften einer beliebigen abgetasteten Funktion des weißen Rauschens fit) Beide Funktionen tpff(r) und 4ff(jco) sind in Bild 144 dargestellt. Man beachte, daß es Funktionen sind, die jede beliebige-regelmäßig abgetastete Funktion des weißen Rauschens beschreiben. ( -3 0 3 0 - o. 10x Bild 14-5. Verteilung und Spektrum für das Beispiel 14-1 3. D a Pf = 0 ist, muß der mittlere quadrierte Wert von f(t) die Varianz cri sein. Deshalb ergibt sich die mittlere Leistung von f(t) zu P = ( N a t ü r l i c h gilt dies stets bei yr = 0, ob nun das Leistungsspektrum eben ist oder nicht.) 3. Farbige Zufallsfolgen aus gefiltertem weißem Rauschen Man beachte auch, daß die Änderung von n in Bild 14-4 in keiner Weise diese Eigenschaften beeinflußt. Wenn statistisch unabhängige Ablastwerte des weißen Rauschens gefiltert werden, ist die Gestalt des resultierenden Leistungsspektrums oder die „Farbe" der resultierenden Folge durch die Übertragungsfunktion des Filters bestimmt, wie dies in Bild 14-6 dargestellt ist. Der digitale Filteralgorithmus erzeugt im allgemeinen Abtastwerte, die im Gegensatz zu denen des weißen Rauschens miteinander korreliert sind, womit sich also ein nichtweißes Spektrum ergibt. Man kann nun auch mit Hilfe eines Rechenalgorithmus die Abtastwerte von f(t) erzeugen. Die meisten Versionen von FORTRAN haben für diesen Zweck eine Standard-Bibliotheksfunktion. Die Algorithmen erzeugen gewöhnlich unabhängige Werte einer einheitlichen Zufallsvariaten. Wenn der Mittelwert der erzeugten Werte gleich Null ist, kann man sie somit als Abtastwerte des weißen Rauschens betrachten. Das folgende Beispiel veranschaulicht diesen Fall. Für die Simulation einer Zufallsfunktion mit einem vorgeschriebenen Leistungsspektrum ist es bequem, die Eingangsleistungsdichte (€Pff in Bild 14-6) bei Frequenzen unterhalb der Hälfte der Abtastrate gleich Eins zu machen. Dies ist äqui- Beispiel / 4 - / : Eine Rechnerroutine erzeugt unabhängige gleichwahrscheinliche Zahlen zwischen Null und Eins. Wie kann man die Zahlen benutzen, um von einer Funktion f(t) mit einer mittleren Leistung von P = 3 Abtastwerte des weißen Rauschens in Abständen von T = 0.1 sec zu erzeugen? Antwort: rn sei die n-te Zufallszahl. Um Pf = 0 zu erhalten, kann man zuerst 1/2 von rn subtrahieren. Das Resultat (rn - 1/2) ist dann gleichmäßig zwischen -1/2 und +1/2 verteilt. Um die Gesamtleistung von P = 3 zu erzielen, kann das Resultat mit einer Konstanten K multipliziert werden, um eine gleichmäßige Variete fn mit einer pdf zu erzeugen, die sich über den Bereich von - K / 2 bis +K/2 • f k : sige0- k e i t ) 12 1 T 0 T Bad 144. Aus weißem Rauschen durch Filtern entstandenes farbiges Rausehen FmtigeZufalisfolgenausgefihertemwefflenillauuffien 314 Z u f a l l s f o l g e n und spektrale Schätzungen schnitten, so zeigt Bild 14-8 die Einzelheiten des Sequenz-Generierungsprozesses. Das Blockbild veranschaulicht die Ausgangswerte G(M), die den Werten gni i n Bild 14-7 entsprechen, und auch die gegenwärtigen und vergangenen Eingangsund Zwischenvariablen X(I, J) und die Filterkoeffizienten A(I) bis E(I). Diese Variablennamen werden dann in dem zugehörigen Programm benutzt. valent mit der Festlegung der gesamten Eingangsleistung, und deshalb ergibt sich die Varianz der Eingangsabtastwerte wie folgt: rIT 2 +ff(jw)clw - l / T g 1 1 ; firir (14-4) wobei T das Abtastintervall ist. Wenn somit rn der n-te unabhängige gleichmäßige Zufallswert zwischen 0 und 1 ist, der aus einer Rechner-Bibliotheksroutine kommt, dann würde ähnlich wie in Beispiel 14-1 T\ X(2,6)...preseut valuen X(2.4).. Ast past value . . 1(2,3)...atc. 6(1),i(1), 1(2,2) X(2,1) X(1) (14-5) 2 ) der zugehörige Abtastwert des weißen Rauschens in Bild 14-6 sein. ( 1 4 - 6 1(6,5) G(N) X(6 4) x(6,1) x(6,2) 6 PROGRAM TU GENERATE G(M). (1•1•500 DIMENSION G(500).X(6.5) DIMENSION A ( 5 ) . D ( 5 ) . C ( 5 ) . D ( 5 ) . E ( 5 ) . G R ( 2 . 2 0 ) DESICei THE litrANDPPSS FILTER - - SEE APPENDIX C. CPLL BPDES ( 4 . 1 2 . . 01.5. A .13. C.D, E. GR) INITIALIZE f l t T 1/ALUES I N FILTER TO 0 . DO 1 N - 1 . 6 DO 1 M-1.4 1 X(N.M)-0. GENERATE 14.4E SEQUENCE G(M). DO 5 N-1.500 SET FILTER INPUT X ( 1 . 5 ) - - SEE EO. 1 4 - 5 . X(1.5)..SORT(12./.01)*(RAND(1.)-.5) GOTHreuGH 5 SECT IONS OF FILTER. CO 2 Na1.5 TEMP•AiN)ALX(I1.5)-2.4.X(N,3)+X(N.1)1-8(N)*X(N+1.4) 2 X(N+1.5)-TEMP-C(N)*X(N+1,3)-D.N)L.X(N+1.2)-E(N)*X.N+1.1) PUSH £011 FAST LALUES I N FILTER. DO 4 N - 1 . 6 DO 4 1e1-1.4 4 X(N.MM)sX(N.MM+1) SET G(M)-OUTPUT OF FILTER AND CONTIMUE. 5 G(M)•X(6.5) Mit etc= 1 ist das Ausgangsleistungsspektrum e gg dann 4n(fro) - 44(jco) 11(/(0) 12 - I H(./w) 12 ) d.h. in diesem Fall ist das Leistungsspektrum der simulierten Zufallsfunktion gleich dem quadrierten Betrag des Filterspektrums. Die Gesamtleistung der simulierten Funktion kann angepaßt werden, indem man einfach HGL.» mit einer Konstanten multipliziert. Beispiel 14-2: Man erzeuge eine Zufallsfolge mit der Leistungsdichte = I , die ihre gesamte Leistung bei Frequenzen zwischen 4 Hz und 12 Hz konzentriert hat, und benutze dazu das Abtastintervall T = 0.01 sec. Diese Aufgabe erfordert das in Bild 14-7 dargestellte Bandpaßfilter. In einem Allzweck-Rechner beginnt der Prozeß mit der Erzeugung der Zufallsabtastwerte [rin] im Intervall (0,1) der Bibliotheks-Subroutine. Jeder Wert rm wird dann wie in Gleichung 14-5 in einen Wert fm umgewandelt, und dann wird fm dem Bandpaßfilter zugeführt, um schließlich den gewünschten Abtastwertesatz [gni] zu erzeugen. _ Bild 14-8. Erzeugung der Zufallsfolge 6(M); M = 1,500 in Beispiel 14-2 Benutzt man das Bandpaßfilter von Anhang C mit fünf in Serie geschalteten Ab- SB 10 Bandpaß 11(z) faul II I 0 egg()=1 ff II 1 1 I 1 1 1 -10 -50 0 5 0 Hz 3 1 5 Hz Bild 14-7. Erzeugung einer Zufallsfolge in Beispiel 11-2 Anzahl der Abtaetwerte - 500 Dauer a 5 sec Bild 14-9. Zufallsfolge mit einer zwischen 4 und 12 Ilz liegenden Leistung et 316 Z u f a l l s f o l g e n undspektraleSchätzungen S c h ä t z u n g e n desLeistungsspektrums 3 1 7 Die gesamte Folge K J also eine Zufallsfolge mit der im Frequenzbereich zwischen 4 und 12 Hz konzentrierten Leistung, ist in Bild 14-9 dargestellt, wobei die Abtastpunkte mit geraden Linien miteinander verbunden sind. Da die Frequenzeinheiten hier Hertz und nicht Radiant pro Sekunde sind, ist die Gesamtleistung gerade das Integral des rechts in Bad 14-7 stehenden Spektrums, d.h. sie ist gleich 16; deshalb ergibt sich der Effektivwert von gin daraus zu V i 6 = 4. Man beachte, daß dieser Wert und somit die Durchschnittsleistung in gni geringfügig durch das "Einschwingen" von gm vermindert wird, das von der Ansammlung von Energie im Digitalfilter zu Beginn des Filterprozesses herrührt. 4. Schätzungen des Leistungsspektrums Das Schätzen des Amplituden- oder Leistungsspektrums einer Zufallsfunktion ist für sich allein schon ein ausgiebiges Thema, das einige ziemlich anspruchsvolle Hilfsmittel der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik erfordert. Die Literaturliste enthält vollständige Lehrbücher über dieses Thema. Im vorliegenden Abschnitt sollen einige praktische Methoden für das Schätzen des Leistungsspektrums unter Benutzung von Abtastdaten diskutiert werden. Die klassische Theorie der spektralen Schätzung, sowohl für den analogen als auch für den digitalen Fall, wurde von Blackman und Tukey (1958) angegeben. Sie diskutieren die Frage, wie detailliert und genau die spektrale Schätzung für eine gegebene Menge von Daten sein kann, eine Frage, der sich wieder Jenkins und Watts (1968) und auch noch andere Autoren zuwenden. Die Antwort von Bleckman und Tukey auf diese Frage wird in Abhängigkeit von Ra ausgedrückt, d.h. dem x-Prozentbereich, der in dB gemessen wird und der die geschätzten und tatsächlichen Spektralwerte mit x-prozentiger Wahrscheinlichkeit enthält. (Der „tatsächliche" Spektralwert kann als der Wert angesehen werden, den man von einer sehr langen stationären Aufzeichnung erhält.) Wenn zum Beispiel R.90 = 3 dB, so wird die spektrale Schätzung für ein gegebenes Frequenzband mit der Wahrscheinlichkeit 0.9 in ein 3-dB-Intervall um den tatsächlichen Spektralwert für dieses selbe Frequenzband fallen. Wie von Blackman und Tukey g r i g t ; hängt der Bereich RK von N/M ab, dh. von dem Verhältnis der Gesamtzahl von Abtastwerten zu der Zahl der Frequenzbänder. Die Frequenzbänder sind wiederum gleiche Scheiben aus der positiven co-Achse von 0 bis rr/T. Die Nällrungsbeziehung•Ilutet (unter der Annahme, daß der Satz von N Abtastwerten wie ein einzelnes „Stück" von Dateritehandelt. wird; siehe [Blackman und Tukey, 19581): K(N/M — 0.833)412: x I 80 9 0 9 6 9 8 K 1 1 . 2 14.1 17.7 20.5 ( 14-7) so daß K = 11.2 für den 80%-Bereich usw. Der Bereich Rr ist als Funktion von 10 1 0 0 N Z a h l der Abtastwerte M Z a h l d e r Frequenzbänder 1000 Bild 14-10. Vertrauensintervalle für die spektrale Schätzung N/M in Bild 14-10 aufgetragen. Wenn N/M groß wird, verengt sich der durch das Bad oder durch Gleichung 14-7 gegebene Bereich annähernd um den tatsächlichen Spektralwert. Die Kurven in Bild 14-10 geben eine Antwort auf die Frage, warum man nicht das Leistungsspektrum einer Zufallsfolge berechnen kann, indem man einfach den quadrierten Betrag ihrer DFT nimmt (siehe Kapitel 13, Abschnitt 6). In diesem Fall würde M gleich N/2 sein; deshalb wäre N/M gleich 2, und das Vertrauens. intervall um jeden berechneten DFT-Wert wäre sehr groß. (Das Vertrauensintervall ist der Bereich Rx, der ungefähr um den geschätzten Spektralwert herum liegt.) Offensichtlich würde man sehr wenig Kenntnis von dem tatsächlichen Leistungsspektrum gewinnen, wenn man nicht die berechnete DFT in irgendeiner Weise „glättet". Gerade dieser Begriff des Glättens der spektralen Schätzung und auch der Wunsch nach Begrenzung der Rechenzeit für sehr lange Aufzeichnungen hat zu den modernen Methoden der spektralen Schätzung geführt. Bevor wir darangehen, das Spektrum zu schätzen, ist es zusätzlich zu der oben beschriebenen Wahl der Frequenzbänder wünschenswert, einige weitere Vorsichtsmaßregeln über die Daten zu beachten: 3 1 8 Z u f a l l s f o l g e n und spektrale Schätzungen Schätzungen des Leistungsspektmms 1. D i e Schätzung wird durchgeführt, als ob die Zeitfolge stationär wäre; daher können Änderungen im Frequenzinhalt über die Dauer der Datenaufzeichnung hin irreführende Resultate ergeben. 2. E s ist empfehlenswert, sowohl den Mittelwert als auch alle irgendwie signifigkanten „Trends" (stetige Änderungen) in den Daten zu eliminieren, bevor man die Schätzung durchführt [Bingham, Godfrey und Tukey, 1967]. (Um dies zu erreichen, kann man die Daten z ß . durch ein Hochpaßfilter schicken.) 3. I n d e m man die Enden der gemessenen Zeitfolge mit einer Glättungsfunktion multipliziert, z.B. einer Halbcosinusglocke, die sich ungefähr in 1/10 des Aufzeichnungsbereiches hinein erstreckt [Bingham, Godfrey und Tukey, 1967], kann man an den Enden des Abtastwertesatzes einen abgerundeten Übergang nach Null erzeugen und auslaufende kleine Wellen in der Nachbarschaft der Spektralspitzenwerte vermindern, wie dies in Kapitel 7 beschrieben wurde. Wenn man die Punkte 1 und 2 betrachtet, ist zu bemerken, d 4 eine wie im Beispiel 14-2 erzeugte Zeitfolge bei genügender Länge einen nahe bei Null liegenden Mittelwert und Trend haben wird, weil Frequenzanteile, die nahe bei Null liegen, durch das Bandpaßfilter zurückgewiesen worden sind. Eine Methode der spektralen Schätzung benutzt die komplexe Demodulation [Bingham, Godfrey und Tukey, 19671. Bei dieser Methode wird die Zeitfolge f(t) mit einem sinusfönnigen Träger e-IPI multipliziert. Dies ist eine gewöhnliche Amplitudenmodulation und hat die Wirkung, die Frequenzanteile um die Frequenz ß im Signal f(t) in die Nähe der Frequenz Null in der demodulierten Zeitfolge zu verschieben. Indem man dann die Ausgangsleistung einer durch einen Tiefpaß geschickten Version von f(t)e-Ißt mitten, kann man die Leistung in f(t), die in einem Frequenzband um ß herum liegt, schätzen. Die in Bild 14-11 dargestellte Kammfiltermethode ist ersichtlich sehr ähnlich zur komplexen Demodulation und sei nun zum Zwecke der Veranschaulichung verwendet. Der einzige Unterschied besteht darin, daß hier eine Bandfilterung die Demodulation mit Tiefpaßfilterung ersetzt. Jeder Zahn des Kammes ist ein Bandpaßfilter, dessen Ausgangssignal quadriert und gernittelt wird, um die Gesamtleistung innerhalb des Durchgangsbandes zu erhalten (sowohl bei negativen als auch bei positiven Frequenzen). Jedes Ausgangssignal wird durch die Bandbreite Av geteilt, so daß die Einheit von 4) lautet: „quadrierter Betrag pro Hertz." Insgesamt gibt es M geschätzte Spektralwerte von 4,1 bis em in Bild 14-11. Somit wird das Leistungsspektrum in Form eines Histogramms mit M Balken erzeugt. Man beachte, daß dies ein „positives Leistungsspektrum" ist, dh. wie oben bemerkt stellt jedes 4'k die gesamte Leistung von negativen und positiven Frequenzen dar. In Bild 14-11 wird angenommen, daß die spektrale Schätzung auf N Abtastwerten von f ( t ) beruhen soll, so daß das Ausgangssignal eines jeden Zahnes quadriert, rill Hillud 1142 ( i . ) 1 f(t) 3 1 9 1 r 2 1 NtivL, [82.1 1 2 °2 h i e v t -v• g2tR A—D I Itm(icd)I (seil 1 v. 2 M N ä v L , seilt 2 Bad 14-11. K a m m f i l t e r zur Schätzung des Leistungsspektmms, das die Wirkung der komplexen Demodulation veranschaulicht. Die Breite jedes Durchlaßbandes = A u hertz summiert und dann durch N geteilt wird, um die spektrale Schätzung zu erhalten. Jede Summe sollte alle Filterausgangssignale, die von Null verschieden sind, enthalten. Somit kann es mehr als N Terme in jeder Summe geben, um auch die verbleibende gespeicherte Energie im Filter zu berücksichtigen, nachdem die N Abtastwerte von f(t) eingesetzt worden sind. (Dies ist äquivalent zu der Definition fin = 0 für m > N, wobei man dann m von 0 bis so in jeder Summe von Bild 14-11 gehen lassen kamt.) Aus Gründen der rechnerischen Effizienz ist die Demodulation mit Tiefpaßfilterung im allgemeinen der Bandpaßfilterung vorzuziehen. Das wichtige Kennzeichen jeder der beiden Methoden ist jedoch, daß man leicht N, die Zahl der zur Schätzung von 4, in Bild 14-11 benutzten Terme, variieren kann. Somit kann man N daran anpassen, entweder lokale Schätzungen eines sich ändernden Leistungsspektrums oder globale Schätzungen eines als stationär angenommenen Spektrums durchzuführen [Bingham, Godfrey und Tukey, 1967]. Es ist hier auch, im Gegen! Kitz zu der nächsten zu besprechenden Methode leicht, nur gewisse Teile des Spektrums zu analysieren, dh. einige der Bandpässe in Bild 14-11 auszulassen und auch Bandpässe mit sich ändernder Breite zu benutzen, wobei man auf diese Weise für •veränderliche Grade der spektralen Mittelung sorgt. Beispiel 14-3: Man messe das Leistungsspektrum einer Folge, die wie in Bild 14-7 erzeugt wird, wobei man T = 0.01 und N = 5000 Abtastwerte der Zufallsfolge benutze. Wenn man von dem Schema in Bild 14-11 mit Av = 1 Hz ausgeht, dann muß, da die Nyquist-Frequenz in diesem Falle gleich 50 Hz ist, die gesamte Zahl der Bänder M = 50 sein. Somit ist N/M = 100, und Bild 14-10 gibt den 90%-Bereich bei ungefähr 1.42 dB an. Ein typisches Resultat ist in Bild 14-12 gezeigt. Wie 320 Z u f a l l s f o l g e n und spektrale Schätzungen Schätzungen des Leistungsspektrums 3 2 1 90% B e r e i c h f ü r N / M Für N gegebene Abtastwerte von f(t) bei t = 0, T . . . . . (N- 1 ) T ist deshalb im allgemeinen die beste Schätzung von soff(mT) das mittlere verzögerte Produkt 1 0 0 N- - I m a 0, 1, 0 20 3 0 1.0 M ( 1 4 - 9 ) Zwei hauptsächliche Überlegungen gibt es bei der Wahl von M, der Maximalzahl von Verzögerungen in Gleichung 14-9. Die erste und offensichtlichste ist, daß es in der letzten Summe nur N—M Terme gibt. Deshalb kann M die Größe N nicht übersteigen und M muß in der Tat beträchtlich kleiner als N sein, um ein sinnvolles mittleres verzögertes Produkt für die größeren Werte von m zu bekommen. Berücksichtigt man die Tatsache, daß bei großem m das Produkt rm nicht sonderlich genau sein wird, ist es oft empfehlenswert, rm m i t einem „Verzögerungsfenster" wie dem Hanning-Fenster x(t) in Bild 14-13 zu multiplizieren, um r(t), die Einhüllende von rm zu zwingen, bei großen Werten von m auf Null herunterzugehen. Der Gebrauch des Hanning-Fensters und anderer Dtenfenster wird im Kapitel 7 diskutiert. Das Multiplizieren von r(t) mit x(t) hat die Wirkung einer Faltung der Transformierten von x(t) und r(t), wobei das Spektrum von r(t), wie in Kapitel 7, Abschnitt 4, beschrieben, geglättet wird. 50 Frequenz i n Hz Bad 14-12. Berechnetes Leistungsspektrum in Beispiel 14-3;t4 = 5000. Die ganze Leistung liegt bei positiven Frequenzen erwartet ergibt die Rechnung, daß der Großteil der Leistung im Bereich von 4 bis 12 Hz konzentriert ist, bei ungefähr 2 quadrierten Amplitudeneinheiten pro Hertz (d.h. 3 dB), wobei die ganze Leistung, wie oben erklärt, bei positiven Frequenzen liegt. Als ein weniger wichtiger Punkt sei auch erwähnt, daß das tatsächliche Spektrum in diesem Falle nicht ganz rechteckig ist, was daher rührt, daß die Folge durch das digitale Filter in Bild 14-7 erzeugt wurde. Das tatsächliche Leistungsspektrum fällt auf 1% (oder 20 dB) bei ungefähr 3.5 Hz und 13.5 Hz von seinem Maximum ab, anstatt genau bei 4 Hz oder 12 Hz. Eine andere Methode für das Schätzen des Leistungsspektrums von f(t), die effektiv dieselbe wie die obige, aber in der Durchführung verschieden ist, könnte man die Autokorrelationsmethode nennen. Diese Methode beruht auf den Beziehungen i n Kapitel 13, Abschnitt 6 , und sie besteht i m wesentlichen aus zwei Schritten: 1. M a n schätzt ,,aff(r), die Autokorrelationsfunktion von f(t). 2. D a n n berechnet man die DFT einer modifizierten Version dieser Schätzung, um eine Schätzung des Leistungsspektrums eff(jw) zu erhalten. Um die Formel für die Schätzung von eff(r) zu entwickeln, erinnere man sich, daß soff(r) der Erwartungswert bzw. der Durchschnittswert des Produktes von f(t) mal f(t + r) ist, d.h. eff(*) = El + (14-8) 1 1 0 ter Bad 14-13. Henning-Fenster x(1), das benutzt wird, um das mittlere verzögerte Produkt r(t) bei t = MT auf Null zu zwingen Die zweite Überlegung bei der Wahl von M besteht darin, daß, da eff(jca) die Fourier-Transformierte von ,pff(r) ist, die spektrale Schätzung 4'n als die Transformierte des Abtastwertesatzes [rm1 oder [xmrm 1 genommen werden und des-1 halb selbst aus einem Satz von M unabhängigen Werten in regelmäßigen Intervallen von w = 0 bis w = tr/T bestehen muß. (Die Korrelationsschätzungen sind, wenn: ein Fenster eingeführt wird, nur näherungsweise unabhängig.) Deshalb ist M wieder gleich der Zahl der Frequenzbänder in der spektralen Schätzung und muß fü( ein vorgegebenes Vertrauensintervall wie in Bild 14-10 gewählt werden. Geht man aus von der Definition von 4tff(ji...,) in Kapitel 13 und benutzt (rin xn ,) als geschätzten Abtastwcrtesatz von k i ( r ) , so wird die spektrale Schätzung der Leistung 322 Z u f a l l s f o l g e n und spektrale Schätzungen 41(jo) f Schätzungen des Leistungsspektrums pff(r)e-r'•' dr 4. r„,x„,Te-fi''T ( 1 4 - 1 0 ) Aber hier hat, wie gerade erwähnt, die Näherung die Form einer OFT, und so können die unabhängigen Abtastwerte (Kapitel 5, Abschnitt 2) der spektralen Schätzung für folgende Frequenzen berechnet werden: nr — n M T. 0 , I, M - I Bei diesen Frequenzen ergeben sich deshalb die geschätzten Spektralwerte zu 4). - T [ 14 E A d ) M . T Er„,x„,cos mal" 2 + ro .-1 M 3 2 3 (14-15) T [rb + 2 E r.or.,cos I n a ] zu jeder Frequenz nr mr' (14-16) und denkt daran, daß das Spektrum in dieser Schätzung zweiseitig und nicht auf positive Frequenzen konzentriert ist. Die spektrale Schätzung [4n] ergibt sich in Einheiten von quadrierten Amplituden pro Hertz. Beispiel 14-4: Man löse das Beispiel 14-3 wieder und benutze dieses Mal die obigen Schritte zur Berechnung der spektralen Schätzung. liier werden wieder N = 5000 Abtastwerte und M = 50 Frequenzbänder gebraucht, so daß das Resultat direkt mit dem in Bild 14-12 verglichen werden kann. Ein typisches Ergebnis für dieses Beispiel ist in Bild 14-14 gezeigt. Dort sind die mittleren verzögerten Produkte 20 50 berechnete Werte von rm (14-12) (Die zweite Zeile i n Gleichung 14-12 folgt, weil die Autokorrelationsfunktion gerade ist, d.h. hier wird rm = a n g e n o m m e n . ) 10 Um die Autokorrelationsmethode für das Schätzen des Leistungsdichtespektrums einer Zufallsfunktion zusammenzufassen, seien die folgenden Schritte aufgelistet: 0 1. M a n ermittelt den Abtastwertesatz [ f j , n = 0, 1N - 1 und versichert sich, daß im Abtastprozeß spektrale Überschneidungen vermieden werden. -10 5 2 • 0 • • s. . • .i . • f 5 0 2. M a n wählt eine angemessene Zahl M gleicher Frequenzbänder von w = 0 bis co = rr/T. rn, - 1 N - m -5 E (Die Berechnung kann wie i n Gleichung 14-13 verlaufen oder indem man das entsprechende Produkt der FFTs nimmt, siehe Kapitel 7, Abschnitt 4. Das letztere Verfahren ist vorzuziehen, wenn N groß und die Rechenzeit von größerem Gewicht ist.) 4. M a n wählt ein Fenster. Hier ist das empfohlene Fenster gegeben durch - 2 -(1 + cos — ) • 5. M a n berechnet die spektralen Schätzungen R99 f ü r 0 3. M a n berechnet das mittlere verzögerte Produkt (14-14) -10 -15 20 -40 Leistungsdichte (dS) -30 - 2 0 - 1 0 0 1 0 Frequenz (02) 2 0 3 0 4 0 5 0 Bld 14-14. Autokorrelationsfunktion und zweiseitiges Leistungsspektrum, hei denen die Autokorrelationsschätzmethode für 5000 Abtastwerte der Zufallsfunktion in Bild 14-9 benutzt wurde. Vergleiche mit Bild 14-12 324 Z u f a l l s f o l g e n und spektrale Schätzungen Übungen 3 2 5 [ru)] vom obigen Schritt 3 und [en] in dB vom Schritt 5 aufgetragen. Unter Zuhilfenahme von Bild 14-10 ist der 90%-Bereich wieder im Bild gezeigt. Man beachte, daß das Resultat ganz vergleichbar mit dem von Bild 14-12 ist, mit Ausnahme der Tatsache, daß das Spektrum hier zweiseitig anstatt einseitig wie im Falle des Kammfilters ist. Noch eine andere Methode der Schätzung des Leistungsspektrums von f(t) und vielleicht die schnellste und direkteste besteht darin, den t-Bereich in eine Anzahl von Abschnitten gleicher Länge zu teilen, ein diskretes Spektrum für jeden Abschnitt mit dem FFT-Algorithmus zu berechnen und dann das skalierte Mittel der quadrierten Werte dieser Schätzungen für die spektrale Schätzung der Leistung zu benutzen (siehe Kapitel 13, Abschnitt 6). Diese Methode wurde 1967 von Welch beschrieben. Bei der Berechnung des diskreten Spektrums eines jeden Abschnittes aus f(t) schlägt Welch vor, jedem Abschnitt ein Datenfenster nach Art des obigen Fensters x(t) aufzuprägen, um die Schätzung von Sn(jw), wie früher beschrieben, abzurunden. Bei dieser Methode wird die Zahl M der Frequenzbänder zur Zahl der unabhängigen FFT-Werte oder zur Hälfte der Zahl von Abtastwerten in einem Abschnitt. Somit kann man M durch Wahl der Abschnittslänge wählen. Benutzt man die Schreibweise F k , für die n-te FFT-Komponente des k-ten von K Abschnitten, jede mit 2 M Abtastwerten, so lautet die spektrale Schätzung - T L , 17012; n 2MKW k., - 0, . , - (14-17) wobei T = Abtastintervall in Sekunden; M = Zahl der Frequenzwerte von 0 bis 1/2T Hz; K = Zahl der Abschnitte; W = mittlerer quadrierter Wert von x(t); k n = FFT-Komponente bei n/2MT Hz. Man beachte den Gebrauch von W, des mittleren quadrierten Wertes von x(t), der dazu dient, den Leistungsverlust durch das Datenfenster zu kompensieren. Wenn die gesamte Aufzeichnungslänge von f ( t ) sehr groß ist, wird es offenbar am besten, unzusammenhängende, nichtüberlappende Abschnitte zu benutzen. Wenn die Länge begrenzt ist, zeigt Welch (1967), daß eine fast maximale Verringerung der Varianz der Schätzung von eff(jw) durch die Benutzung halbüberlappender Abschnitte erreicht werden kann, dh. bei K = N/M - 1. 5. Übungen 1. Skizziere die Autokorrelationsfunktion, die zu dem Leistungsspektrum in Bild 14-2 gehört. Bezeichne die signifikanten Werte. 2. Erkläre, warum eine Funktion des weißen Rauschens den Mittelwert Null haben muß. 3. W i e heißt die Gesamtleistung einer Rauschfunktion f(t), wenn die Amplitudenverteilung p(f) zwischen ( - I , +1) gleichmäßig ist? 4. W i e heißt die Gesamtleistung von f(t), wenn p(f) gegeben ist durch a ) P ( i ) - { . 0: 1 / 1 k t ( (K - I 11)1K2; 1 1 ' 1 5 K b ) n . f ) - (I/2)e-111 5. E i n Rechenprogramm erzeugt unabhängige, gleichwahrscheinliche Zufallszahlen zwischen 0 und 100. a) Gib einen Algorithmus an, der diese Zahlen in Abtastwerte des weißen Rauschens einer Funktion mit der Leistung P = 10 umwandelt. b) Skizziere die Amplitudenverteilung und das Leistungsspektrum für ein vorgegebenes Abtastintervall von T = 1 msec. 6. We n n die Varianz der Abtastwerte des weißen Rauschens gleich 1/T gesetzt wird, a) wie wirkt sich dies auf das Leistungsdichtespektrum aus? b) was ergibt sich, wenn das weiße Rauschen gefiltert wird? 7. Stelle für die Abtastwerteverteilungen von Aufgabe 4 a und 4 b fest, wie man die Abtastwerte skalieren sollte, damit die Gesamtleistung des weißen Rauschens gleich Eins ist. 8. E i n Rechner erzeugt unabhängige, gleich wahrscheinliche Abtastwerte zwischen 0 und 1. Gib eine Formel an, diese in Abtastwerte des weißen Rauschens mit der Einheitsleistungsdichte umzuwandeln. Gehe von einem Abtastintervall T = 0.03 sec aus. 9. Zeige, wie man unabhängige, normal verteilte Abtastwerte mit p = a = 2 in Abtastwerte des weißen Rauschens mit der Einheitsleistungsdichte umwandelt; Abtastintervall ist T. 10. Abtastwerte [Cm 1 des weißen Rauschens mit einer Einheitsleistungsdichte von w = - TO' bis + rr/T und mit T = 0.5 sec werden wie folgt gefiltert: g. - 104_1 + - 16g,„_2 Skizziere das Leistungsdichtespektrum 4'gg(jw). 326 Z u f a l l s f o l g e n und spektrale Schätzungen 11. G i b den vollständigen algoritlunischen Entwurf an für ein System mit T = 0.01 sec, das eine Zufallsfolge erzeugt und dessen Leistungsspektrum angenähert wird durch 100 41gg(i10) +1 12. N i m m an, eine Abtastrelhe [gm ] sei in einem FORTRAN-Feld G(M), M = 1 . . . . . 5000 gespeichert. Wenn noch T = 10 µsec gegeben ist, schreibe ein FORTRAN-Programm, u m egg(jco) i n den Bändern 1 0 - 2 0 kHz und 20-30 kHz abzuschätzen. Benutze die Subroutine BPDES im Anhang C. 13. ' W i e heißt in Aufgabe 12 der 9696-Vertrauensbereich bei der spektralen Abschätzung? 14. N i m m wieder wie in Aufgabe 12 an, daß [grn] in G(M), M = 1, . . , 5000 gespeichert sei und daß T = 10 µsec sei. Schreibe ein Programm, um alle Werte von 43, mit der Autokorrelationsmethode so zu berechnen, daß der 9010-Bereich nicht mehr als ein dB um den tatsächlichen Wert herum liegt. Einige Antworten 1. 4 ( 0 ) - P, f ( T ) 0 at r n r I c a , , , 2. siehe Abschnitt 2 3. 1 / 3 4b. t r , 2 5a. f , - ‘41.012 — 50) 8. f„ - 20(r„ - 1/2) 9. f . — (r„ — 2)/(2 11. Hinweis: Siehe Bild 14-6. H(jco) ist als Butterworth-Filter zu behandeln. Literaturhinweise Bingham, C., Godfrey, M. D., und Tukey, J. W.: Modern Technklues of Power Spectrurn Estimation, IEEE Trans. AU-15, No. 2, Juni, 1967, S. 56. Blacktnan, R. 8., und Tukey, J. W.: The Measurement of Power Spectra. New York: Dover Publications, 1958. Childen, D. G., und Pao, M-T.: Complex Demodulation for Transient Wavelet Detection and Extraction. IEEE Trans. AU-20, No. 4, Oktober, 1972, S. 295. Doriam L. V.: Digital Spectral Analysisilkesisl. Monterey, Calif.: Naval Post-Grad uate School, AD861229, September, 1968. Jenkins, G. M.: General Considerations in the Analysis of Spectra. Technometrics. Bd. 3, No. 2, Mai, 1961, S. 133. Jenkins, G. M., und Watts. D. G.: Spectral Analysis. San Francisco: Holden-Day, 1968. Übungen 3 2 7 Laning, 1 H., Jr., und Bott In, R. H.: Random Processes in Automatic Control. New York: mcGraw-Rill, 1956. Parzen, E.: Mathematical Considerations in the Estimation of Spectra. Technometrics. Bd. 3. No. 2, Mai, 1961, S. 167. Richards, P. L: Computing Reliable Power Spectra. IEEE Spectrum, Januar, 1967, S. 83. Welch, P. D.: The Use of Fast Fourier Transform for the Estimation of Power Spectra. IEEE Trans. AU-15, No. 2, Juni, 1967, S. 70. Anhang A Laplace- und z-Transformationen Der erste Ted dieser Tabelle enthält Operatioraransfonnationmaare, wie z.B. die Transformation der Ableitung von f(t) usw. Der zweite enthält eine Liste ex. pliziter Transformationen. Wichtig ist die schon in Kapitel 9 diskutierte Eigenschaft, daß f I t ) in dieser Tabelle fur t < 0 immer gleich Null Ist. Wenn jedoch z-Transformation Zeile L a p l a c e Transformation , A F ( s ) - / f (1),-" dt I (I) -n H A F(s) 1 * C F ( s ) + G(s) J ( D s F (s) - f (0+ ) F(s) s F d — F(s) ds - G F ( s + a) 1 a F ettit H (as) t ( z t A E die Verschiebetheoreme angewandt werden, „beginnt" f(t) nicht mehr bei t = 0. Wenn zum Beispiel ?(z) = Tz/(z-1)2 mit z - ^ multipliziert wird, dann ist die modifizierte Venion von f(t) eine Rampenfunktion, die bis t - nT gleich Null ist und danach gleich (t - nT). ( 0 t — ) d L d t I l e ( ' — E .1,,,z"" .0 A + g(t) t ) u i P(z) ( z ) + ä(z) »t) f (r)ch 1 ) s - (zz7'iier dz [1(2)1 f (1): a > 0 I (+) : a > o P F ( 0 ;> T \n )fr— (s F ".1 e H z-^ t(z) z ) mit j i - • T e - Zeile F ( s ) 100 1 Irrfür: > 0 5(r); j " - + bei nt - 0 H m s . u(t); f , F(z) T I für m > 0 z- I 102 103 1: 53 Tz (z 1 — r2 T2z(z + 1) Anhang A: Laplace- und z-Transformationen PO für k 0 Zeile F ( s ) 154 1 (s + a)k+I 155 a s(s + a) te k! e (1 - e - a ) z (1 - 1)(z - e-sT) I - e' 1- e ' Tz ( 1 - e-a)z (z - 1)2 a ( z - I)(z - e- a ) (2 r - 2 I +2 • 2 2 T2z ( a T - 2)Tz (z - 1)3 + 2a(z - 1)2 + a2(7 - 1) 156 157 (-Oh a k k !aah(z - e•-a) a s3(s + I 2 ! a2 z 158 200 i [ k b - a (s + a)(s + b) s + (• oh k 1 }k ( k _ k a 2 + (-1)*-1 —k!k a a k 204 to i n 205 s 2 -( • oh 206 tu k! e a - ` 1 k — )k (-1 t+ It" + h - e-erz-I ah k! z-o axk[(i. + a)(1 - e n z - I ) ] Z — r b r _ ereT z ( - D T z sin coT - 2z cos toT + 1 cos tot n 1 (c - a)z ( b - c)z (et f(e)für i ak 1 (c - a ) e " + (b - c ) e " J2 + • m 2 s 1 ) rk- 2 Z — C-47. Zeile F ( s ) 203 - e-" 201 ( b - a)(s + c) (s + a)(s + b) 202 + a k! sk+I(s + a) (_1)2+1 tot32-tO 2 cosh tot e- n sin tot 0 F ( z ) z(z - cos wT) 72 - 2z cos toT + 1 z sinh (er - 2z cosh toT + z(z - cosh toT) z2 - 2z cosh toT + 1 i r r sin toT Zeile s) f i t ) für (s + a)(s + b)(s + c) (b - a)(c - a) ( a - b)(c - b) F ( 0 e-ar 302 (b - a)(c - a)(z - C a . ) e" (a - c)(b - e) • (a - b)(c - b)(z - e n . ) a. z • (a - c)(b - c)(z - e er) 303 s+ d (s + a)(s + b)(s + r) (d - a) e_s, + ( d - b) e _ b r (b - a)(c - a) ( a - b)(c - b) ( + ( d - c) e_4., (a - c)(b - c) ( ( b d - a)z - a)(c - a)(z - r a r ) a ( d - b)z - b)(c - b)(z - e b r ) + a2 s(s + a)2 305 a 2 ( s + b) s(s + a)2 306 ( a - b)2 (s + b)(s + '2)2 1 - (1 + a t ) e " b - b e n + a(a - b ) t e ' rt2N z- I aTe•TZ z — r a r ( z _ e'T)2 bz b z - - e i " + (a - 0 (d - c)z (a - c)(b - c)(z - er?) + 304 n n 1 z - eir r a ( a - r a r z + - b ) Te a z ( Z - 0-.7)2 - tra (0 - b ) Te i r z (2 _ c e r ) : Zeile F ( sI 307 ( a — b)3(s + c) (s + h)(s + a)2 f ( t ) für t,>_› 0 P (c - b)e-br + (b - c)e-'s - (a - b)(c - a ) t e " ( z ) (c - b)z ( b - c)z z - eET z - r a r (a - b)(c - a)Te'rz (2 _ e-oz): 308 0:2 S(S2 - 309 w1) 2 cosh ret — I z(z - cosh wT) z2— 2z cosh wT + I z z(z — cos wT) - I Anhang A: Laplace- und z-Transformationen 334 A n h a n g A: Laplace- und z-Transformationen Anhang 13 E. A 3I Routine für die schnelle Fourier-Transformation 8 + St 3 Dieser Anhang legt einen FFT-Algorithmus in der Form einer FORTRAN-Subroutine vor. Ein einfaches Testprogramm und seine Resultate werden auch dargelegt, so daß der Leser die Operation der Subroutine verifizieren kann. ti C bi— e' sec 0 cos (DA + 8) C. N ti .0 I Es ist ersichtlich viel leichter, die DFT in einfacher Form zu programmieren (wie in Kapitel 5), als einen der FFT-Algorithmen in Kapitel 6 heranzuziehen, und die einfache DFT-Form sollte man daher immer vorziehen, wenn die Rechenzeit vernachlässigbar ist. Dies ist o f t der Fall, wenn die Zahl der Abtastwerte klein ist oder wenn nur ein paar Frequenzkomponenten benötigt werden. Aber wenn die Rechenzeit ein wesentlicher Faktor wird, erbringt die FFT signifikante Einsparungen, wie dies in Kapitel 6 beschrieben wurde. I /3 Die FFT-Subroutine, die in Bild B-1 aufgelistet wurde, benutzt die Zeitzerlegung mit Bitumkehr am Eingang, d.h. die erste in Kapitel 6 dargebotene Methode. Eine ähnliche Routine ist von Brenner (1967) angegeben worden. Wie schon in Kapitel 6 beschrieben, führt die Routine die Rechnung aufaddierend durch, so daß nur ein einziges Speicherfeld erforderlich ist. Die FORTRAN-Aufruf-Folge heißt CALL FFT(FR, FI, K) O I 3 c st. •— tl -o 8 es 2 , 4 .0 1 , 01 • i *:40 „ -lt O b Ö .0 0 3 wobei FR und FI Felder sind, welche die Real- und Imaginärteile des Abtastwertesatzes [ f r ; n = 1, 2, . . . , NI enthalten, sowie N = 2K (d.h. N ist eine Zweierpotenz). Man beachte, daß bei reellem f(t), was im allgemeinen in diesem Buch der Fall ist, das FI-Feld anfangs auf Null gesetzt werden muß, so daß (fril nur in dem FR-Feld enthalten ist. Die Bitumkehr am Eingang Emdet im ersten Teil der Subroutine statt, im wesentlichen in der „DO 2"-Schleife. Während die Variable M normalerweise von 1 bis N-1 zählt, zählt MR in der Bitumkehr-Ordnung, und Wechsel in den Daten-Reihen des Eingangs finden immer dann statt, wenn MR größer als M ist. Im zweiten Teil der Subroutine, nach Statement 3 , verläuft die FFT wie in Bild 6-7 von Kapitel 6. Die Sinus- und Cosinus-Berechnungen sind der Einfachheit halber in die Subroutine eingebettet worden. Die FFT-Rechenzeit wäre natürlich kürzer, wenn diese Funktionen tabelliert wären, bevor die Routine ausgeführt wird, und die drei Zeilen, die mit A, WR, und WI beginnen, entsprechend geändert würden. 3 3 • .0 "ra 8 t Das folgende Beispiel ist ein Testfall für die FFT-Subroutine. Dieses Beispiel veranschaulicht auch die Näherungsbeziehung zwischen der Fourier-Transformation und der OFT, wie dies in Kapitel 5 diskutiert wurde. Die abgetastete Kurvenform ist f(t) = e- t sin t, was in Bild 5-2 dargestellt ist. Es gibt N = 16 Abtastwerte mit dem Abtastintervall T = 0.375. • • • 336 A n h a n g B: Routine für die schnelle Fourier-Transformation A n SUBROUTINE EFT (FR, F K ) C - FRST FOUR I ER TRRNSFORM US ING T I M E DECOMPOS I T ION C - WITH INPUT B I T REVERSRL. C - DRTR I S I N FR ( R E A L ) AND F I ( I i R G I N R RY ) ARRAYS. C - COMPUTRT ION I S I N PLACE, OUTPUT REPLACES INPUT. C - NUMBER CIF POINTS MUST B E N = 2 * * K . C - F R ( N ) AND F I ( N ) MUST BE DIMENSIONED I N MAIN FROGRAM. DIMENSION F R ( 1 ) , F 1 ( 1 ) N=2**K MR=0 NN=N-1. 00 2 t•1=1, NN L=N 1 L = 1 2 2 IF(MR+L. GT. NN) GO TO I MR=MOD(MR,L)+L IF(MR. LE. P1) GO TO 2 TR=FR(li+1) FR(M+1)=FR(MR+1) FR(MR+1)=TR Ti=Fi *2+C(K ) Cc - THUS, I F F ( A ) AND G(A) ARE THE INPUT RND OUTPUT OF THE CKTH SECTION RT TIME t l * T, THEN Anhang C: Programme für den Entwurfdigitaler Filter 340 A n h a n g C: Programme Air den Entwurf digitaler Filter 3 4 1 Routine C-I (Fortsetzung) G(M)=A(K)*(F(M)+2*F(A-1)+F(M-2))-B(K)*G(M-1) -C(K)*G(M-2) SUBROUTINE LF'DES(FC, T, NS, A, 8, C. GRAF) DIMENSION A ( 1 ) , 1 3 ( 1 ) , C ( 1 ) . GRAF(2. 1 0 ) PI=3. 1415926536 WCP=SIN(FC*PI*T)/COS(FC*PI*T) DO 1 2 0 K=1,NS C S = C O S ( F L O AT ( 2 * ( K + N S ) - 1 ) * P I / F L I AT ( 4 * N S ) ) X=1. 1 ( 1 . +WCP*WCP-2. *WCP*CS) R(K)=WCP*WCP*X B(K)=2. *(WCP*WCP-1.)*X 120 C ( K ) = ( 1 . +WCP*WCP+2. *WCP*CS)*X DO 1 3 0 K = 1 , 10 GRAF(2,K)=. 9 9 - . 9 8 + F L O AT ( K - 1 ) / 9 . X=ATAN(WCP*(1. / G R A F ( 2 , K ) - 1 . ) * * ( 1 . 2 F L O AT ( 4 * N S ) ) ) 130 G R A F ( 1 , K ) = K A P I * T > RETURN END Routine 0.2 C - HPDES C - HIPASS BUTTERWORTH D I G I TA L F I LT E R DESIGN SUBROUTINE. C - INPUTS RRE CUTOFF ( 3 -OB) FREQUENCY FC I N HERTZ, C - S A M P L I N G INTERVRL T I N SECONDS, A N D C N U M B E R NS OF F I LT E R SECTIONS. C - OUTPUTS RRE NS SETS OF F I LT E R COEFFICIENTS. I . E . , C A ( K ) THRU C ( K ) FOR K = 1 THRU NS, R N D C 1 0 PA I R S OF FREQUENCV-AND POWER GAIN, I . E . . C G R A F ( 1 , K ) RND G R A F ( 2 , K ) FOR K = 1 THRU 1 0 . C - NOTE THAT R ( K ) , G ( 1 0 , C ( K ) . A N D GRAF(2,10'flAUST B E C - D I M E N S I O N E D I N THE CALLING PROGRAM. C THE KTH C - THE D I G I TA L F I LT E R HAS NS SECTIONS I N CASCADE C - S E C T I O N HFG THE TRANSFER FUNCTION C f_ - R ( K ) * ( Z * * 2 - 2 * Z + 1 ) C - H ( Z ) z**2+B(K)*Z+C(K) C C C - THUS, I F ECU) RND G(11) RRE THE I N P U T AND OUTPUT O F THE C - K T H SECTION RT T I M E A * T, T H E N C C - G i A ) = A ( K ) * ( F ( M ) - 2 4 (A-1)+F(A-2))-B(K)*G(M-1) C (K)*G ( (1-2) SUBROUTINE HPDES(FC, T, NS, A, B. C, GRAF) DIMENSION A ( 1 ) , B ( 1 ) , C ( 1 ) , G R A F ( 2 , 1 0 ) PI=3.1415926536 WCP=SINCFC4FI*TMCOS(FC*PI*T) DO 1 2 0 K=1.NS CS=COS(FLORT(2*(K+NS)-1)*PI/FLOAT(4*NS)) A(K)=1./(1.+WCP*WCP-2. *WCP*CS) 13(K)=2. * ( W C P * W C P - 1 . ) * A ( K ) 120 C ( K ) = ( 1 . +WCP*WCP+2.*WCP*CS)*A(K) DO 1 3 0 K = 1 , 1 0 GRAF(2,K)=.01+. 9 8 + F L O AT ( K - 1 ) / 9 . X=RTAN(WCP*(1. 2 G R A F ( 2 , K ) - 1 . ) * * ( - 1 . 2 F L O RT ( 4 * N S ) ) ) 130 G R A F ( 1 , K ) = X 2 ( P I * T ) RETURN END Routine C-3 C - BPDES C - BANDPASS BUTTERWORTH D I G I TA L F I LT E R DESIGN SUBROUTINE. C - INPUTS ARE PASSBAND ( 3 - D 1 3 ) FREQUENCIES F l AND F 2 I N H Z . C - S A M P L I N G INTERVRL T I N SECONDS, R N D C N U M B E R NS OF F I LT E R SECTIONS.. C - OUTPUTS ARE NS SETS OF F I LT E R COEFFICIENTS, I . E . , C A U < ) THRU E ( K ) FOR K = 1 THRU N S . , A N D C2 0 PA I R S OF FREQUENCY AND POWER ° R I N , I . E . , CG R A F ( 1 , K) AND G R A F ( 2 , K ) FOR K = 1 THRU 2 0 . C - NOTE THAT ACK) THRU E ( K ) A S WELL A S G R A F ( 2 , 2 0 ) LAUST B E C - D I M E N S I O N E D I N THE CRLLING PROGRAM. CC - THE D I G I TA L F I LT E R HAS NS SECTIONS I N CASCADE. T H E KTH C - S E C T I O N HAS THE TRANSFER FUNCTION C C - f l ( K ) * ( 2 * * 4 - 2 * 2 * * 2 + 1 ) C - H ( Z ) Z**4+13(K)*Z**2+C(K)*Z**2-te(K)*Z+E(K) C - THUS, I F FCM) AND G(l9) ARE THE I N P U T AND OUTPUT OF T H E C - K T H SECTION AT T I M E A * T, T H E N CC - G(M)=A(K)*(F(M)-2*.F(M-2)+F(M-4))-0(K)*G(M-1) C - - C ( K ) * G (M- 2 ) - 0 ( K )*GCM-3 ) - E ( K )*G(M -4 ) CC - DO NOT UZE T H I S ROUTINE FOR LOWPASS DESIGN. L I S E IPDES. C - DO NOT LISE T H I S ROUTINE FOR HIPASS DESIGN. L I S E HPDES. C SUBROUTINE BPDES(F1, F2, T N S , A, B, C, 05 E. GRAF) DIMENSION A U L 13 (1 ), C ( 1 ) . D ( 1 ) , E (1 ), GRAF ( 2, 2 0 ) PI=3. 1415926536 W1=SIN(Fl*P141)A:OS(F1*PI*T) W2=SIN(:F2*PI*T)AtCK(F2*PDFT) WC=W2-W1 Q=WCtl.iC+2. *W1,442 S=W1*W1:412*W2 DO 1 5 0 'r:=1, NS C S = C O S ( F L O AT ( 2 , ( K 4 N s ) - 1 ) * R I / F L O A « 4 0 - j s 3 ) Anhang C: Programme für den Entwurf digitaler Filter 342 A n h a n g C: Programme für den Entwurf digitaler Filter Routine C-3 (Fortsetzung) P=-2. 414C*CS P=P*Wl*W2 X=1. +P+Q+R+S Fi(K)=WC*WC.« 13(10=i-4. - 2 . *P+2. *R+4. * S M X C=(G. - 2 . *0+6. * S ) / X D a 0 = < - 4 . +2. * P - 2 . *R+4. * S i e « 150 E d 0 = ( 1 . - P + Q - R + S ) / X DO 1 6 0 J = 1 . 2 DO 1 6 0 I = 1 . 1 0 K=I*(2-J)+(21-I )*(J-1) GRAF ( K ) = . 01+. 9 8 * F L O RT ( I - 1 ) /9. X=C1. A R R K 2 , K 7-1. 3 * * ( 1 . i F L O AT ( 4 * N S ) ) SQ=SQRT(WC*WC*X*X+4. *14144.12) 150 G R A F ( 1 , K ) = R E S C R T F I N ‹ . 5 * ( W C * X + F L O R T ( 2 * J - 3 ) * S Q ) ) ) / ( P I * T ) RETURN END Beispiel C -l: Entwerfe ein digitales Tiefpaßfdter mit den folgenden Spezifikationen: Durchlaßband 0 bis 12.5 MHz Abfall 3 -dB-Abfall bei 12.5 MHz Sperrband 2 0 -dB-Abfall oberhalb 25 MHz Abtastrate 1 0 0 MHz Diese Spezifikationen ergeben für e und X in Kapitel 12, Bild 12-2 die entsprechenden Werte I und Nrni. Deshalb ist wie in Gleichung 124 von Kapitel 12 die Ordnung dieses Filters /V > log (a/.) - log(wrhar) log (V44) - l o g (2) > 3.3 ▪ 4 Daraus ergibt sich die Zahl der Filterabschnitte zu NS = 2. Ein Programm zum Aufruf der Routine für den Tiefpaßentwurf LPDES verläuft daher wie folgt (siehe das Beispiel C-3 für ein vollständiges digitales Filter): APPENDIX C . EXAMPLE C - 1 DU-1E113'W R ( 2 ) . 1 3 ( 2 ) . C ( 2 ) . G R A F ( 2 . 1 0 ) CPLL L P D E S ( 1 2 . 5 E 6 . 1. E - 8 . 2 . A. B. C. GRAF) WPITE(S. 1 ) ( N . A ( N ) . B ( N ) . C ( N ) . N * 1 . 2 ) FORMAT( 2 ( 1 5 . 3 E 1 5 . 6 / ) ' ) DO 2 H - 1 . 1.0 D13-10.*ALOG10( GRAF( 2.14) ) WR1TE(S. 3) G P P F ( 1 . N ) . G R A F ( 2 4 4 ) , D B F O R M AT ( 1 X . 3 E 1 S . 6 ) STOP EMD 3 4 3 Wenn dieses Programm durchgeführt ist, listet das erste WRITE-Statement die folgenden Filterparameter auf: K 1 2 R ( 1 0 B 0.115258E+00 0.985794E-01 ( K ) C - 0 . 111 3 0 3 E + 0 1 -0. 855398E+00 ( K ) 0.574062E+00 0.209715E+00 Somit besteht das Filter aus zwei in Serie geschalteten Abschnitten, gerade wie es in den erläuternden Abschnitten von LPDES beschrieben ist. Das zweite WRITE-Statement liefert folgende Daten für die Darstellung der Leistungsverstärkung: FRECI ( 1 . 7 ) POWER GRIN POWER D R I N ( D B ) 0. 729333E+07 0.992939E+07 0. 1013740E+03 0.115745E+08 0.121954E+08 0.128105E+08 0. 134926E+08 0.143098E+08 0. 155643E+08 0.201392E+08 0. 9900013E+00 0 . 8 8 1111 E + 0 0 0. 772222E+00 0.663333E+00 0. 554444E+00 0.445555E+00 0.336667E+00 0.3227779E+00 0.118889E+00 0.100000E-01 -0.436481E-01 -0.549693E+00 -0.112--258E+01 -0. 17825:3E+01 -0. 256142E+01 -0. 351098E+01 -0. 472:300E+01 -0. 642489E+01 -0. 924859E+01 -0.200000E+02 Man beachte, daß die Leistungsverstärkung bei 12.5 MHz auf 3 dB abgesunken ist. (Die Verstärkung in dB wird in dem Aufrufprogramm ED 1 berechnet. LPDES liefert nur die Frequenz in Hertz und die Verstärkung im Feld GRAF in gewöhnlichen Einheiten.) Man beachte auch, daß die Punkte genau den Abfall der Verstärkungskurve abdecken, wobei sie i n gleichen Abständen zwischen den Leistungsverstärkungen von 0.99 und 0.01 gesetzt sind. Beispiel C-2: Entwerfe ein digitales Bandpaßfilter (siehe auch Kapitel 12, Beispiel 12-8), das die folgenden Anforderungen erfüllt: Durchlaßband Zahl der Abschnitte Abtastintervall 20 bis 30 kHz 5 10 .sec Da ein Bandpaßfilter gefordert wird, ist BPDES die zugehörige Routine. Man kann das folgende Aufrufprog,rarnm benutzen: C - APPENDIX C , EXAMPLE C - 2 C DIMD-CION A ( S ) . 1 3 ( 5 ) . C ( S ) . D ( S ) . E ( S ) . G R A F ( 2 . 2 0 ) CPLL B P D E S ( 2 0 0 0 0 . . 3 0 e 0 0 . . 1 . E - S . S . A . B . C . D . E . G R A F ) DO 1 N - 1 . 5 1 W R I T E ( S . 2 ) N.A(N).B(N).C(N),D(N).E(N) 2 F C e M AT ( 5 ( I 3 . S E 1 4 . 6 ) ) DO 3 11-1,2e DB-10.*ALOG10(GRAF(2.N)) 3 W R I T E ( 5 . 4 ) GRAF(1,N).GRPF(2.N).DB 4 F O R M AT ( I . X . 3 E 1 5 . 6 ) STOP END Anhang C: Programme für den Entwurf digitaler Filter 344 A n h a n g C: Programme für den Entwurf digitaler Filter In diesem Fall besteht das Filter aus fünf hintereinandergeschalteten Abschnitten, und jeder Abschnitt hat fünf Koeffizienten wie das in dem erläuternden Teil von BPDES erklärt wird. Das erste WRITE-Statement oben listet alle berechneten Koeffizienten auf (die Werte B(K) und D(K) sollten in diesem speziellen Fall theoretisch gleich Null sein; siehe Kapitel 12, Beispiel 12-8): 1 0.137451E-01 2 0 . 75377E-B1 3 0.67455E-01 4 0 . 62671E-01 3 0.60417E-01 C(K) 8(K) K f i t K i -0.83896E-08 -0.78963E-08 -0.75871E-08 -0.73944E-08 -0.73284E-08 D(K) 0.14818E+01 -0. 75700E-08 0. 12772E+01. -0.58599E-08 0.11430E+01 -0.47605E-08 0.10619E+01 -0.407733E-08 0.10237E+01 -0. 37309E-08 ECK) 0.83158E+00 8.57872E+00 0.41280E+08 0.31258E+00 0.26533E+00 3 4 5 Teste dann das Filter und benutze Abtastwerte des folgenden Eingangssignals: f(t) - 2 sin 2rt + sin 6ir1 Ein Programm zur Verwirklichung des ganzen Beispiels ist unten angegeben. In dem Programm wird HPDES nur einmal aufgerufen, um alle Filterparameter zu erhalten. Es gibt drei Filterabschnitte und drei Parametersätze. Das Leistungsverstärkungs-Zeichenbrograrnm GR wird nicht gebraucht, muß aber noch im Programm dimensioniert werden. Die Zwischensignalwerte F(N, M) werden wie folgt genommen: F(I, 3) - input to filter section I - present value of j(1) F(1, 2) - previous value of F(1, 3) Das zweite WRITE-Statement listet wie folgt 20 Punkte der Leistungsverstärkungskurve des Bandpaßfdters auf: FRED. 0 1 2 > POWER RAIN P01•IER GR1N ( D E ) 0.18823331E+05 0.195124E+05 0. 197074E+05 0. 198392E+05 0. 199486E+05 0. 200509E+05 0. 201564E+05 0. 202785E+05 0. 204497E+05 0.209781E+05 0.100000E-01 0.118889E+00 0. 2277713E+00 0.336667E+00 0.445556E+00 0. 554444E+00 0. 663333E+00 0. 772222E+00 0.881111E+00 0.990000E+00 -0. 200000E+02 -0.924859E+01 -0. 642489E+01 -0. 472800E+01 - a 351098E+01 -0.256142E+01 -0. 178268E+01 -0. 112258E+01 -0.5496933E+00 -0.436481E-01 0.290219E+05 0. 295503E+05 0.297215E+05 0.298436E+05 0.299491E+05 0. 300514E+05 0. 301608E+05 0.3032926E+05 0.304876E+05 0.311769E+05 0.990000E+00 0.1381111E+00 0.772222E+00 0.663333E+00 0.554444E+00 0.445556E+00 0.336667E+00 0.227778E+00 0.118889E+00 0.100000E-01 -0. 436481E-01 -0. 549693E+00 - 0 . 11 2 2 5 8 E + 0 1 -0.178268E+01 -0.256142E+01 -0. 351098E+01 -0472890E+01 -0. 642489E+01 -0.924859E+01 -0.200000E+02 Man beachte, daß die ersten 10 Punkte sich auf dem unteren bzw. linken Kurvenabfall befinden, regelmäßig verteilt zwischen den Leistungsverstärkungen 0.01 und 0.99, und daß sie in der Frequenz von etwa 18.8 bis etwa 21.0 kHz reichen. Man beachte auch, daß die Leistungsverstärkung ersichtlich bei 20.0 kHz auf 3 dB absinkt, wie dies sein sollte. In ähnlicher Weise decken die letzten 10 Punkte den oberen bzw. linken Abfall der Leistungsverstärkungskurve ab, von etwa 29.0 bis etwa 31.2 kHz. Beispiel C-3: Entwerfe wie folgt ein digitales Hochpaßfilter: Durchlaßband Zahl der Abschnitte Zeitschritt >4 Hz 3 0.02 sec F ( I , I ) - previous value of F(I, 2) F(2, 3) - input to filter section 2 F(2, 2) - previous value of F(2, 3) F(2. 1) - previous value of F(2, 2) F(3. 3) - input to filier section 3 F(3, 2) previous value of F(3, 3) F(3, 1) - previous value of F(3, 2) 9 4 , 3) output of filter section 3 present value of g(t) F(4, 2) - previous value of 9 4 , 3) F(4, I ) - previous value of 9 4 . 2) C - APPENDIX C . E ( A M P L E C - 3 C DIMENSION F ( 4 , 3 ) . G t 1 0 0 ) DIMENSILC( A ( 3 ) . 1 3 ( 3 ) . C ( 3 ) , G R ( 2 . 1 0 ) PI- 3 . 1 4 1 5 9 2 6 S C - DESIGN T H E F I LT E R . CALL H P D E S ( 2 . . . 0 2 . 3 , A . B . C . G R ! C - S E T I N I T I A L UALUES T O 0 . 00 1 N - 1 . 4 EG 1 11 - 1 , 2 1 9N.H)-0. C - F I LT E R F ( T ) A N D G E T 1 0 0 OALUES O F G ( T ) . DO 4 M - 1 , 1 0 0 T I M E • . 0 2 * . F L O AT ( N - 1 ) C - CONPUTE PRESENT ( A u e O F F ( T ) . F ( 1 . 3 i - 2 A . S I N 2 . t P l I t T I M E ) + 5 I N ( 6 . 1 P 11 C T I M E ) C - GO THROUGN 3 F I LT E R S E C T I ONS. DG 2 N - 1 . 3 T E M P - A ( N ) * ( F ( 11 , 3 ) - 2 . * F ( N . 2 ) + F ( 1 . 1 ) ) 2 F(N+1,3)-TEMR-B(N)*F(N+1,2)-C(N)AF(N+1.1) C - U P D a l E A L L P R S T WILDES O F S I G N A L S . DIT3 N - 1 , 4 0 0 3 111 - 1 . 2 3 F ( 11 , 11 N 1 - F ( N , M N + 11 C - SET G ( - 1 ) - PRESENT ' J . U E O F F I LT E R OUTPUT A N D CONTINUE. 4 G(M)eF(4.3) C - ENG O F F I LT E R I N G . 346 A n h a n g C: Programme für den E n t w u r f digitaler Filter Alle „vorherigen Werte" in dieser Liste sind anfangs in Schleife 1 des Programms auf Null gesetzt. In Schleife 2 findet das aktuelle Filtern statt und die vorherigen Werte werden alle in Schleife 3 auf den neuesten Stand gebracht. Schließlich wird am Ende des Programms in Statement 4 das Paterausgangssignal im Feld G gespeichert. Die Wirkung des Programms ist in Bild C-1 dargestellt. Man beachte, daß das Hochpaßfilter das meiste des 1 Hz-Anteiles in f(t) eliminiert, so daß g(t) im wesentlichen eine 3 Hz-Sinuswelle ist. Man beachte auch, daß das Filtern eine Phasenverschiebung bewirkt. (Das Verfahren zur Elimination der Phasenverschiebung ist in Kapitel 9, Abschnitt 8 beschrieben.) 3 f Anhang D Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben Z u Kapitel 2 Aufgabe 1 : • 2• 1• • 0 •....• tb • 26 • •••••• f (x) • x2 - x + 3 • r ( x ) • px + 3 . ' 4 E2 • f ( x ) -2 - f t ( x ) ) 2 dx 2 1 o " _1 -2 4 • f 1(x2 - x + 3) - (px + 3)12 dx la r Bild C.I. Eingangs- und Ausgangssignale en, und gni des Hochpaß filters in Beispiel C a . Gesamtzahl der Abtastwerte = 100:Gesamtdauer = 2 sec 3 4 • 4 3 ( 2— 5 P 3E2 ap 4 2 _ • p • 2 I 2 + 3 P ) 348 A n h a n g D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben Aufgabe 2 : c Anhang D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben ) x . 4 9 M a n verallgemeinere von ( a ) und ( b ) : N- I Um d i e Gleichung ( 2 - 3 ) u n d ( 2 - 9 ) anwenden z u können, s e t z e man f ( x ) - Y - 3 , M 1 , C o - p und S x ( x ) 3 Dann w i r d a u s G l e i c h u n g ( 2 - 3 ) f . ( x ) - p x und k n- o N —I m+i r Y c x n a L f n n o o ain+i 0 , 1 , ... k Gleichung ( 2 - 9 ) w i r d z u 3 2 3 ( x n ) P ( y noo n o o n d) H i e r i s t em e m x f ü r m 0 , 1 , 2 . D e s h a l b - 3) xn N- I 26p o 6 6 ; p - 2 , 5 4 n.0 • k x ( k + 1 ) x n ( k + 2 ) x [co e n + c 1e c + 2 e f n e) H i e r i s t Ox - I , N-1 E[co noo N-1 I [ c noo - -I m -o N s i n xn + c 2 s i n 2xni n n c , s i n xn + c2 e i n 2xn s i n k x n - Für d i e s e D a t e n e r g i b t G l e i c h u n g ( 2 - 9 ) Aufgabe 3 : Um P l a t z z u s p a r e n , w i r d m i t d e n Ausdrücken v o n G l e i c h u n g ( 2 - 8 ) g e a n t w o r t e t , die m i t Gleichung ( 2 - 9 ) i d e n t i s c h i s t . a) A u s G l e i c h u n g ( 2 - 4 ) e r g i b t s i c h em x m f ü r m - 1 , 2 . D e s h a l b n f -I n 1— I . x ; k • 0,1 b) W i e d e r i s t O x - xm f ü r m 1 , 2 , 3 . D e s h a l b [/fn t o ' re n nEo i N ocl x n xk+1 c 2 k + n 2 1 r riLco fn a k ; k - 0 , 1 , 2 I •In k e 0,1. N i l f n s i n kxn ; k - 1 , 2 . n . 0 Aufgabe 4 : N- I N E [ e x x n + C1 rt•o j k x n e ; e i n x , und 42 s i n 2 x . Daher -I f -o c , + ' N Ifn 35 0 A n h a n g Anhang13:AusfillnecheLösungenzudenAufgaben 0 : Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben [4721][ccoi]- [:72] M 3: ton t o n E .1n t o n .2n t o n / t o n . 111 t .1n . 1 n / tG E .2n . 1 n o n .2n .1n .2n 1 .2n .2n_ 4 cl 7 3 1 73 c 1 0 - 21 7 3 273 6 c. - 0,355 , c l - 2,28 21 12 c 0 + 2 1 c 1 - 5 1 1 5 4 7 5 5 c . - 39 . c . - 7 , 8 0 7 c l - 17 - 4 ( 7 , 8 ) . c l - 2,03 c 2 - 0,023 f*(t) - 7,8 - 2,03t - 0,355 + 2 , 2 8 t + 0,023t2 E2 ( 0 Aufgabe 5 : - 1 5 ) 2 + ( 1 _ 1 5 )2 + ( 5 4 4 4 15)2 ( 9 _ - _15)2 - 50,75 0 1 2 4 0 1 5 9 E2 - ( 0 _ ( - 0 , 4 ) ) 2 + ( 1 - 1 , 9 7 ) 2 + ( 5 - 4 , 3 4 ) 2 + ( 9 - 9 , 0 8 ) 2 - 1,55 I : l Y t o n +0n1 E n +.n] 4 e . - 15 c M 2 : — 4 0 10 15 y_ 2 s z k 3507 k - 78 44 1 5 4 0 2 2 0 r i +0n t o n LE . 1 0 [4 2 c. - • E23 ( 0 - ( - 0 , 3 5 5 ) ) 2 + ( 1 - 1 . 9 5 ) 2 • ( 5 - 4 . 3 ) 2 + ( 9 - 9 . 1 3 ) 2 - 1,54 15 . 1 E [ - n 1 .1n . 1 4 c 0] [ e = 2,37 i + 2,371 [ c 0 1 c 1 35 5 1 fn t o n 4 c . + 7 c l - 17 7 c . + 21 c l - 1 2 3 5 41 7] vorgegebene Werte 4 I fn .In fn . 2 n 352 A n h a n g Anhang D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben co Aufgabe 7 : - 0,420674 c2 0,445731 3 5 3 0,331239 Emin . -4 3f f f n.0 n n . - f') n ( ß - 7,8) + 6 ( 6 - 5,771) + 3 ( 3 - 3,743) + [ 8 4 Aufgabe I I : - 0,186 +a 4 f x • x2 d x -a a +a 4 4 I 4 a 0 Aufgabe 9 : Aufgebe 1 5 : cl e x + c 2 e c. Y- • N-1 cos k wn t n c o s m wn t n - 3 1. d 2 - e x ' 4 2 - e x , 40- Punkte: tn -I 1 0 1 2 0 I 2 w e n 2x e a -x e a ie x -x e Cc, ft, Cl fn e i e e e f _e2 n e 0,368 ; e I e -x e n - 2,72 2 L ( e n- o 14-i { - 2,12 + 1 , 0 + 0 , 3 6 8 + 0 , 1 3 5 - 4 , 2 2 3 n (2n-N) k SET k 1,475217 4,221497 63+122541 4 ( 2 n -N)1 [ m . m n (2n-N) ( 2 n -N) + e + -. j e 2m1k. 2 1_, n m j -177 ) (e + e . 2snik.m) 2nn(k-m) e 2-nnm m 4 8,542707 Clco c2 17,864273 :-arde 3,356832 2wn(m-k) + 2 n n. ( k + l m e s i n d d i e z w e i m i t t l e r e n Te r m e g l e i c h I u n d d i e Summe i s t v e r s c h i e d e n 4 4,221497 . +e n=o von N u l l . E s g i l t f e r n e r 11,475217 (I) ; e2 - 7 , 4 ; e 2 - 0,135 - 0 , 3 6 8 + 1 , 0 + 2 , 7 2 + 7 , 4 0 - 11 , 4 9 4 m e N-c1 j 2 n n k- x m 1 L k 1 1 (2n-N) + e n-0 -x n - 4 e , k 2wn n ( 2 n - N ) w N w o N 0 N- I 4 -2x -x x 0 N- I k w n (2n- N ) g Los w n- o o N (1) = 4 0 n- o N- I ± j 2 a e i n- o ±j2ni e l_e ±j 2ni N 354 A n h a n g D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben Anhang D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben 3 5 5 Aufgabe 1 9 : Da i g a n z e n Z a h l e n s i n d , w i r d d e r Z ä h l e r g l e i c h N u l l . D e r N e n n e r i s t verschieden von N u l l , wenn i < N. D a 0 < i < 2 K - 1 i s t N > 2K- I . Jedoch g e n ü g t N > 2 K , d a d a s g r ö ß t e i k + t j I s t N - 2K, s o w i r d N > i m . . und e i m . . - 1 4 + 1 4 - I - 2 K - 1; p v. o p 2ei —g— I Kontinuierliche Fourier-Reihe: . Da y ( x ) e i n e u n g e r a d e F u n k t i o n i s t , w e r d e n d i e a k - Te r m e g l e i c h N u l l . w/w bk - 0 f y ( x ) -17/wm s i n k wo x d x r Aufgabe 1 6 : - I [ f - e i n kx d x a) p . 3 • o2 e p b) F o u r i e r - R e i h e m i t k ao s i n kx dx] 1 r cos kx T c o s kx e k k -w 0 N- I 2 r - N Lf c o s 0 n-0Pn - [ 1 f 2 3w + 0 + 11 ! I für gerades k w i r d d i e s z u ' kx [ ( I - - (1 - 1)] • 0 4 f ü r ungerades k e r g i b t s i c h r* - ao . n 2 3 kn [ ( 1 - ( - 1 ) ) - ( ( - 1) - 1 ) ] • 4 ke c) F o u r i e r - R e i h e m i t k a I aI - 2 N- I NE f Pn c o s wo t n f• • 2 2 - L1 • t o s 0 + 0 • cos ( - 2 11 • 1 ) 4 3 3 • COS ( 3 • sin k x . F ü r u n g e r a d e s k . 2 2)1 sin(2n - 1 ) x (2n - 1 ) - 0,333 2 N- I bI = g f p n i k r kal 1,5 Fm_ 4 z sin(2n-1)t n n l2n-11 K_3 K.I0 sin w t n FM0 2 r 2 r 11 • s i n 0 • 0 • s i n ( - 2 3 3 3 - I ) + I • sin 4 w • 2)1 0,5 — • • • - 0,577 fe - 2 1 2 • c o s - wt - 0 , 537 7 s i n 3 5 3 w t vorgegebene Vgst Anhang D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben 356 A n h a n g D: Ausführliche Lesungen zu den Aufgaben 2 Aufgabe 2 0 : 1,5 F 2 n ; wo 1 2 . p F M . 8 E cos(2n-111 T2 n K 1 3 Da y ( x ) e i n e g e r a d e F u n k t i 2 n i s t , w e r d e n d i e b k - Te r i n e g l e i c h N u l l . ak r ( ; x + 1) cos kx dx o -e 2 0 j x cos kx dx - f ( - 2 —x a I ) 2a f x cos kx dx + • cos kx dx] f cos k x dx -w Aufgabe 2 1 : ft) r cos kx x sin kx ° 2 c o s kx x sin kx I ] k2 k2 • 2T Für g e r a d e s k : r2 1 i ; k 2 ; 1 a fa(t) ! l a 2 k71 ; 2 • K ( a k c o s k w o t + b k e i n wo t) w o 0 w w/w ak - ;—o f ° f ( t ) c o s w k t P -n/wo Für u n g e r a d e s k : dt L 11 2 a T I -a 8 cos k kw 0 t d t -o [ —I— s i n k w t ] k2s2 f.(x) 6 _ c o s ( 2 n l x 12 n - I ( s i n k w a s i n ( - k wo a ) ) ( 2 n -I) k • 0 i s t d i e obige Gleichung unbestimmt. s 2 i 2 nw kn -xk a 2w 3 5 7 358 Anhang L1: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben A n h a n g D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben 5 • a ao • 2 . 1 I • I d t - 2 • 2 a • 4 a -a bk 0 , 3 • • • TYPE PB221 . DSA d a f ( t ) u n g e r a d e i s t , b z w. [ 8 : 30 : 04 ] w -° b k x a1 e i n k w o t rd t - a w i ° a L i z- 1 c o s k m o t l o - a — C 0 D I T M P E N S H I I S I S THE PROCRAM FOR PROB. 2 1 I N CHAPT. 2 . O N I TIM(501), FA ( 5 0 I ) , FB(501) • 3 14159265 A2 . 2 DO 5 0 I . 1 p 501 f * ( t ) • 22T 2 k w k aT tos 2erkt TIM(I) 2-.54..002*(1-1) SUMA - 0 SUMB - 0 Für a 0 , 2 ; T I DO 2 0 K 2 1 , 5 0 S U M A 2 S U M A + ( 1 / F L O ATO O ) F S I N ( 2 t e ff l P I ) * C O S ( 2 ff l e i n T I M ( I ) ) 2 K 1 f*(t) • 0,4 + 7 e i n 0 , 4 w k c o s 2w k t I kco IF(K.LE.10)SUMEASUMA 20 C O N T I N U E FA(I)•24.A..(2/PI)*SUM▪ A FB(I)•2•Ar(2/PI),SUMB 50 C O N T I N U E CALL OFILE ( 2 0 , ' P 6 2 2 I ' ) W R I T E ( 2 0 , 3 0 ) ( T I M ( 1 ) . FA ( I ) . F B ( I ) 4 2 1 , 5 0 1 ) 30 F O R M A T ( 3 F 1 5 . 5 ) END Aufgabe 2 2 : x -1 f(x) - w / 2 0 w / 2 0 1 0 Da f ( t ) e i n e g e r a d e F u n k t i o n i s t , w i r d b k ao a1 • 4 =( - 1 - 1 + 0 + 1 • I 0 ) • 0 -2 2 ( - 1 ( - 1) + 1 ( i ) ) - f ( x ) • cos x Tj 9 360 A n h a n g D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben Anhang D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben Aufgabe 8 : Z u Kapitel 3 F(s) I / [(s 4 ) ( 4 + 9 4 A , B 1 4 s+a Aufgabe 1 : A(s b ) A ( s a ) Es i s t d a r a u f h i n z u w e i s e n , d a ß b e i d e r F o u r i e r - R e i h e angenommen w i r d , d a ß die z u approximierende Funktion p e r i o d i s c h i s t . F ü r periodische Funktionen As + Els A b I . B b • 1 kann d a s I n t e g r a l i n G l e i c h u n g ( 3 - 5 ) n i c h t k o n v e r g i e r e n . U m g e k e h r t k a n n , Durch V e r g l e i c h d e r P o t e n z e n v o n s f o l g t wenn G l e i c h u n g ( 3 - 5 ) k o n v e r g i e r t , d i e F u n k t i o n n i c h t p e r i o d i s c h s e i n und h a t d e m z u f o l g e k e i n e F o u r i e r - R e i h e . A .1. Aufgabe 7 : . 0 , Ab - Bb B a f(t) - ) t e-2' u(t) 1 B a 1 ; B(a-b) 1 ; B ; A .a-b b- a Aus Z e i l e D f o l g t : Es s e i d a r a u f h i n g e w i e s e n , d a ß u ( t ) i n d e n Z e i l e n A - B d e r Ta b e l l e 3 - 1 i m p l i z i e r t i s t . S i e h e Anmerkung. 1 z u d i e s e r Ta b e l l e . Wenn f 1 ( t ) e- 2 t , d a n n i s t F I G . ) j w i „ f(t) b I a e -at f(t) - E 6(t n- o 1[f(t)] 1 11.o -bt - ( e - a t - e-bt)/(b-a) (Zeile D). 2 Von d e n Z e i l e n I u n d 5 e r h ä l t man Aufgabe 9 : F ( j w ) • 3 j d . F1 ( j w ) - - 1j (3) I ( 2 3 (3.4.2)2 Amplitudenspektrum: 1/2 IF(.14)1 - 3 / [ ( - . 2 = 3/ [(- .2 4 4 3 w ) ( - .2 4 ) 2 1 6 4 , 1/2 w-] - 2 11 / 2 2 = 3 / [(6:" + 4) j 3 / ( w - nT) . e - n Ts 1 I - e - s T - 4j.)] 3 / [w4 o , I / w2 1 6 ♦ 1 6 . 1 Was i s t ü b e r d i e B e d i n g u n g jäs ixl c 1 f ü r 4 ) x 0.0 n I l x au s a g e n / U n t e r Beachtung v o n s • a le-sTI < : j w le-sTI le-aTile-jvCr - a T < En I - 0 , T i s t immer > 0 . aT > 0 f ü r a l l e p o s i t i v e n a . w • f i n d e t man e -a2 < 3 6 1 Anhang D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben 362 A n h a n g D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben Aufgabe 1 0 : 3 6 3 1•1F(Pull öS f ( t ) • e - a t er's a t ; t 46 > 0 (s41 46 (1,11 Skizziere I F ( j w ) I f ü r ( a , a ) - ( 1 , 1 ) , ( 2 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 2 ) und d i s k u t i e r e (2,11 04 die Wirkung d e r Änderung von a u n d a . 0,4 12,21 0,2 F(jw) W a . 2 (Jw+a) a u s 42 WI 11,21 d e n Z e i l e n 6 u n d F i n Ta b e l l e 3 . 1 0 2 w[ 2(a24._ a.32 2 + 52)2 + n a ) 2 ] 1 / 2 (1,41 0 01 10 I D O to [(ad I _ 4 . , lad Da ( A a l - I A I / 1 8 1 , w i r d I F ( j w ) ,I , , 1 (2.2)_,,,,,---1Z2E.T.:- -_--. . . . . . . 01 TYPE CH3P10.DSA [ 11 : 5 2 : 4 4 ] C C H A P T E R 1 , PROBLEM 1 0 . (MUST B E MODIFIED FOR WRITING TO F I L E ) Für w - 0 , I F ( j 0 1 2 8 2 a +a C T H I S ROUTINE CALCULATES TEE AMPLITUDE SPECTRUM OF C E -A*1 COS ALPHART X P TYPE 2 1 w » a2 + a 2 , F ( j w ) t ( w + 4 a 2 w 2 ) 1 / 2 ( w 2 + 4 a 2 ) 1 / 2 1 w 2 F O R M A T ( • ENTER A , A L P H A ' ) ACCEPT 4 , A 1 , A 2 4 F O R M A T (2F) DO 1 0 N a 1 , 4 Y- N Bei w w . = a , 1F(.40)1 . 2 , a 2 1 / 2 a 4+4a 2 2a Y1•11041-"(Y -3) DO 1 0 1 . 2 , 1 0 , 2 W- I . Y I 1>SORT(A1**2+144**2) Für a a , IF(jw) I - 1 2 x 2 11 / 2 —5a4 . • 0632 a 2a - 0,5 - IF(j0)1 C • S U RT ( ( A l u 2 + A 2 * * 2 - W * * 2 ) * * 2 + 4 4 . 1 0 . 2 * A 1 * * 2 ) F -8/C TYPE 8 , W, F 8 F O R M A T Daraus u n d a u s d e n Diagrammen s c h l i e ß t man: I F ( j 0 1 f ä l l t f ü r g r o ß e w m i t - 6db/Oktave ab. F ü r a < a g i b t es eine S p i t z e i n I F ( j 0 1 b e i w - a . F ü r a > a beginnt der Abfall bei w a . (2F8.3) IF ( F - . 0 1 ) 1 2 , 1 0 , 1 0 10 C O N T I N U E 12 E N D 10 Anhang D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben 364 A n h a n g D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben Sind p , u n d p 2 r e e l l , s o l a u t e t d i e L ö s u n g Aufgabe I I : A H(s) G ( s ) S M , . A F(s) 1 s + a g(t) - c, e siehe d i e Z e i l e n 1 , A , D . alt + a 2 t c2 e Es g i b t k e i n e O s z i l l a t i o n e n . • Sind p , u n d p 2 a b e r k o n j u g i e r t k o m p l e x , s o l a u t e t d i e L ö s u n g Aufgabe 1 2 : a g(t) - c l e I • t e ) t s a 2 2 t j ß 1 1 e • e G(w) - H(w) F ( w ) Die u n t e r s t r i c h e n e n Terme b e d e u t e n O s z i l l a t i o n e n . . j r, , , 2 da 2 -w j . Je Aufgabe 1 4 : . und H ( s ) [ H ( s ) [ F ( s ) - G(s)1 - C ( s ) ] p ( s ) 2 a u t - T 8(0 e J d a T - - t e I - t H 1 - e H 2 2 ( ( s ) F ( s ) - H2(s) C ( s ) - H(s) C ( s ) - G(s) s ) F ( s ) - G ( s ) [ 11 2 ( s ) H ( s ) + Siehe d i e Z e i l e n 4 u n d D . C(s) F(s) H 2 ( s ) 2 H (s) + H(s) 1 g(t) - A e-at s i n nt ; Aufgabe 1 3 : Aufgabe 1 5 : Die Wu r z e l n v o n s 2 P ( s ) s a s h s e i e n p , u n d p 2 . Dann g i l t 1 1 ( s - p 1 ) ( s - p 2 ) Die A n t w o r t a u f e i n e n N a d e l i m p u l s l a u t e t g(t) c c, e pit + P 2 e2 t 1 s -F1 G(w) c2 f o n ( s + a ) 2 ae2 s -P2 H(s) G ( s ) A . a 2(0 (s,a)2.a2 siehe d i e Z e i l e n 1 , 13 u n d G . 1 I h A s a ( 5 + 0 2 , 2 3 6 5 366 A n h a n g Anhang D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben Aufgabe 2 0 : Aufgabe 1 6 : Ffjwl -27 e- t h(t) - C 1 -a toi —Of t g(t) • h ( t ) • f ( t ) - f h(r) f(t-r)dt J e -r e-2(t-r) d t e -2t f et er e f(t) - 2 t e r io 1 I ' _ 2 n (— F ( j w ) e - M t d w 0 0 ejat _ e-jat e- 2 t -2t • 1 • 1 - a f e j e t dw 2n 2 a 2 n a t 2 ] I s i n at 2w a t Aufgabe 1 7 : t2 u ( t ) • = 2 e- 2 t u ( t ) e - 2 ( t - r ) d r • e - 2 t f T2 e2r d r Z u Kapitel 4 e- 2 c r e 2 r 1 2 _ 2 • 2/.2) 0 = 2 t 2 t --2 I (t2 I I - 2 t - t ) + / - z e (4t2 - 4 t + 2 ) 8 [e Aufgabe 1 : I (2)] 8 A b t e s t r a t e > 2 ( I K H z ) - 2 KHz 1 t 2 e t - 2 t 1 ) Aufgabe 2 : Aufgabe 1 9 : T- I III ps n 106s 2a 2000 KHz 500K e(ju) « f ( t ) -1/21 e i w t dt +3 I r - j u t dt 1a ) e - 2 j -a I w r a f- ] w a Ge j w ai l nl w a 1000K r fIK 1/21r 500K a I KHz e r g i b t d a s s e l b e w i e 1001 K H z , 2 0 0 1 K H z , 3 6 7 368 Anhang D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben A n h a n g D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben Aufgabe 3 : f(t) a) F ( j w ) r e e l l • f ( t ) 1 0 I - r/10, T .t st , Grundfrequenz fm - < n/10. ah 0 0 s i n x o w Find/ 1 1 / 2 0 -10 20 F ( j w 1 0 s i 2 n , 0, 1/2o -o 9 w u , p - !I a 2 für t - 1: F(Iwl c) S i e h e K a p i t e l 3 f(t) s i n w gerade, d . h . f ( t ) a f ( - t ) . b) r / T a 1 0 • I O T a n , 6 Aufgabe 5 : Füw) -10 3 2r 0, sin a t 211 a t s i n IOC 2n 1 0 t w 10 s i n 1 0 t s IOC s i n 10c st für T 0 , 9 m sin 0 s i n 0 ; w it • 0 , 9 s i n n(1,8) s i n n(2,7) . • 0,9 ' w ( 1 , 8 ) ' n ( 2 , 7 ) ' 1 1 " ' Aufgabe 4 : - Beachtet man d e n H i n w e i s , b r a u c h t man n u r d a s S p e k t r u m e i n e s I m p u l s e s 0 , 1 - 0 , 1 0 , 1 ; zu b e s t i m m e n : f (t) n sin s t t Aufgabe 6 : Aus K a p i t e l 3 , N r . 2 0 , e r g a b s i c h F Aus G l e i c h u n g ( 4 - 8 ) g e w i n n t man 1/20 r sin a t i 2n a t 1 k (10 mT) e -msT - k 10 T ( - s T e m ) welches d i e i m Te x t angegebene L ö s u n g i s t . K ö n n t e i n g e s c h l o s s e n e r F o r m Daher i s t h i e r a = 1 u n d e i n S k a l i e r u n g s f a k t o r 2 1 a n z u s e t z e n , w a s e r g i b t geschrieben w e r d e n , i n d e m man G l e i c h u n g ( 1 - 1 9 ) m i t e n d l i c h e n G r e n z e n n i m m t . Eine ä h n l i c h e , a u f G l e i c h u n g ( 1 - 1 9 ) b e z o g e n e A b l e i t u n g i s t : sin n t 1 L Fs(s) a IOT Die h ö c h s t e F r e q u e n z t = rad/sec - r / T, woraus f o l g t T < 1 . k - s T m m ( e ) Anhang D: Ausaffixliehe Lösungen zu den Aufgaben 370 A n h a n g D: Ausfuhrfiche Lösungen zu den Aufgaben e d I-xk+1 x d x 1.x ( x m ) m- o m- o 7 1 und g e r a d e k u r z v o r t - n T: Man s e t z e x E e - s T und e r h ä l t mx v 3 -2nT gn- n- I 2 2 T m m(e ) m- o Aus dem Z w i s c h e n e r g e b n i s d e r v o r i g e n A u f g a b e f o l g t , w e n n man n o c h x e 2 T , (I-x)(-k-1)xk - (1-xk+I)(-1) x n - I - k, s e t z t (I-x)2 x k+ I - k kx x k k + 1 _ k + 11 k x + x en- (1-x)2 x 2 r 1.(I x k ) k g k ( I - x ) ] x 2(I- x ) (I- x ) F ( 8 ) . IOT - s T s ( I - k a t [1 - e - - e -sT) 2 I n n -I 2z ( - k a i , ' i ke ( 1 - e ) 1 pn-I xn - xn - n x + 1 I - z)2 2[ n ( 1 - x - 1 ) + ( x - n - I ) ] Bei gegebenem T 0 , 0 5 ; x E e 2 T - 1 , 1 0 5 1 7 u n d gn_ - 4 9 , 9 5 8 3 5 [ n ( 0 , 0 9 5 1 6 ) + ( 0 , 9 0 4 8 4 ) n - Durch e i n e ä h n l i c h e A b l e i t u n g f i n d e t m a n f ü r d e n Z e i t p u n k t k u r z n a c h t - n T Aufgabe 7 : C(s) H ( s ) F s ( z ) - ILc 1 0 mT e m- o -smT 1m k 107 - s T m t e -o m ) /(s+2) Daher w i r d d e r S p r u n g b e i t - n T Aus Ta b e l l e 3 - 1 , Z e i l e n 1 , 2 , 7 u n d D : g(t) - lOT k - 2 ( t - m T ) m e u ( m- o gn. - 49,95835 [ n ( 0 , 1 0 5 1 7 ) + ( 0 , 9 0 4 8 4 ) n - t -mT) gn. - = n(49,95835) (0,10517 - 0 , 0 9 5 ) = 1 ; Auch d e r A n s t i e g v o n g o + b i s g 0 1 . 1 2 - i s t n a h e z u k o n s t a n t ( e r ä n d e r t s i c h -2t k 2 , , e 2 m ( e . ) - u(t-MT) um w e n i g e r a l s I O S ) , s o d a ß man f ü r e i n e S k i z z e d i e K u r v e v o n g n + b i s g ( n + 1 ) durch e i n e g e r a d e L i n i e a n n ä h e r n k a h n : F o l g t man e i n e r M e t h o d e , d i e ä h n l i c h d e r i m B e i s p i e l 4 - 1 i s t , s o e r h ä l t man -2c n - I g [ ( n - I ) T < t < nT] - e2 M ( e 2 T ) m mso Steigung a - s n + - A e-2mT . A e-2nT e - s Steigung 0 ) g ( n . 1 ) - v A c - 2 ( n + 1 ) 7 -1) e-2nT (-0,095) Anhang D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben 372 A n h a n g D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben Aufgabe 9 : 0 glt) Siehe G l e i c h u n g ( 4 - 1 5 ) . 30 Maximaler N a c h z i e h f e h l e r i s t ( w e g e n e - t / R C 0 ) RC e : - 1 0 0 ( 1 0 11 ) 10 (106) - 1 0 3 Vo l t . 02 Q 4 0 8 0,6 12 0,8 16 1,0 I Iseci 20 n Z u Kapitel 5 Bemerkung: W ä r e d e r i d e a l e A b t a s t e r n i c h t v o r h a n d e n , e r g ä b e s i c h d i e Aufgabe 1 : Ausgangsgröße z u Siehe d i e Diagramme. g(t) L { -842 L • 21 2 1 . ) - 5 ( t - 1 - 2 e- 2 t ) -en 411 111 T 1 Deshalb f o l g t 0) T.0,5 F2n T g(t) = g(t) -En - i n -n/T 41t B n c r t rthl 8 11 /1 bl Tr0,3 A .3,33n T Aufgabe 8 : an Y. E f f e k t i v w e r t e n st q / . / 7 1 0 h/T Aus G l e i c h u n g ( 4 - 1 4 ) l i e s t man a b : cl T.0,2 Rz5n q 20/210 en e 0 , 0 0 5 6 4 V o l t -4n -n/T 4n I 1 3 . r 1 n/T 373 374 A n h a n g D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben Anhang D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben 3 7 2wn F ( j w - j -i-) 3 0 . b) A u s G l e i c h u n g ( 5 - 2 2 ) Aufgabe 2 : Siehe d i e Diagramme. i(jw) el 0 -500 -3146 11,3141,6 - • , T - r Nyquist 30 ' y i ( j . ) . 6000 ; 1 w L 2 w n n . - . ( j ( . - - T- ) 1 0 ) 2 r 6000 ; w L ne-. (j(w - 60n) + 10)-2 bl oder: -n/l P(jm) f n.o e n 200w ; 3° L Aufgabe 3 : -jonT • 3 1 0 n w / 1 200n I- e n.o 0 - w ( l w + 10)/30 n n(e ) a u s 3 0 -jwnw/30 Cl. (1-I9) a) M i t d e n Z e i l e n 1 , 5 , D d e r Ta b e l l e 3 - 1 f i n d e t m a n e(i.) j d 200 g ; ew(jw+i0)/30 20w 3 [1-e-r(jw+10)/3012 1 2 0 0 ( j 0 . 1 0 ) 2 F ( j w ) I • 2 0 0 S ( } + 100 + 2 0 j w ) ( - w 2 + 100 - 20jw) 1-1 / 2 c) A u s dem Diagramm i n ( 3 a ) , u n t e r d e r Annahme, d a ß n u r b e n a c h b a r t e Spitzen einen B e i t r a g l i e f e r n , f o l g t d i e D a r s t e l l u n g : • 2 0 0 ( w 4 - 200 w2 + 104 + 400 a h - 1 / 2 200 (w2+100) 4IF0w11 \607 -40 - 3 b - 2 0 - W 4.6 - 3 0 - z ö . e 0 1 0 2 0 3 0 43 5 0 ( t 0 W - - e24131 2 0 3 0 rt L a n/T 50 60 5 Anhang D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben 376 A n h a n g D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben b) F i n d e d i e DFT m i t N Aufgabe 4 : I I 3 7 7 Abtastwerten. Da j e d e r Te r m m i t f n m u l t i p l i z i e r t w i r d , b l e i b t i ( j w ) g l e i c h . Siehe d i e Diagramme. Pciu AbIostrowsr Nyquisl-Frequenzsnr- F(jw) 4 - j n v l f e -4 n wT - I 2 c o s w 2 c o o 2w - E r 0 Abloslrolesr/2 P l j Nyrw/M-Frequenz n r / 2 - w -2rtr / 3nr 2nr Er 0.--3r r/2 --r r —r- d l -2;‘, - f t , 0 Abtostrate :r/4 4 Nyquisl-Frequenz s nr/4 Aufgabe 6 : f t r 2Er g liW) ( — W C a) f(jw) v 3 - j w T n i f e n.n n r12 —r -2nr - 1 1 - E r ---nZrz r 1 . • 1 0 n r I + e - j 3 w T + 2 e i w r .4. 2 e - 3 2 W r s 2 n r 3 r t r n-j3wT/2 ( e j 3 w T / 2 e - j 3 w T / 2 2 e j w T / 2 + 2 e - j w T / 2 ) In Aufgabe 5 : 2 (cos 3wT - - j 2 2 e i n -2- - ) ( c o2e TwT w +3 2w c o sT - - ) 1T TTI -4 - 2 0 2 b) W i e i n d e r A u f g a b e 5 b b l e i b t d i e DFT u n v e r ä n d e r t , w e n n man n u l l w e r t i g e A b t a s t w e r t e h i n z u f ü g t . Wenn j e d o c h d i e OFT m i t d i s k r e t e n W e r t e n b e n u t z t a) F i n d e d i e OFT m i t N - 5 v o n N u l l v e r s c h i e d e n e n A b t a s t w e r t e n wird, w i e i n Aufgabe 5 , ändern s i c h d i e Werte, b e i denen i ( j w ) b e r e c h n e t wird: 2 P(jm) - 1 - j n wT E n en -2 im N - 4 : F m - 2 ( c o s 2 1 2 2 j e i n 232=2 ) )( c( oc so 2 s 2 2 + 2 4c o s - - ) . 2 - j n w e i ne- 2 - 1 + (e-jw n j w ) s (e-j2w e+j2w) - 1 • ( 2 c o s w ) ( 2 c o s 2w) : m Nv 6 P m • - 2 ( c o o 2 I- - ; w r a w r a m 2 a in e -. 2 2 ) ( c o s -r2 co---) Anhang D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben 378 A n h a n g D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben 3 7 9 Aufgabe 1 0 : Aufgabe 9 : fn A m p l a u d e l n i e ß l i n l . Amplitude n 1 a 1 l 1 l 1 1 a . l 1 a 1 1 a a . ) n -0 l •rt e ' ; n 0 . 1, 1 2 7 . M i t Anhang k , Z e i l e 1 5 2 , e r g i b t s i c h F(jw) 1 1 ( jw+0, I ) 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 b) E i n i n t e r e s s a n t e r Weg i s t d e r f o l g e n d e : 2 0 3 Freuten [ilitastkundel Frequenz Radion Sekunde g(jw) N- I - j n w i . 1 f e n.o n 1 2 7 -0,1-11 -jnw i n e -o 127 - ( 0 . 4 1 w ) n - 1 n n-o ( PROGRAM P59(INPUT,OUTPUT,TAPE10) x(127 x 1 2 8 - 1 2 8 x 1 2 7 + 1 ) e e I - x)2 - ( 0 , 1 + j w) COMPLEX x I , F 2 P1.3.14159265 4 xi -(0.00.0) f c) D r u c k e a u s und v e r g l e i c h e 1 F ( . 4 1 ) ! u n d l i ( j w ) 1 . W ä h l e 2 0 0 P u n k t e i n d e r DO 2 0 1 . 1 , 2 0 0 D a r s t e l l u n g . D a s Programm f U r d i e R e a l i s i e r u n g d e s Ausdruckens l a u t e t W.(1 -1)wPI/200. wie f o l g t : P1.3./(0.01+W**2)•••• 5 F2-(0.0.0.0) DO 1 0 J . 1 , 6 4 NT .J - I 10 F 2 . F 2 + ( 3 . 1 e X P ( - 0 . 1 . N T ) ) . C E X P ( - 1 . 1 1 X I * N T . W ) F2A.CABS(F2) WRITE(10,30)W,F1,F2A,FI-F2A 20 C O N T I N U E 30 F O R M A T ( 4 F 1 2 . 5 ) ENDFILE 1 0 END PROGRAM TEST(INPUT,OUTPUT,TAPE66.INPUT.TAPE77) DIMENSION F T ( 2 0 0 , 2 ) , W K ( 2 0 0 ) COMPLEX A , B , X 00 I M . 1 , 2 0 0 W.(M - 1 ) . 3 . / 4 1 5 9 2 6 5 / 2 0 0 . A.1/(CMPLX(0.,W)+0,1).+2 F T ( M , I ) .SQRT(REAL(A).*2+AIMAG(A)**2) X.CEXP( -CKPLK(.I,W)) 8.X.(127eXate128 -128.10+.127+1)/(1 - 1 0 . 4 2 1FT(M,2).SQRT(REAL(A)..2+AIMAG(A)1102) CALL M P ( 2 , 0 , 3 . 1 4 1 5 9 / 2 0 0 . . 2 0 0 , 2 0 0 , F T, W K , 0 , 1 ) STOP END 380 A n h a n g D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben Anhang D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben d) S i e h e d a s Diagramm! D i e 2 K u r v e n s i n d i d e n t i s c h 4 r 0,05 l 3 tO 3 S WM i v eit takelr-Rekons trul k t !Ions fehler Uni ttaker-Rekonstrukti en 2 0 0,8 0,05 0,6 0 20 4 0 -0.1 0 60 8 0 1 0 0 1 2 0 Q4 0 2 0 4 0 6 0 BO 100 20 0.05 Fehler der i nearen Rekons rukt an 0,2 0 2 0 0,05 4 -0.10 0 2 0 4 0 6 0 9 0 100 120 3 Die R e k o n s t r u k t i o n e n f * ( t ) u n d d i e R e k o n s t r u k t i o n s f e h l e r f C ( t ) — f ( t ) , wobei 2 TABTAST - 1 , 0 u n d T R E K 4 0 , 5 . 0 Aufgabe 1 6 : 20 4 0 6 0 8 0 W O 120 M O 2 • 1' 4 der F o u r l e r-Re h e n i f r Fehler e Rekonstruktion f ourier-Rei h e n Rekonstruktion 0 2 2 f (r) P 0,05 0,10 40 0 Ho US 1 2 0 0 6 0 0 2 0 2rit N -2 8 0 015—'120 1J 0.05 . = ' 7 c .4e 7 — - I (e • 2r(-1)t 57 + e 2wt ST * 2) Carephel 1-Rekonstruktions fehler -k ( 2 + 2 e S T 0,0 -0,I 0 2 0 0 0 8 0 100 120 1 2 c t -5 ( 2 + 2 c o s - - ) 5T + 2 g- j 2;1T • f ü r ' 0 < t < ST 8 1 382 A n h a n g 0: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben Anhang D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben D i e DFT w i r d " f e h l e r h a f t e " E r g e b n i s s e f ü r w 4 Aufgabe 1 8 : w o k 3 8 3 2r/NT l i e f e r n , o d e r wo I . 2 w • 1 0 5 + k • 3 9 0 6 , 2 5 r , k - 0 , ± 1 , ± 2 , T - 1 0 p s e c , Rauschen b e i 1 MHz. Man b e r ü c k s i c h t i g e d a s A r g u m e n t i m A n s c h l u ß a n G l e i c h u n g ( 5 - 6 3 ) : Wenn man das F e n s t e r m i t W 2 e / w w ä h l t , w o b e i m 2 1 Bemerkung: F ü r d i e DFT m i t d i s k r e t e n W e r t e n , d i e z . B . m i t e i n e m F F T- • 106 rad/sec bedeutet, l e g t Algorithmus berechnet wurden, i s t k e i n Wert " k o r r e k t " . man e i n e E i n h ü l l e n d e a u f d a s b e r e c h n e t e S p e k t r u m , d a s g e n a u b e i d e r F r e q u e n z des Rauschens g l e i c h N u l l i s t . um W - 2 1 / ( 2 n z 106) 1 2wm • 3906,25mr usec Aber wenn mm k o r r e k t i s t , d a n n i s t 3 9 0 6 , 2 5 mw 2 r Das s i n d l a d e s A b t a s t i n t e r v a l l e s T . • 105 + 3906,25 kw; oder ( m - k ) - 5 1 , 2 . D a b e i muß ( m - k ) e i n e g a n z e Z a h l s e i n . Aufgabe 3 : Z u Kapitel 7 T 1 Ta g , N 9 0 •-• w - o 2 . r a d 3 6 5 Ta g • Aufgabe 1 : In G l e i c h u n g ( 2 - 9 ) : B o N , w. 3 0 • 2w , T 1 . B I - s i n wot 0 2 - 103sec 00o . 1 , Wie l a u t e t d a s m i t dem Computer b e r e c h n e t e S p e k t r u m b e i 4 5 H z (w - wo) - ( 4 5 - 3 0 ) • 2 w . 3 0 n . ßlo s i n (2nr/365) 4 2 n - cos w t . o - cos ( 2 n r / 3 6 5 ) . Die F o u r i e r - R e i h e n a c h G l e i c h u n g ( 2 - 2 3 ) k a n n man d u r c h L ö s e n d e s f o l g e n d e n Gleichungssystems f i n d e n : • Die I n k r e m e n t e i n B i l d 7 - 1 b e t r a g e n w / N T. F ü r d i e s e A u f g a b e s i n d d i e s 1 0 v. Daher müssen w i r d e n W e r t v o n l i ( j w ) 1 b e i d e m d r i t t e n I n k r e m e n t b e s t i m m e n 3 r / N T. E r b e t r ä g t e t w a 0 , 2 1 • N - 2 1 . 89 Das g e n a u e r e E r g e b n i s , d a s h i e r n i c h t g e f o r d e r t ‘ m r d e , e r g i b t s i c h a u s / I n.o r 2 r n L stn — 365 2wn cos 365. an/2 £f Gleichung ( 7 - 4 ) : 901)1 - I s i n 3 x / 2 1 / I s i n 0,03r 2 - 2rn ein - - 365 21,228515. / Aufgabe 2 : N 5 1 2 , w0 2 w • 105 , T - 1 0 6 sec. c o s 21m a i n 2 2wn 3 6 5 r 2 w n 2rn 2 w n c o s - 3 7 3 e i n 365 2 i n t 365 2 3 6 21m -3 co stn L 5 6 5 51 2wn Un s m 7 6 3 ifnc 2wn 365 384 A n h a n g D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben Anhang D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben 3 8 5 Z u Kapitel 8 Aufgabe 1 6 : Die OFT's i n d e n Aufgaben 7 und 8 können m i t H i l f e d e r DFT-Faltungen w i e Aufgabe 3 : f o l g t e r k l ä r t werden. Für Aufgabe 7 : D i e DFT d e s Rechteck- F e n s t e r s ( s i e h e Aufgabe 5 ) . Q(3m) - ( 1 - e - j l i w T ) / ( l - e - j u a ) N e 64 , T bo e 1 , b 1 . 1/64 ä(3w) Nm - 17( ( j e i ) = - 1/2 ' b 2 - 1/6 2 - j u i n i e ' n.o n - j w bI - i e • T j 2 w T i e - ( I - e-jNT2wm/NT)/(1- e j T 2 " / N T ) 1 1 - 7 cos wT + 1 1 1 -j[ e i n wT + s i n 2wT] T w 2 s o c - ( 1 - e - 3 2 m ) / ( 1 _ e-j2nm/N) welches f ü r m < N i d e n t i s c h i s t m i t 1N m - 0 0 1 < m w 2 . ) T -; j - jwT(N+1) j w T ( 1-e 2N+I ( I I - e j w T 1 i _ e N + 1 ) b w2 c o s n wT dw ( s i n wriT I-e-jwT nn ( s i n n w2T - s i n n toi T) ; n (6.2 - ) • 1-e-jwT(N+I) e j w T + ) - e-Pr e j w T 1 j w T - e jwT(N+I) e ifiZr 1 - e j o T I nwT)w2 wl ) ; 0 n 0 Daher e r g i b t s i c h d e r F i l t e r -Algorithmus z u - e jwT e j w T ( N + I ) e j w T _ e jwTN 2N+I ( ejwT _ l e j w T - 1 gn, " N 1 7,17, ( s in n w2T - s i n n w i T ) f m- n 3 8 7 388 A n h a n g I): Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben + o 2 n Die I m p u l s a n t w o r t v o n vm der v o r i g e n A u f g a b e . ) i • b n cos nwT -I 2 m -I/2T N 2 — n( s i n n w i r - e i n n I T ) n e i ) 1 Für N - 2 i s t d i e N ä h e r u n g i m Diagramm f ü r s p e z i e l l e W e r t e v o n T , m i , 0 2 . 0 I I/6T m . 2 0 S o n s t angegeben. Aufgabe 1 2 : Gesucht i s t H ( z ) f ü r v m u m H(z) - 1 - - 2 um-1 + u m _ 2 1- 1 1 i z + z -2 Aufgabe 8 : i s t gesucht Die I m p u l s a n t w o r t v o n ym 2 x m - 1 Aufgabe 1 4 : fI/T m . 0 Gesucht i s t H ( z ) f ü r y xm [ 0 I 2/T y 1 / T O 8 9 - um-1 + 1 u m - 2 i s t g e s u c h t . ( u m w i e x m i n m u 1/T - — T(ta II 2 3 Aufgabe 9 : Die e r r e i c h t e Näherung l a u t e t ITI(jw) Anhang D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben s o n s t m + I m - 0 1 x m2N+1 N m -n N(e) 2 N f 1 cI • - n 1 =( - 1 n - - N 2 N + I + z •-n + • ,n) n- o s o n s t 2N+1 I ( 2N+ I 1- z - 1 + z - z z -N 1 - z 1 - z zN+1 1 z -N - zN+I 2N+I 1 - z Anhang D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben 390 A n h a n g D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben 3 9 1 Aufgabe 1 8 : Aufgabe 1 5 : Beweise, d a ß : I • W ( z ) d i e A e l i t t i d e n v e r s t ä r k u n g n i c h t b e e i n t r ä c h t i g t . a) F i n d e 110(z) a u s g e d r ü c k t d u r c h N u ( z ) . Man b e n u t z t d a s E r g e b n i s d e r Aufgabe 1 7 m i t k w - N . D a E u ( z ) d e n lit(je)I - sofern I I ( z ) - Algorithmus um w l b n nw-N „ k • ineutol - x _ b e s c h r e i b t , e r g i b t z N • Hu(z) dann 2N ul a i b x v m n - o n -N m - n m - lej''' i(eiwT)1 - Ii4eja)1 Hv(x) - x - N • H u ( z ) b) } I v ( j . ) i l v ( e j t a ) e - j e T N 1-t(ejer) e - j t a T N Aufgabe 1 6 : Zeige d i e Wirkung a u f d i e Phasenverschiebung, wenn N ( z ) m i t z 1 m u l t i - Man b e a c h t e , d a ß F 1 [e -joNT 5 . ( j . ) ] M t - N T ) , siehe S. 48, Zeile 7. pliziert wird. 0,(j.) . £11 + /H(r) / ( e i . T ) -1 + z i e m ) - -u - + 4 ( r t u ( j _ w ) - - N u r + /1-i.(jw) / i l ( j i d ) c) D a s u - F i l t e r macht e s e r f o r d e r l i c h , d a ß N z u k ü n f t i g e A b t a s t w e r t e z u r Verfügung s t e h e n , was d i e Speicherung v o n NT Sekunden e r f o r d e r t , o d e r —4401/Lgabe 17: eine Verzögerung v o n N T Sekunden f ü r e i n E c h t z e i t - S y s t e m . D a s v - F i l t e r k z • 11(z) benötigt keine zukünftigen Abtastwerte, a b e r es h a t e i n e Phasenverschiebung von - N w T, w a s e i n e r Ve r z ö g e r u n g v o n N T Sekunden ä q u i v a l e n t Zeitverschiebung m i t k Z e i t s c h r i t t e n . Nc 7 0 , n - - N b n xm-n y w i r d n i c h t verschoben. x w i r d verschoben. N- k n114_1( bn+k xm-n i s t . Daher sind d i e zwei f ü r e i n Echtzeitsystem äquivalent. . Anhang f): Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben 392 A n h a n g D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben 3 9 3 Aufgabe 9 : Z u Kapitel 9 Skizziere d i e e r s t e Periode von 1 / 1 0 0 1 f ü r F i l t e r C. Aufgabe 2 : H(jw) 8 ( e i w T ) A : sm 1 (z)-/) - z / ( z - 0 , 2 ) A ;H .1 g ,2 0 + fm 2 e2j4ff e2yoT - 0 , 7 e i w T + 0 , 1 B : g m • 2 f m - 0 . 2 A m . , ; 118(z) - 2 / ( 1 + 0 , 2 z 1 ) 2 s / ( z + 0 , 2 ) 2 e2iwr cos 2wT - 0 , 7 c o s w T + 0 , 1 + j [ s i n 2 w T - 0 , 7 s i n w T ] imim)12 2 2 / ( c o s 2 2wT + 0 , 4 9 c o s 2 wT + 0 , 0 1 - 1 , 4 c o s 2 w T c o s Aufgabe 3 : + 0 , 2 c o s 2..T - 0 , 1 4 c o s wT + s i n 2 2wT + 0 , 4 9 e i n t wT C : g m = 2 f m + 0 , 7 gm.1 - 0 , 1 g m . , - 1 , 4 s i n t a t s i n 2wT) oc(z) - 2 / ( 1 - 0 , 7 z 1 - 2 ) - 212/(z2-0,7 z 0 ' 1 ) D : g m = f m + 0 , 2 gm.1 - 0 , 0 5 8 m . 8 2 = 2 / ( I + 0 , 4 9 - 1 , 4 c o s w T + 0 , 0 1 - 0 , 1 4 cos w T • 0 , 4 c o s 2 w T - 0 , 2 ) 1H(jw)! - 2 / ( 1 , 3 - 1 , 5 4 c o s w T + 0 , 4 c o s 2 w t ) 1 / 2 Hm(z) - 1 / ( 1 - 0 , 2 z 1 + 0 , 0 5 z 2 ) - z 2 / ( z 2 - 0 , 2 z + 0 , 0 5 ) 0 0 , 2 f : 5 3 , 5 5 8 0,4w 0 , 6 1 0 , 8 , 2,154 1 , 4 8 5 1,194 1 , 1 1 Aufgabe 4 : Bemerkung f ü r d i e Berechnung d e s F i l t e r s D : E : gm - f m + + 0 , 2 g s r l - 0 , 0 5 gm.8 8j2wT + A mjwT z2+z HE(z) e ( 1 + z -1 ) / ( I - 0 , 2 7 - 1 + 0 , 0 5 z - 2 ) - + 111 - ' t o s 2 w T + A c o s w T + 8 + j ( s i n 2wT + A s i n z2- 0 , 2 z + 0 , 0 5 (cos2 2wT A 2 c o s 2 w T + 2 A c o s 2wT c o s w T + B 2 + 2AB c o s WT + s i n 2 2wT A 2 s i n 2 t o t • 2 A s i n 2wT s i n w T + 2 8 c o s 2 w T ) I / 2 cos w T Aufgabe 5 : g ( j w ) - 11(eiwT) TIA(jw) - ( 1 - 0 , 2 e - j w ( ° 1 3 1 4 1 6 ) ) - I - [ I • A 2 + 2 A ( I + B ) c o s w T + B 2 + 2 B ( 2 c o s 2 W P - 1 ) 11 / 2 [i + A2 + 8 2 . 2B + 2 A ( 1 + B) c o s w T + 4 8 c o s 2 w T ] I / 2 394 A n h a n g D Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben Anhang D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben e2jiaT G(z) e23mT 0 , 2 e j w T . 0 , 0 5 T 395 ( (12'5 - 3 1 1 ) z ( 0 , 5 + 3 1 1 ) , 4 z "0.1 -30,2 . 0 , 1 j 0 , 2 IH(3w)1 1 / [ 1 + 4 + 0 , 0 0 2 5 - 0 , 1 - 4 ( 1 , 0 5 ) c o s w T + 0 , 2 c o s 2 u T ] I / 2 ( 0 , 5 - j j j - ) i ( 0 , 1 + 3 0 , 2 ) m z-m+ ( 0 , 5 + j mao e 1 ( 0 , 1 -30,2)m z4 Immo - 1 4 4 , 9 0 2 5 - 4 , 2 c o s wT + 0 , 2 c o s 2 w T ] I / 2 wT 111(30)I 0 0 1,053 , 2 1 0 , 4 n 0 , 6 1 0 , 8 1 0 , 7 8 2 0 , 5 2 5 0 , 4 0 1 0 , 3 4 4 gni - { ( 0 , 5 - j 14)(1 +30,2)m+ (0,5 + j (0,1 + 3 0 , 2 ) C ( c o s a + j s i n a ) ; 0,1 11-14,11 Hu WIE 3 1:16 2 0,4 - C cos a 2 - tan a Filter Fiter C 4 j0,2)m} 0 , 3 2 8 to 5 - ; 0,2 - C sin a a - 1,10715 C - 0,22361 Q2 gm 0 22361mT f (0,5-3 I I ) e i 4 1,10715m . (0,5 ei 11 e - I , i o n 5 m } 4 . • 0270,4% (totgen rt 0 4 2 11 Q m (16n Q81c ; - 0,22361m f e j I , 1 0 7 1 5 m . e j I,10715m + 2 e j 2 1,17015m-e -j I,10715m 2 j - 2,2361m I I 1, fcos(k,/0715m) + sin(1,10715m)1 Aufgabe I I : Antwort des F i l t e r s E a u f einen Nadelimpuls. ( z i e m l i c h s c h w i e r i g ) 11(z) ` G(z) - G(E) H ( z ) 4 1 ( z ) 2 z -0,2z+0,05 1 1 T (z-0,1-j0,2)(z-0,1+j0,2 ( T T s2_0,2z+0.05 A z 8 : ( z -0.1-j0,2 ( z - 0 , 1 + 3 0 , 2 ) ) Das E r g e b n i s k a n n w i e f o l g e m i t dem E r g e b n i s i m Te x t i n O b e r e i n s t i m m u n g gebracht w e r d e n : s i n { ( m + I ) o j s i n n cos mit + c o s a s i n n a cos a - c o s 1 , 1 0 7 1 5 - 0 , 4 4 7 2 1 Az + A ( - 0 , I + j 0 , 2 ) + 8 z + 8 ( - 0 , I + 3 0 , 2 ) z sin a . 0,89442 + f ü r c o s 1,10715m k a n n man s e t z e n A+ 8 . 1 ( s i n [ I , I 0 9 1 5 ( m + 1) - 0 , 4 4 7 2 1 s i n ( I , 1 0 7 1 5 m ) ) - 0 , 1 ( A + 8) + j 0 , 2 ( A - 6 ) - 1 ; 3 0 , 2 ( 2 A - 1 ) - 1,1 0,89442 A . 0,5 - j II ; e . . 0,5 + j I I . 396 A n h a n g D; Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben Anhang D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben Auf Rabe 1 7 : 0,22361m ( 1 , 1 1 8 s i n [ ( z i + T 2 Brz + ( 11 . - 0 , 5 ) s i n m a } TYPE P17C9 DSA [15 0 6 1 8 ] = -5 T ' (022361)m { ( 0 , 2 2 3 6 1 ) s i n t ( m + I ) 1 , 1 0 7 1 5 1 + s i n 1 , 1 0 7 1 5 1 1 C T H I S DOES PROBLEM 1 7 , CHAP 9 . DIMENSION A ( 2 ) , B ( 2 ) , C ( 2 ) ,C ( 2 , - 1 . 5 0 ) , TIM(50) A(1)-2 Unter B e n u t z u n g v o n Ta b e l l e 9 - 2 : B(1)=.7 C(I)=-.1 1 z 2 +z A(2)=1 z2- 0 , 2 z + 0 , 0 5 B(2)= 2 C(2)=-.05 1 -z 1 T z 2 + z L(z - 0 , 0 2 . (0,2)2 -1 z 2 DO 1 0 J = 1 , 2 DO 1 0 M- - I , 0 (z - 0 , 1 ) 2 + ( 0 , 2 ) 2 10 C ( J . M ) = 0 DO 2 0 M=1,50 mit den Z e i l e n 2 und 5 . • i (gm gm-1) Farö IF(M.GT. OF..1 / F ( M . C T. 11 ) F. - 1 . wobei I F ( M . C T. 2 1 ) F = 0 . z2 -1 { gm = DO 2 0 J = 1 , 2 (z- 1)2+ (0,2)21 C(J,M)=A(J)eF+B(J)+1C(.7„M-1)+C(J)*C(J,M-2) 20 01 ,2 - gm - 5 1 7 5 -1 0 , 2 ] m(m++ 1)l tan e i n IM (M)=• 00005*(M-1) CALL OFTLE(21,‘P9 I P ) , Zeile K r ( 0 , 0 5 ) m / 2 { s i n ( m 1,10715) + ( 0 , 0 5 ) 1 / 2 s i n i ( m + I ) T WRITE(21,30) (TIM(M),C ( 1 , M ) , C ( 2 , M ) , / 4 - 1 , 5 0 ) 30 F O R M A T ( 3 P ) 1,107151} END 397 398 A n h a n g D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben Anhang D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben Aufgabe 2 3 : Aufgabe 1 8 : gm 2 f m + 0 , 7 g - 0 , 1 gm_2 Trage d i e P o l e u n d N u l l s t e l l e n d e s F i l t e r s E a u f u n d z e i g e d e n A n t w o r t v e k t o r f ü r 1 0 kHz, wenn T 1 u s e c . Man s o l l t e n a c h f o l g e n d e n w i c h t i g e n D i n g e n s e h e n : 1. S i n d d i e Ve r b i n d u n g e n k o r r e k t i n dem S i n n e , d a B s i e d e n Rechen- 2 H(z) • Algorithmus r i c h t i g wiedergeben? Z + z2-0,21+0,05 Z ( ( z - (0,1 + j 0 , 2 ) ( z - ( 0 , 1 - j 0 , 2 ) ) Z + 1) 2. D a Diagramm 1 e i n e u n t e r s c h i e d l i c h e Methode z u r A b l e i t u n g d e s A l g o r i t h m u s i m p l i z i e r t a l s Diagramm 2 , s o l l t e man s i c h f r a g e n : i s t d i e Ordnung d e r Ve r z ö g e r u n g s e l e m e n t e , M u l t i p l i z i e r e r u n d Addierer so w i e s i e s e i n s o l l t e ? Aufgabe 1 9 : F i l t e r D i n d e r Form des D i a g r a n e s 2 . gm f m 0 , 2 g m - I - 0 , 0 5 gm-2 z ejmT wm - 1 0 0 . 1 0 3 • 2 . T 1 0 6 wmT 0 , 2 . Re(z) c o s 0 , 2 , - 0,8090 im(z) e i n 0,2, 0 , 5 8 7 8 jm ° e ilkiwo) I cas 0 , 2 , g -2,22 j s i n 0,2a bj(jm0) - o + B - y - 6 (a 0 , 2 a ) 36°1130 - 28° - 48° - - 22° (-36°) 4 0 2 A n h a n g D: Ausführliche Losungen zu den Aufgaben B(e) - [ - [ - ( I - e- t ) u ( t ) - u ( t - 2) [ t - (1 - e t ) ] u ( t ) - u ( t - 2) [ Anhang D: Ausführliche bfrsungen zu den Aufgaben ( t - 2) - (1 - m- ( t 2 ) ) + 2 ( 1 - e - ( t - 2 ) ) Aufgabe 5 : t - (1 + e- ( t - 2 ) ) ] gn. • T i • f h - T n . . n M —U i • h f 11..0 n m _ n h(t) - e - t 20 1(1) 15 / / 10 / // 5 / / / i \ gorn mherunom. eeee 0 ansang eure Feltu g •‘ ...t_...._911) '.. /2 /.." f(t) t ""ti 0 : 0 0 1 4 5 6 sonst 7 nT ; 0 < n < 8 T 0 , 2 5 fn TYPE CIOPI DSA [14 11 2 0 ] C T H I S ROUTINE DOES PROBS. 1 , 2 , 5 I N CHAP 1 0 . DIMENSION T I M ( 5 0 ) , F ( 5 0 ) , G 0 ( 0 / 5 0 ) , G T ( 5 0 ) , G C ( 5 0 ) K•29 T- . 2 5 E€XP(-T) G0(0)-0 DO 1 0 M . 1 , K C C A L C ZERO ORDER APPROX. T I M ( K ) ( M -1)*T F(M)-TIM(M) I F ( T I M ( M ) . G T. 2 . ) 12(M)•0 0 8 ( 4 ) . T. P ( M ) + E * 0 0 ( M -1) C C A L C . OUTPUT T11€ FUNC GT(M)TIX(M)-1+EXP(-1.TIM(M)) I F ( T I N ( M ) . L E . 2 . ) GO TO 5 A flTIM(M) - I -EXP( -11.(TIM(M) - 2 . ) ) GT(M) aGT(M) -A 5 C O N T I N U E C C A L C . ZERO ORDER CONUOLUTION J IF(TIM(M).Gf- 2 . ) 3 . 9 GC(M).0 DO 1 5 N . 1 , J 13-(N -1)*EXP((N-1),,T) 15 C C ( M ) - C C ( M ) + B 0000"0C(M)*T•T*EXP(-TIM(N)) 10 C O N T I N U E CALL O F I L E ( 2 1 , ' P 2 ' ) WRITE(21,30)(TIM(I),F(I),CT(I),C0(I),GC(I), le1,E) 30 F O R M A T ( 5 F 1 2 . 4 ) END 0 ( sonst Diagramm 1 Diagramm 2 A 11T) hlt-r1 1 2 4 8 3 4 rd 12 16 n Diagramm 1 : gom T mt.m<8 - n T m / e ( m -n) T T rrro n e m - - n T r L e ( m - n ) T 8 m> 8 Diagramm 2 : go. c l • m,m<8 - ( m - n ) T 8 . 0 a s r n t e + T ) . n rmo n e n -mT -T2 e m, m<8 8,m7E1 n T n e r)•(> - ( m - n ) T i e 403 404 Anhang D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben A n h a n g D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben 4 0 Aufgabe I I : Aufgabe 6 : gor° T Holz) - -T fm + e g m m - 1 H(s) - +I H ' (z) - T T z TV T r- e ( v e r z ö g e r t d e n E i n h e i t s s c h r i t t u m T, s o f m - 0 ) F(z) 7 7 7 T • • z - 1 Z e i l e 155: Tz G(z) - H ( z ) F ( z ) 0 ( z Be A • I - e- T A z z - I - I ) (z - e- T -T T e - T -T e - I B - B z z - e- T 5-Ebene T 1- e - T • — o n s : i l n r • ltntannt 41z — — — e • Null bei sm.. OM B I ( 1 - e e-mT) — - Aufgabe 1 0 : f(t) Nullstelle bei z e o wird abgebildet auf u ( t ) und T 0 , 2 5 tim g m t i m irew z - e l 80 ( z - 1 ) Gm(z) Polstelle bei z . t i m ( z - 1) H o ( e ) F ( z ) tel tim ( z - 1 ) T z - T z-el z - e y t zn 0 e w i r d abgebildet auf sp - 1 t n e - T + T ( 0 z j 2 w 0 ) z - 1 f z - I 2 e n - 1 ± 8 en f ü r T 0 , 2 5 - Tz2 t z-eI z - e- T i 0,25 m 1 -T 0 , 2 5 1- e 1 e • 1302 5 Anhang D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben 4 0 6 A n h a n g D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben Aufgabe 1 5 : Methode f ( t ) N H(s) / I Z e i l e G(z) F ( z ) - e i ij ( z ) - 101 i m Anhang A A • 11(z) z n- I n " a n • h(t) z A n N T n-1 a e I - e -T— z-1 z - e T t - z qm An z- I I T z -e • 6 (z)-• d u r c h P a r t i a l b r u c h z e r l e g u n g _ e-mT nt -a T gcm T nel (A T f n m e n gom-1) Aufgabe 2 : H(a) - f(t) - A e-at S+a F ( s ) - 71,7, Anhang A Z e i l e 151 Jlr ;(a) Zu Kapitel 11 A z -aT z- e zizl[H(a) F(s)I) H(z) Aufgabe P(z) f(t) - u(t) Methode 1 : f m 1 m %0 > 0 q 1 z- e a T Z f L - 1 Az - e -T q2 e I - e- T • e - T ( I - e- T ) - ▪ 1 - e- 2 T q3 • I - e - T ( a n_e-aT + [ A a ) , 1 1 - Tz e - a r (e e - a T ) 2 e -T (1 - e - 2)T Zeile 152 - I - e -3 T e I - e -inT ü b e r p r ü f e : qn+1 • m > 0 e- T e - T ( l _ e - m T ) e-(mtl)T gm e T e -aT e a T q m -1 ; m > 0 4 0 7 408 A n h a n g D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben Aufgabe 6 : Anhang D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben I ficio I I - e- T - 2 e r cos c i r + e - 2 ? H(z) - G ( z ) / I ( z ) z{c1H(s) 1(5)1)/I(1) Z(Llr Da I ) s2 + 2s + 5 11(jw) j w + 1 I H ( j c s ) I I /z=1 2 52 + 2s + 5 ( 5 + 1)2 + 22 2 l ä ß t s i c h Z e i l e 2 0 6 v o n d e r Ta b e l l e v e r w e n d e n : 11(z) = I z e s i n 2T z - 1 2 z " 7 - 2z e T c o s 2 T + e - 2 T e & szn 2T ( z 2 - -1z - 2 1 - 2 z - 1 e - T cos 2T + e -2T z - 2 gm e s m 2T 2 ( f m _ i - f m _ 2 ) • 2 e - T c o s 2 T gm_i - e - 2 T gm_2 Aufgabe 1 0 : 11(s) 1 (5+1)2 110(z) T 2 z e - T (z - e- T ) 2 Aufgabe 7 : H(z) - zu» [ ih- • 11(o) H m H0(1) A(r) Anhang A , Z e i l e 1 5 2 T2 m e - T (z) T 2 e-T • ( 1 1 - e- T -T (1_e-T)2m 0 I - e- T ejwi_e-T _ e- T ) 2 m HA(z) t z - e - T, 2 z 2 ITI(jw) (z - e - T ) 2 - e- T ) 2 " e -T)2 f - 2e- T z + e -2T + 2e-T ro-1 " r o - 1 2 e T 4 m - 2 4 0 9 Anhang D: Ausfahrfiche Lösungen zu den Aufgaben 4 1 0 A n h a n g D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben 4 1 10 Aufgabe 1 2 : t 11-1fiwIl Amplitude H(im) j „ z C , $ . 0 ,,111,44 to.' 10.2 111001 1 . 4 ( 2 . 0 1 / 2 ../ 1 10-2 0 Für d i e b i l i n e a r e T r a n s f o r m a t i o n : G I . ( 1 1 - 3 2 ) w 2 . 0 A • 21 c t n , 21 0 , 2 5 2 • A - 2 1 Gl. ( 11 - 3 1 ) : i1B(j0) H ( j INI(j01 A tan wT - 1 j A t u n 11- ( j A t a n 1 IA t a n 2 1 I ( A 2 t a n 2 I A , 2' '21 1 ) 1 / 2 tO .... ,.--- ) . 21 ; - 0,25. r 2 3 Frequenz H z ! - - . . TY DA1112 [13 2 3 2 9 ] C T H I S I S PROB. 1 2 I N CHAPT. 1 1 DIMENSION A ( 8 1 ) , B ( 8 1 ) , C ( 8 1 ) PI.3.14159265 T. . 2 5 AAabel DO 5 0 1 . 2 , 8 0 W. ( P I / ( T • 4 0 ) ) * ( I - 1 ) A(I).14/(21IPI) 8(I).1/(fflele2a1)reet.5) TA.SIN(NeT/2)/COS(14eT/2) C ( I ) . 1 / ( A A . + A B S ( TA ) * ( A A . . 2 111 TA . 4 2 . 1 ) . . . 5 ) 50 C O N T I N U E CALL O F I L E ( 2 1 , ' 0 1 1 1 2 ' ) WRITE(21,60)(A(1).8(1),C(1).1.2.80) END F I L E 2 1 60 F O R M A T ( 3 F 1 5 . 5 ) END QB IARBaiud Oh Amplitude 44 Aufgabe 1 7 : Q2 H i t d e r z u g e f ü g t e n Ve r z ö g e r u n g bekommt d e r v o r d e r e T e i l d e r S c h l e i f e i n 0 0 2 B i l d 11 - 2 2 e i n e n e u e Ü b e r t r a g u n g s f u n k t i o n 11 ; ( z ) . Frequenz i HZ I -• Int) - z 1 1 Yin -1 H (z) 1 - 2 T ( 1 - e ) - f z e (1 - e - 2 T ) z 2 2 m- z- T T e - 1 ( 1 - e- 2 T ) 2 2 T -e — z 1 412 A n h a n g D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben AnhangD:AusführlicheLösungenzudenikufskeen Aufgabe 1 8 : 4 1 3 2 e T s i n 3 T [ z 2 + (5KT(1 c - 2 T ) _ e - 2 T _ I ) e e e - 2 1 1 Der Nenner d e r Gesamt- Ü b e r t r a g u n g s f u n k t i o n i s t 1 + H 2 ( z ) 31C(1 - e wobei H'i(z) { e 2 - e - T c o s 3 T + e - 2 11 wie i n A u f g a b e 1 7 gegeben i s t . Man s u b s t i t u i e r e G l . ( 1 1 - 6 4 ) f ü r K + _2(11 - e ( 1 2 T ) 1 0 z -e-2T Tz z - I 1 0 Te - T s i n 3 T [ C 2 7 C ( [ 1 - 2 C - T c o s 3 T + e - 2 T ] . e - 2 1 1 1 ) + e - 2 T ) H3(z) 3(I- 2 e - T cos 3T + e -2T) [z2 - 2 z e - T c o s 3 T Auflösen d e r Brüche f ü h r t z u c Nenner . z 2 - - ( 1 2. e- 2T) T e . + . 1 0 Te - T e i n 3 T 5 K T z (1 - e- 2 T ) Konstante. 3(1 - 2 e T c o s 3 T e 2 1 . z2 + [ 5 K T (1 . e2T) - (1 + e - 2 7 ) ] e . e -2T - G l e i c h u n g ( 11 - 6 3 ) K • G l e i c h u n g ( 11 - 6 4 ) , d . h . e s e r g i b t s i c h k e i n e Änderung von K b e z ü g l i c h Zu liehe' 12 e i n e r Ve r s c h i e b u n g d e r Ve r z ö g e r u n g . Aufgabe 1 : Aufgabe 1 9 : d 8c . 10 t o g i o IH(ime)12 H3 (z) , Gesamt H ( z ) 1+111(z) 112(z) wobei H ( z ) z 10 t o g r o I H ( j w c ) 1 2 . 1 0 t o g ( 1 2 I+c d Be . 1 0 t o g ( I 2 ) 1.e I K H1 ( z ) Dann to H3(z) - H ( z ) I - G l e i c h u n g ( 11 - 5 7 ) H I ( z ) , H 2 ( z ) s i n d d e f i n i e r t i n B i l d 11 - 2 1 11 (z) da I l l a m c ) 1 2 . [ H 2 ( 11'1(z) z 1 I d Be 8 1...e2 1 0 1.2 ) 1.£2 . 1 0 - d B c / 1 0 • 11(7.) [ 2 ( z - e- 2 T ) 1 0 U i ' [ 2 ( z - e - 2 T ) ( z - 1)+10 T K r ° - e - 2 T ) -2 + . ! H ( z ) 2 K(1 - e T ) z K ( I -e T ) ( z - 1 4 -da / 1 0 c d . 10 B /10 c e -2T1 414 Anhang D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben A n h a n g D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben I Aufgabe 4 : 2 1 2 e . 1 1 4 1 N euch 1(3) euch - 1 ( 1 , 1 7 5 ) I s rei • c 1,42 3 tog(3 + 4 tog(1,175 + V1,1752 - I 4 Passbond S p e r r b o n d 0,77 . 3 0 4 0,25 ' Log(X/c) N> - t o g (a1 / w c ) 1 2 . N . 4 E 0'5 I Aufgabe 1 6 : 1+e X2 - 9 I2 1+1 Aus A u f g a b e 5 i s t d i e Ordnung N - 4 b e k a n n t . ' 3 0'I Ific(im)12 1 2 wr c2VN (77.) Daher + N> 2 wr VN ( —w) tog 3 0,4771 11 7 5 • K • 2 z 0 , 0 7 0 0 6 , 8 1 6 w g 1 0 - K • 2z Daher k a n n m i t c - 1 , w r - 1 1 , 7 5 • 1 0 3 • 2 , u n d ;Je - 1 0 • 1 0 3 • 2m e i n Ns 7 Computerprogramm g e s c h r i e b e n w e r d e n , u m d i e L e i s t u n g s v e r s t ä r k u n g z u b e rechnen u n d a u f z u t r a g e n . Aufgabe 1 7 : Aufgabe 5 : wc • 2' 104 c N 3 T - 0,2 • 1 0 4 ut 4 t " N 1w o sh( 1 / t )b cu cash ( u r / w c ) e i coshla c tog(n A r e T 7 1 ) w ' - tan [ a 2 n 0,2w - 0,726543 5 4 1 6 A n h a n g D: Ausführliche Lesungen zu den Aufgaben n+I n sc w c e 3 AnhangD:AusführlicheLäsungenzudenAufsmben n 1 , 2 . 3 ,3 isc 11(s) - ( s _ w,, e 3 2 1 / 3 ) , , c c e l s „c c c j i i r / 3 ) ,3 + [ s 2 - 263 c o s 2 3 s + 451c21 x :02 ( z + 1 ) 3 [ z - I +iatc(z + 1 ) 11 ( z - 1 ) 2 - 2w; c o s ( z 2 0,098531 ( 2 ) ( 4 ) Prüfe: H ( 1 ) - 1 ) + w ; 2 ( z + 1)21 0,999965 (1 - 0 , 1 5 8 3 8 4 ) ( 1 - 0 , 4 1 9 8 5 6 + 0 , 3 5 5 4 7 7 ) w'2(z + 0 2 [ ( i r + l ) z + wc - 11 [ ( I + wic2-2w1c c o s L ) z 2 + 2 ( w 1 e 2 - 1 ) z + 1 + /02 + c o s Aufgabe 1 8 : 23 0,5 0,1 z2+2 z + 1 w13(z +c (w;+ 1)z+w - 1 ( 1 L N 2 2. 2 " - 2 w c c o s - - ) z 2 + 2 ( w, 2 - 1 ) z + (1 + w.2 +2wc c o s 3 +=12 ) wc - 1 0 KHz c - I wr - 1 5 KHz 3 3 Die L e i s t u n g s v e r s t ä r k u n g d e s a n a l o g e n B u t t e r w o r t h - F i l t e r s : 2z • 1 z 0,383516 (z + 1) IN ( i = 0 1 2 11(z) [ ] 1 , 7 2 6 5 4 L 2,25441 2 z-0,273457 - 0,944272 z . ( 2 1( e ) 2 8 l 4 es ) + 0,8013 Die L e i s t u n g e v e r s t ä r k u n g d e s d i g i t a l e n B u t t e r w o r t h - F i l t e r s : 0,098531 (z+1) z - 0,158384 z2 + 2 z + I z2 - 0 , 4 1 8 8 5 6 z • 0 , 3 5 5 4 7 ITI(.1=1)12 . 2 , t a n w7,2 ) 2 8 +E ,tardc.ri/ i ( tan wcTi2tanwt/2)4 4 1 7 Anhang D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben 418 A n h a n g D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben 2 we Beide G l e i c h u n g e n s i n d j e t z t i n e i n e r F o r m , u m a i e e i n e m Computer f ü r d i e 0 , 5 . 1 RE2 4 1 c .• I 01.02-3) X. 3 G l . ( 1 2 -4) 9 Berechnung d e r L e i s t u n g s v e r s t ä r k u n g e n e i n z u g e b e n . D i e D i f f e r e n z e n i n d e n Werten r ü h r e n v o n d e r Ve r z e r r u n g d e r F r e q u e n z d u r c h d i e b i l i n e a r e T r a n s - 2 wr 0 , 1 formation h e r. 1 1+),2 Tr a n s f o r m a t i o n analog w' = c a n 1 ' ; = 0,32492 01.(12-34) wc w; " n wT = 0,50953 Für w < wc i s t w ' < w , w a s b e d e u t e t , d a ß d e r F i l t e r g e w i n n g r ö ß e r i s t . Für w > Wc i s t t o i > w , w a s b e d e u t e t , d a ß d e r F i l t e r g e w i n n k l e i n e r i s t . Für w w c N> 22"--°— 2,44 tos ; N . 3 ; G l . ( 1 2 -4) s o l l t e der Filtergewinn derselbe s e i n . Kaskaden- R e a l i s i e r u n g 0 1 . 0 2 - 4 6 ) b i s ( 1 2 - 4 8 ) . In d i e s e m B e i s p i e l w a r d i e L e i s t u n g s v e r s t ä r k u n g n i c h t s o n i e d r i g w i e s i e bei tor h ä t t e s e i n s o l l e n . D i e s r ü h r t d a h e r, d a ß N - 2 g e w ä h l t w u r d e , während man N 3 f ü r d i e gegebenen K o n s t a n t e n d e r A u f g a b e f ü r d a s a n a l o g e R2(z2 + 2 z + 1 ) H(z) H 1 ( z ) . 11 o d d ( z ) R F i l t e r h ä t t e w ä h l e n s o l l e n . W ä h l t man d i e t r a n s f o r m i e r t e n F r e q u e n z e n i n 2 komplexe P o l e (-I)3 tog(W;iwP wobei R 2 - 1 c/ N '3 2 4 9 2 0 ,w c • 2C 1- cn os ( ) - 0,5. a u s r e i c h t . D a h e r k a n n man v e r m u t e n , d a ß d i e R a n d - bedingungen b e i dem d i g i t a l e n F i l t e r e r f ü l l t s i n d , n i c h t j e d o c h b e i dem A n a l o g f i l t e r. 0,10557 ( z 2 + 2z a 1 ) 11(z) 0 , 2 4 5 2 ( z + 1) (1,4305 z 2 - 1 , 7 8 8 9 z + 0 , 7 8 0 6 5 ) 02055 (z - 0 , 5 0 9 5 ) 02452 it> Aufgabe 1 9 : 2 0 6991 Filter A 0 - 0— 2 0 0001, Ill(jwc)12 - 0 , 5 wr - 3 0 00011 IH(jwr)I2 0 , 1 T 1 0 nsec z + 1) ungerader P o l m i t N> so f i n d e t m a n , d a ß N ( [ ( I + R2 - 2RCI)z2 - 2(1 - R2)z + (1 + R2 + 211C1)] [ ( 1 + R ) z -(1 - R ) ] 11 038065 1 , 7 8 8 9 O 0:7)095 420 A n h a n g D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben A n Aufgabe 2 2 : h a n g D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben wobei s H - 2 i r • 1 0 4 • e i s ( u + 1 ) / 3 Aus A u f g a b e 2 f o l g t N - 3 . E b e n s o c - 1 , w c - 2 n - 1 0 4 . 51 5 2 5 3 5 4 5 5 - 1, , 2 1 6 Nur d i e 3 e r s t e n ( d i e j e n i g e n i n d e r l i n k e n H a l b e b e n e ) p f l e g t m a n b e i e i n e m F i l t e r z u b e n u t z e n . D i e P o l e am U r s p r u n g w e r d e n a u f s i c h s e l b s t a b g e b i l d e t . Für e i n T i e f p a ß - B u t t e r w o r t h - F i l t e r g i l t : H (s) n 4 5 6 (s - 5 1 ) ( s - 9 2 ) ( s - 5 3 ) ( 5 - 5 3 ) ( 5 - 5 5 ) ( 5 - s6) Aufgabe 2 3 : wobei s a m e j w ( 2 n + 3 - 1 ) / 2 . 3 n e I. S c h r i t t : B e s t i m m e das passende a n a l o g e H o c h p a ß f i l t e r. w e c jii(n+ 1)/3 2. S c h r i t t : B e n u t z e d i e b i l i n e a r e T r a n s f o r m a t i o n , u m e i n d i g i t a l e s F i l t e r zu e r h a l t e n . (nur d i e P o l e i n d e r l i n k e n H a l b e b e n e n - 1 , 2 , 3 w e r d e n i n W i r k l i c h k e i t benutzt). Um d i e s i n e i n H o c h p a f l - F i l t e r z u t r a n s f o r m i e r e n , b e n u t z e man d i e K o n v e r s i o n 1. S c h r i t t : A n s t e l l e v o n ide b e n u t z e man 2 s w c / s a tan wcT = 2 r tan • / 0 4 • 2 0 • 106 tan 0 , 2 7 0 , 7 3 2 Daher HH(s) H L ( m ! / s ) Die T i e f p a ß - L e i s t u n g s v e r s t a r k u n g i s t ( N - 3 ) si s m2 6 IHL(jm)I2 2 - si) a - (2-) f o l g t s6 Durch M u l t i p l i z i e r e n t e i l ( ! - ) I t u m,2 t (s - - S ) si (e0211 Die Tr a n s f o K m a t i o n i n e i n H o c h p a ß f i l t e r : s6 H11(s) 1 s6) w ( s 8 z s , (e 1 ) C 8 - -S) 6 IHN(ja)12 36 (s - ( 2 . 1 0 4 ) 2 ) :1 s ( s (2w • 1 0 4 ) 2 6 1 .2, 2 N 1.> w c ( 3 2 - 3 (1E) . 422 A n h a n g D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben Anhang D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben 2. S c h r i t t : F ü r d i e b i l i n e a r e T r a n s f o r m a t i o n g i l t : für H K - 1 2< k < 6 HK- 1H-(3012 - ' H A ( j t a n 21)12 423 sonst Siehe G l e i c h u n g ( 1 2 - 8 1 ) . wcT 2 N tan - I w ( tan 2 e -J NwT Fl(jw) 2 kS1 30 C O N T I N U E H2 -AleA.(11.S2e.S2) GO TO 5 0 40 H 2 1 . 50 I F (H2.LE.I E-4)H2al.E-4 H ( I ) . 1 0 eALOC 10(112) 10 C O N T I N U E NRITE(21,60)(U(I),H(I),>1,101) 0 FORMAT(2F) BND Zu Kapitel 13 Aufgabe 2 : +. I f 0 ( f ) df 4. - 02 = E [ f 2 ] - p ' , X x - f x X e f Je-, e d x -Xx d x I / X - 2 a 1/32 px 0 Aufgabe 3 : p511 11 -1 0 . . 2 10 0 Ug 1 1 / 2 1 b 0 •u3f+4 - 3 p f + 4 , 4 . 10 dB 2 ( b -a)2 f 1 2 3 2 2 2 0g " ( f a h l , - a f 0 20 -30 - 9 • 3 " 3. -40 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 30003 0 0 0 0 Frequenz H z 50000 - - e . Aufgabe 6 : 10 0 -112 f 1 10 a) 20 Y. A• -30 II inrs: 2 0 0 0 0 t e m b+a 7 (b- a ) 2 12 1 2 b - V 2 a b - a • I b+ b • 1 b - 1/2 40000 sonim Toetmenz 1 8 2 ] - - • • • Die A m p l i t u d e i s t g l e i c h I , d a d a s I n t e g r a l g l e i c h 1 i s t . 4 2 5 4 2 6 A n h a n g D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben Anhang D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben ; 2 7 Aufgabe 1 8 : Aufgabe 8 : N(0,4) 4 unbekonnle Funktion Mittel 0 ; Standardabweichung 4. Wa h r s c h e i n l i c h k e i t f ( t ) . 3 #fg ( r ) 1 - ( f O 2 / 2 o 2 N(u,o) • f f(t) g(t+r)dt Diese Form w i r d g e w ä h l t , w e i l d i e D e l t a - F u n k t i o n e n T r a n s i e n t e n s i n d . Man s e t z e f ( t ) d ( t ) . fg ( 1 ) - J 6(t) f(t+r)dt Man s e t z e g ( t ) 6 ( t ) fg f p(2,5 < f ( t ) < 3 , 5 ) - p ( f ( t ) < 3 , 5 ) - p ( f ( t ) < 2 , 5 ) . 3,5 I p(f)df 2,5 f(t) d(t+r)dt f- u Wie man v e r m u t e n k o n n t e , i s t d i e K r e u z - K o r r e l a t i o n e i n e r F u n k t i o n m i t d e m f -O — x ' 1• . 2,5 4• ' 3 , x 2 Nadelimpuls n u r d u r c h e i n e n W e r t d e r F u n k t i o n d e f i n i e r t . W e n n d e r N a d e l - 5 4 impuls um r E i n h e i t e n v e r s c h o b e n i s t , w i r d • f g z u dem W e r t d e r a n d e r e n Funktion b e i t 01 3,5 2 , 5 0 ( 4 - ) s i e h e Ta b e l l e . - T. I s t d e r Nadelimpuls n i c h t verschoben, w i r d + f i t ZO dem We r t d e r a n d e r e n F u n k t i o n h e i t • r. Aufgabe 1 9 : Aufgabe aul plAl 2 2 of 1/3 +. a 1 p f -• 0 a b e r u g . 1 + g(t) = f ( t ) + 1 für g a f t 1 • h u f + b p g + 1 . ug b a ) eff(r) E ( f f , Für T > 1 k a n n e i n g e g e b e n e r I m p u l s i n f n i c h t d e n s e l b e n I m p u l s i n f T Anhang 9: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben 4 2 8 A n h a n g D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben überlappen und d a h e r f o l g t , d a d i e I m p u l s a m p l i t u d e n unabhängig voneinander sind und das M i t t e l N u l l haben, f ü r I r l > 1 4 2 9 Aufgabe 2 1 : Die m i t t l e r e o d e r g e s a m t e L e i s t u n g i s t : [ f 2 ( t ) ] a v e r a g e - ' f f ( ° ) E(ffT) - E ( f ) E ( f r ) - 0 - 4i I s t I H c 1 , k o i n z i d i e r e n i d e n t i s c h e Impulse von f und f r über e i n J Pff(iw)dw Daher w i r d , w e n n e x x ( j w ) - p y y ( j w ) . kleineres I n t e r v a l l , 1 - I r l . I n der M i t t e dieses kleineren I n t e r v a l l e s i s t das Erwartungs-Produkt E ( f f y ) gerade g l e i c h E(A2), d . h . g l e i c h d e r ...(o) - oyy(o) Va r i a n z v o n A , d i e 1 / 3 i s t . D a h e r g i l t f ü r I t i < 1 Das f ü h r t z u E ( ff T ) - E(A2) - ( 1 - I r l ) • 1 / 3 o2 - o 2 x y Diagramm. 1/3 o2 f , s i e h e Ta b e l l e 1 3 , 1 Z e i l e 8 . 4 Dies b e d e u t e t a u c h d i e Annahme v o n p x . 0 . D a s e r k l ä r t e i c h d u r c h d i e Ta t s a c h e , d a ß e i n e Z u f a l l s f u n k t i o n m i t v o n N u l l v e r s c h i e d e n e m M i t t e l e i n e n 10 Off(r) . 1=1 1 periodischen A n t e i l i m Gleichstrom h a t . A b e r d i e s würde bedeuten, daß s e i n e A u t o k o r r e l a t i o n s f u n k t i o n n i c h t g l e i c h e i n e r Z u f a l l s f u n k t i o n m i t dem M i t t e l 7 (1 - 1=1) . 1T1 < 1 Null s e i n kann. Daher i s t ux - 0 . b) D a s L e i s t u n g s s p e k t r u m i s t d i e F o u r i e r - T r a n s f o r m i e r t e v o n e f f ( r ) . F ü r ein allgemeines D r e i e c k i s t d i e F o u r i e r - Tr a n s f o r m i e r t e Aufgabe 2 2 : bw sin - - 2 ab ( b w 2 ) a) F ü r e i n e Z u f a l l s - V a r i a t e g i l t 2 ^to +ff(t) - E[ffi] b Daher i s t : 0RR (T) E [ g g , ] Daher e r g i b t s i c h f ü r a - 1 / 3 . b - 1 - E R A f ( t ) 1 4 5 ) ( A f ( t s t ) 11 ) ] 1s i n 1 2 1 ein' 1 5 ri774 3 2W 4 4 2 . 2 w " n 3 w sE[A2f(t)f(t+t)1+EIBAf(t+t)] + E[Allf(t)]+E[B2] 1/3 - A2E[ff,]ya2 - A 2 A f f (t)41t2 4 3 0 A n h a n g D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben b) ( j w ) i s t das Leistungsspektrum von A f ( t ) d . h . A n v o n e i n e r Suimie h a n g D: Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben 4 Aufgabe 2 3 : von z w e i S i g n a l e n . D a s L e i s t u n g s s p e k t r u m k a n n d a n n d u r c h Summation über d a s L e i s t u n g s s p e k t r u m d e r z w e i Komponenten e r h a l t e n w e r d e n . Die A u t o k o r r e l a t i o n s f u n k t i o n i s t e i n e F a l t u n g i m Z e i t b e r e i c h . Diaära®. tAf(t)(jw) I ',etw(t)(r) e-jcür d' l -0/2 4 Af(t)Af(t)(T) E [Af(t) Af(t t ) a / 2 b - b / a 2 a n ] ab' AE E [ f ( t ) T ) ] -a 2 A Off(r) sAf(t)(-4)-*27 6ff(i) e-jwT dr Daher f o l g t d i e A u t o k o r r e l a t i o n s f u n k t i o n a l s e i n D r e i e c k m i t d e r B a s i s 2a u n d d e r Höhe a l 1 2 . D a s E n e r g i e s p e k t r u m i s t : I F ( j w ) I 2 Die F o u r i e r - T r a n s f o r m i e r t e e i n e s R e c h t e c k - I m p u l s e s i s t c A2 e f f ( j w ) 2AW ( sin w W w ) ßaa(jw) i s t d a s Leistungsspektrum e i n e s p e r i o d i s c h e n S i g n a l s ( G l e i c h s t r o m A i n d i e s e m F a l l e ) u n d man w i r d e i n e n e t w a s a n d e r e n Weg z u r Berechnung e i n schlagen. -w Zuerst: e B B ( T ) - BEB • B] - 2 S e t z t man d i e Größen a u n d b e i n , s o e r h ä l t man Die F o u r i e r - T r a n s f o r m i e r t e e i n e r K o n s t a n t e n i s t e i n e D e l t a - F u n k t i o n m i t einem B e t r a g , d e r d e r K o n s t a n t e n e n t s p r i c h t . D a h e r au F(jw) 2 b aBB(jw) B 2 6 ( w ) Schließlich: a awsin r ( ) 2 2 - a b - • 2 s i n raw _ 2 b a f n s i e BW 4 ( i w ) - A2 e f f ( i . ) 2 B 2 6(w) A l s o : I F ( J . w ) 1 .2 4 6 2 -7 s i n g w 2 3 1 Deutschsprachige Literatur zum Thema des Buches Index [ I ] K. Küpfrnüller, Die Systemtheorie der elektrischen Nachrichtenübertragung, Hirzel 1952, 1968 2] H. W. Schieer, Digitale Systeme zur Signalverarbeitung, Springer 1973 Abbildung von der z- in die s-Ebene 197-199 Abfallrate 242 Abrundungsfehler 105, 275-281 Abtastbreite, endliche 70-73, 95-100 Abtastfenster 70-71,96-97 Abtutintervall, Definition 17-18, 61-62 - als Fourier-Reihe 34-35 Abtastraum 285, 292, 294-295 Abtastsysteme 64-69, 96-97 Abtasttheorem 61-65, 81-82 Abtutwertesatz 16-18, 25-26, 60-61 - zerlegungen 107-108 ADC/ADW - siehe Analog-Digital-Wandlung Amplitudenantwort (siehe auch Leistungsverstärkung - , Beispiele 55-56, 142-147, 156-157, 165-166, 177-178, 191-192, 213-214, 216, 219-220,270 - , definierte 5 0 6 1 Amplitudenspektrum, Beispiele 77-78, 83-84, 124-128. 132-136, 338 - einer abgetasteten Funktion, definiert 78-79, 81-82 - einer kontinuierlichen Funktion, definiert 4445 - einer periodischen Funktion, definiert 4243 Analog-Digital-Wandlung (deutsch ADW, engl. ADC) 16-17, 68-73 Fehler hei der 69-73, 275-279 Analogfdter 50-51, 67-68, 73-74, 89-90. 237-251 - , verglichen mit digitalen 236, 255, 263 Anfangsbedingungen Null 315, 345 Anfangswerttheorem 190-191 Annäherungsproblem von Guillemin 2 3 7 238 Autokorrelation 298-306, 311-312, 320-323 3] W. Klein. Finite Systemtheorie, Teubner 1976 4] 0. Pö leger, Lineare Abtastsysteme, Oldenbourg 1974 51K. Kmschef Statistische Nachrichtentheorie; I Signalerkennung und Parameterschätzung 73, II Signalschätzung 74, Springer, Verlag 6] G. Wunsch. Systemanalyse; I Lineare Systeme 1969,11 Statistische Systemanalyse 1970, III Digitale Systeme 1971, Hirthits-Verlag Heidelberg 7] R. Unbehauen, Systemtheorie, Oldenbourg 1971 R1 I. Ackermann. Ablastregelung, Springer 1972 191 W. G. Schneeweiss, Zufallsprozesse in dynamischen Systemen, Springer 1974 1101 H. D. Ldke, Signalübertragung, Springer 1975 [11]A. Lacroix. Digitale Filter; Skriptum 1974/75 TH Darmstadt, Oldenbourg 1979 [121 I', Bocker, Datenübertragung; I Grundlagen 76, II Einrichtungen und Systeme 77, Springer-Verlag 113] H. Mark°. Methoden der Systemtheorie: Die Spektraltransformation und ihre Anwendungen, Springer 1977 1141K. Brummer; G. Siffling, Stochastische Grundlagen des Kalman-Bucy-Filters, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Zufallsprozesse. Oldenbourg 1975 1151P Henrici, Elemente der numerischen Analysis I , II, B. 1. Hochschultaschenbücher 551/552 (1972) 116] E. Stiefel, Einführung in die numerische Mathematik. Teubner 1976 117111. Kaufmann. Dynamische Vorgänge in linearen Systemen der Nachrichten- und Regelungstechnik. München: Verlag R. Oldenbourg 1959 1181 V. Stre/c, Synthese von Regelsystemen mit Prozeßrechnem. Prag: Verlag der Tschechoslowakischen Akademie der Wissenschaften. 1967 [191 W. Leonhard, Diskrete Regelsysteme. Mannheim: Bibliographisches Institut, Nr. 523/ 523 a, 1972 1201M. Thoma, Theorie linearer Regelsysteme. Braunschweig: Vieweg, 1973 1211 R. Isermann, Digitale Regelsysteme. Berlin: Springer-Verlag, 1977 122] R. ltermann. Prozeßidentitikation. Berlin: Springer-Verlag, 1974 Literatur zur Laptace-Transformation: 111 a Doetsch. Anleitung zum-praktischen Gebrauch der Laplace-Transformation. Oldenbourg 1956 21 G. Doetsch, Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation. Springer 1937 1 3 ] G. Doetsch. Handbuch der Laplace-Transformation 1. II, III. Birkhäuser 1950, 1955, 1956 141 R. Hersehet Die Laplace-Transformation und ihre Anwendung in der Regelungstechnik Oldenbourg 1955 Band paßfilter 50.51, 158, 260. 261, 272273, 313-314, 317-318, 343 Bandstopfilter 236, 260 Bartlett-Fenster 137 Begrenzer, Simulation 224-227, 229-230 bilineare Simulation 213-216, 250-251 bilin2e5aro-eT3ransformatMn 213-214, 216, 2 5 Bitumkehr, definierte 108-109 Bleekman-Tukey 316-317 Blockschaltbilder 52-53, 152-154, 169-175 Buttenvorth-Filter 237-242, 326-327, 339 - , Abfallrate 242 sf. - , digitale 252-253, 261, 339 - , Leistungsverstärkung 238-239, 253-254, 261-262, 343-344 - , Ordnung 238-239 - , Pole in der s-Ebene der 238-239 - , Pole in der z-Ebene der 2 6 4 - , serielle Form 256 Campbells Rekonstruktion 88-90 DAC (DAW) 17-18, 72-74 Datenfenster 127-128, 135-136, 137, 145146, 321-324 Deltafunktion, Definition 4 8 4 9 Demodulation, komplexe 317-318 Dezibel 237-238 DFT - siehe diskrete Fourier-Transformation Differentialgleichung 4 8 4 9 Differenzengleichung 167 differenzierendes Filter 156-157 Digital-Analog-Wandlung 17-18, 72-74 digitale Filter, Ordnung, definierte 238, 239 i n bezug auf den seriellen Entwurf 255.256,342 digitales Datenerfassungssystem 17-18 digitales Filtern - - als Produkt von FFTs 139-140 - A n a l o g i e zum kontinuierlichen Filtern 138 - B e i s p i e l e 1 4 8 , 185-186, 230-231. 275-276, 315, 345 - - , diskrete Faltung beim 139-140 - Entwurfsmethoden 155-156, 190-191, 205-206, 251-252, 272-273 - F e h l e r durch endliche Wortlänge 275281 - F O R T R A N -Entwurfssubroutinen 3 3 9 2 4 1 -,FORTRAN-Programme für 315, 345 - Realisierung - siehe Filterformen und Bandpaßfilter Butterworth-Filter Freiet nzabraslung Hochpaßfilter nichtrekursive Filter rekursive Filter Tiefpaßfilter Tsehebyscheff-Filter - - , über die bilineare Transformation 250-251 digitales Regelsystem 16-17, 69-70 Digitalisierung - siehe Analog-Digital-Wandlung direkte Realisierung 171-172, 279-280 diskrete Faltung siehe Faltung 434 I n d e x diskrete Filter - siehe digitale Filterung diskrete Fourier-Transformation 76-77 - - als eine Übertragungsfunktion 140141,163 - - bei des Faltung 1 3 0 - Beziehung zur Fourier-Transformation 76.77, 81-82 - - , Beziehung zur z-Transformation 150152 - O F T -Paar 79-80 - - , Eigenschaften der 77-78 - - einer Sinuswege 123-127 - P r o d u k t von DFTs 1 2 9 - - , Redundanz bei der 105 ,diskrete Frequenzen 79-80, 105, 266-267, 322-323 Durchlaßband, Definition 238-239 Echtzeitrechnung 16-17, 139-140. 163, 165-166,183.184 Eingänge, mehrfache 221-222 eingangsinvariante Simulationen 205-213, 225-226. 230-231 Eingangsmöglichkeiten 66-67 Einheitskreis 177 Einheitsmatrix, Definition 22-23 Einheitsnadelimpuls - siehe Nadelimpulsfunktionen Einheitsverzögerung - siehe Verzögerungselement Elementarfilter 270 elliptisches Filter 250-251 endliche Impulsantwort - siehe nichtrekursive Systeme Energie in einem Impuls 300-301. 302, 305306 Energiespektrum 4 5 4 6 , 302, 305-306 Entwurfsroutinen für digitale Filter 339 ergodische Eigenschaft 297 Erwartungswert - siehe Mittelwert exponentielle pdf 304 Faltung als Produkt von z-Transformierten 192-194 - , Annäherung an die kontinuierliche Faltung 130,194 - , diskrete 128-133 - i m Frequenzbereich 1 3 0 - i m Zeitbereich 129, 139-140 - , kontinuierliche 52-53, 130, 195, 211-212 Faltungsfrequenz 63-65, 81-82 Fehler durch endliche Wortlänge 275-281 Fehler, quadrierter 25-29, 297 Fehlergrenzen bei der Simulation 211-212, 233-234 Fehlermaße bei der Simulation 2 0 4 , 217 Fehlermodelle 204. 208. 209, 211-212, 278-279 I n Fenster - siehe Abtast-, Bartlett-, Daten-, Hamming-, Henning- und Rechteckfenster FFT - siehe schnelle Fourier-Transformation Filter, analoges - siehe Analogfilter - , digitales - siehe digitale Filterung - . Implementierung - siehe Filterformen - , Zusammenstellungen 271-275, 317-319 Filterformen 171-175, 279-280 - i n FORTRAN 315, 345 Filterung, allgemeine Definition 16-17, 138, 236 FORTRAN-Routinen 315, 336, 337-345 Fourier-Koeffizienten 34-37,42-43,64-65, 85-86, 140-141, 299-300, 303 Fourier-Reihe 32-37, 140-141 - , Beziehung zum Fourier-Integral 42-44 - für eine Impulsfolge, Rechteck welle usw. 39-40 - , Rekonstruktion 85-88 Fourier-Transformation 42-45,64-65, 338 - Beziehung zur DFT 76-77, 81-82 - . Beziehung zur Fourier-Reihe 42-44 - , Beziehung zur Leistung und Energie 302306 - , diskrete - siehe diskrete Fourier-Transformation - , inverse - siehe inverse Fourier-Transformation - , Konvergenz und andere Eigenschaften 44-45 - , reale 44-45, 77-78, 140-141 - , schnelle - siehe schnelle Fourier-Transformation - , Transformationspaar 43.44 Freiheitsgrade 31-32 Frequenz, diskrete 79-80, 105, 266-267, 322-323 - der spektralen Überschneidung, definierte 64-65 Frequenzabtastfilter 265-276 Frequenzband 317-318, 321-323 Frequenzbereich, Definition 4 2 4 3 - , Falten 63-64 Frequenzkomponente 42-43 Frequenztransfonnationen 258-264 Gaußsches Rauschen 290, 310 Gaußsche Variate und pdf 290 geometrische Reihe 2 1 gerade Funktionen 4 4 4 6 , 77.78, 298 Gibbssches Phänomen 1 4 4 Gitarrensaite, Tonverlauf 135-136 Gitarrensaitenkurre 135-136 Glätten 67-68, 73-74, 132-133, 142, 317318, 321-323 gleichmäßige Variate und pdf 288-289, 312314 d e globale Schätzungen 3 1 9 Grenzfrequenz 238-239 Grenzwerttheoreme 1 9 6 Grundfrequenz 32-33 Gruppe 294-296 Halten in erster Ordnung, Theorem 2 0 9 Halteoperation nullter Ordnung 73-74 - - T h e o r e m 208 Hamming-Fenster 135-136 Hanning-Fenster 128, 145-146, 321-323 - Spektrum 131-133 Harmonische 32.33 Hochpaßfilter 260,261, 344 hyperbolische Funktionen, Tafel 2 1 x 4 3 5 - Systeme 42-58 - - , Simulation - siehe Simulation Kosinus-Glocke - siehe Hanning-Fenster Korrelation 16-17, 297, 320 Kovarianz 293-295 Kreisfaltung - siehe periodische Faltung Laplace-Transformation 4 5 4 9 - Tafeln ftlr die 48-49, 328-334 Leistung, mittlere oder gesamte 300-301, 303, 305-306, 312-313 Leistungsdichte - siehe Leistungsspektrum Leistungsspektrum, Definition 303, 305-306 - , einseitig 3 2 0 - , geschätzt 316-324 - , positiv 319-320 - von weißem Rauschen 310-313 Impedanzfunktionen 49-50 - , zweiseitig 322-324 Impulsabtastungen 6142,66-67, 80-81, Leistungsverstärkung, analoge 238-239, 85-96 243-244 Impulsantwort - siehe auch Schrittfunktions- , Beziehungen zum Energiespektrum 3 0 2 antwort - , Definition 237-238 - digitale 146-147, 167, 274-275 - , digitale 253-254, 257, 261-262, 343-344 - , kontinuierliche 52-53 lineare Gleichungen 23-24 Impulsfolge, Fourier-Reihe einer 3 9 4 0 Differentialform 48-49 impulsinvariante Näherung (auch nadel- Differenzenform 1 6 7 impulsinvariante Näherung), (siehe auch - - i n kleinsten Quadraten 27-28 Näherung nullter Ordnung) 190-193, lineares System, Definition 48-49, 138 198,201, 206-207, 212-213 lokale Schätzungen 3 1 9 inneres Produkt 3 0 instabiles Verhalten - siehe StabilitätsMatrix-Algebra 22-23, 27-28, 117-120 kriterien minimaler quadrierter Fehler 28-29 Instabilität - siehe Stabilitätskriterien Mittelwert 286-289, 291, 317-318 Integrationsschaltung 18-19 - , Abweichung vom 286-287 Integrator, digitaler 18-19, 225.226 - , sich bewegender 142 Interpolation - siehe Rekonstruktion mittlerer quadrierter Fehler - siehe Fehler, invariante Simulationen 205-213, 226-227, quadrierter 229-230 mittleres verschobenes Produkt 3 2 0 inverse DFT 78-80 Modellierung - siehe Simulation inverse Fourier-Transformation 43-44, 64-65 inverse Lsplace-Transformation 46-47 Nachziehfehler bei der A-D-Wandlung 70-71 inverse z-Transformation 169-170, 179 Nadelimpulsfunktion. Definition (siehe auch Nadelimpulsabteslungen) 48-49, 148-149 Jitter-Fehler bei der A-D-Wandlung 70-71, nadelimpubinvariante Näherung 190-193, 97-98 198, 201, 206-207, 212-213 Näherung der kleinsten Quadrate 25-29, Kammfilter 317-319 140-141, 297 Kardinalfunktion 89-93 - nullter Ordnung, angepaßte (siehe auch Koeffizienten der Näherung der kleinsten impultinvariante Näherung) 213-214, Quadrate 27-28, 31-32, 36-37 216,226-227 - Digitalfilter: Rechenroutinen für 339-342 - a n das Fourier-Integral 76-77 - - definierte 139-140, 162-163, 265-266 - - a n das System erster Ordnung - , Fehler infolge der endlichen Länge 2 7 7 190-191. 201, 213-214 280 ! - - a n das System zweiter Ordnung - Fourier- siehe Fourier-Koeffizienten 198.201 komplexe Demodulation 317-318 - an die Filterkoeffizienten 1 5 4 komplexe Produkte bei der DFT und der FFT - a n die kontinuierliche Faltung 105.111-112.119-12(1 IF130, 191 kontinuierliche Ablast esreine 64-69.96-97 - - • - , - a n die kontinuierliche Übertra- Filter 237-251 gungsfunktion 190-191 436 I n d e x nichtlineare Elemente 224-225 - Systeme 220-231 nichtrekursive Systeme 138 - Algorithmus für 139-140 - - als Produkt von FFTs 139-140 - Impulsantwort 146-147 - Schaltbilder 152-154 - Syntheseverfahren 140-141, 155-156 -, Tiefpaß 146.147 - Übertragungsfunktion 140-141, 152153 Nullstellen, Definition 54-55, 175-176 Nyquist-Frequenz 6 4 4 5 Oktave 242 Orthogonalität 30-32, 34-35, 127,297 Oszillation - siehe Stabilitätskriterien parallele Realisierung 173-175, 279-180 Partialbruchzerlegung 167, 169-170, 174-175 pdf, Definition 285-287 - multivariat 2 9 2 - , normal 290 periodische Faltung 129-130 - Funktion 32-33, 85-86 - S p e k t r u m 123-126, 303, 305-306 periodischer Inhalt. Prüfung auf 299-300 periodische Übertragungsfunktion 140-141. 163 Phasenverschiebung. Beispiele 55-56. 177178.241 - , Definition 50-51 - lineare 179-186 - Null 143-147, 179-185 Pol. Definition 54-55, 175-176 Pol-Nullstellen-Diagramme 54-58, 174.178, 197-200 - - B u t t e r w o r t h 239-241.264 - Ts c h e h y s c h e f f 247. 249, 258-259 Polynom der Näherung der kleinsten Quadrate 26-27 Produkt-Abrundungsfehler 277, 281 Produkt. komplexes - siehe komplexe Produkte - von Simulationen 221-222 . Tratnformat ion s i e h e Faltung Quancisierungsfelder 69-70.275-279 Radar-Echo-Impuls 132-133 rumseninvariante Simulation 209-212, 216 rationale Funktion, Definition 50-51 RC-Integrationsglied 18-19, 201 Realisierung - siehe Filterformen; siehe auch Bandpaß-. Buttcrworth-. Frequenzabtast-. Hochpaß-, nichtrekursive. rekursive. Tiefpaß- und Tsehehyscheff-Filter Reclienroutinen 3 1 5 . 336. 337-338. 339-345 rechieck ige Dichtefunktion 288-289 Index Rechteckfenster 127, 132-133 Rechteckimpuls, Spektrum 58-59, 77-78 Rechteckwelle, Fourierreihe für 39-40 reelle Fourier-Transformation 4445,77-78, 140-141 Regelsystem, digitales 16.17, 69-70, 226227, 229-230 - , Simulation 220-231 Rekonstruktion 85-93, 267-268 - des Zeitverlaufs 73-74,8543 Rekonstruktionsfilter 90-91, 93 rekursive Systeme (siehe auch Simulation) 139-140, 162, 250251, 265-266 - - , Algorithmus für 162 - Impulsantwort 167 - - , Schaltbilder 169-175 - Übertragungsfunktion 163-165 Ripple - siehe Tschebyscheff-Filter Rückkopplungssystem, definiert 52-53. 174-176 schnelle Fourier-Transformation 105 - - bei der Faltung 130, 139-140 - - bei der nichtrekursiven Filterung 139140 - - durch Benutzung von Frequenzzerle- • gungen 113-114 - - durch Benutzung der Zeitzerlegung 110 - - durch Matrix-Faktorisierung 117-120 - - einer Sinuswelle 126 - - Einsparungen durch 111-113 - - FORTRANSubroutine 336 - - i n der Praxis 119-120 - - Prüfprogramm 337-338 - - Signalflußdiagramme 110-116 - - Wirkung des Hanning-Verfahrens auf 128, 131 Schrittfunktionsantwort, digitale 168-169. 192-193. 230-232 schrittinvariante Simulation 206-208. 221222, 225-231 Schwellenelement, Simulation 224.225 s-Ebenen-Diagramme 54.55, 197-198, 239241. 247. 249 seismische Kurve 1 3 4 serielle Realisierung 173.175. 256. 279-280. 313-314. 339 Signalanalysis. Definition 1 5 Signalflußdiagramme 110.116 Signalraum 31-32 Simulation 2 0 3 - , bilineare 213-216, 250-251 - eines Produktes von Übertragungsfunktionen 221 -. eingangsinvariante 205-213, 225-231 • . Fehlergrenzen 211-212,233-234 -. Fehlermaße 204.217 . Fehlermodelle 204. 208, 209. 211-212 •. Klassen der 205.206 - rampeninvariante 209-212, 216 Simulation, Rolle in der Systemtheorie 203 - , schrittinvariante 206-208, 221-222, 225231 - , Theoreme 208, 209 - , Vergleiche 216-221 - von geschlossenen Regelsystemen 223231 - von nichtlinearen Elementen 224-225 - von nichtlinearen Systemen 230-231 Speicheranforderungen für digitale Systeme 171, 272-273 - für FFT 119-120 Speicherelement, digitales 171 spektrale Schätzung 316-324 - Autokorrelationsmethode 320323 - F F T- M e t h o d e 322-324 - Kammfdtermethode 319-320 spektrale Überschneidung 79-85, 86-87, 94, 132-133, 205-206, 310 - S c h ä t z u n g 81-84 spektrale Verkürzung, Auswirkung 93-96 Spektralverbreiterung (Lecken), Verminderung 127-128,317-318 Spektrum, Definition (siehe auch Amplitudensoekrim, Fourier-Transformation, Leistungsspektrum) 4 2 4 4 Sperrband, Definition 238, 239 Sperrbereichsfrequenz 238-239 Sprachkurven 135 Stabilitätskriterien 55-58, 177-178 Standardabweichung 286-287, 290, 291 Subroutinen, FORTRAN 3 3 6 , 339-342 Substitutionsmethode 231-214 Theorem der linearen Phasenverschiebung 182-183 Tiefpaßfilter, analoges 50-51, 73-74,89-90, 237-251 - , digitales 143-147, 252.259, 342 - , Umwandlung in ein Hochpaßfilter usw. 260 Transformationstabellen 4 8 4 9 , 180-181. 328-334 Trends, Beseitigung langsamer Änderungen 317-318 Triggerelement, Simulation 224-225 trigonometrische Formeln, Tabelle 2 0 Truzal, J, G. 297 Tschebyscheff-Filter 242-249 - digitale 256-259 - Leistungsverstärkung 243-244, 257 - , Ordnung 244-245 - , Pole in der s-Ebene 245-249 - , Pole in der z-Ebene 257-259 4 3 7 Tschebyscheff-Polynom 242-244 --, geschlossener Ausdruck für das 244-245 Tustnudle Näherung 215, 216 Übertragungsfunktionen, beteiligt bei der Simulation (siehe auch Simulation) 2 0 4 - , digitale 139-143, 152-153, 163-165 - , kontinuierliche 48-53 ungerade Funktion 44-45, 77-78 Varianz 286.289, 303, 311-313 Variate, unabhängige 293-294 Vektor, Definition 22-23 verbundene pdf 292 Verschiebefenster 321-322 Verschiebetheorem 4 8 4 9 , 77-78, 165-166, 171, 182-183 verschobenes Produkt 3 2 9 Verstärkung - siehe Amplitudenantwort, Leistungsverstärkung Vertrauensbereich 316-318 Verzögerungselement 152-153, 171 Wahrscheinlichkeitsfunktionen 285-287, 292 riehe auch exponentielle, Gaußsche, gleichmäßige pdf Wandler 16-17 Weißes Rauschen 309-313 - gleichmäßiges 3 1 0 Whittaker, E. T. 64-65, 89-90, 267-268 Whittakersche Rekonstruktion 89-93, 267268 Wickeln des Frequenzbereichs 215. 251-252 Wurzelortdiagramm 199-200 z-Ebenen-Diagramme 174-178.197.200, 258-259, 264 zeit invariantes lineares System 4 8 4 9 Zeitkonstante 18-19 Zeitschritt - siehe Abiastintervall Zeitumkehr 183-184 Zerlegung des Abtastwertesaizes 107-110 der Übertragungsfunktion 52-53, 173174. 255. 279-280 z-Transformation 150-153 - , Beziehung zur DFT 150-152 - des umgekehrten Ablastwertesatzes 183184 - , inverse 169-170, 179 - , Tabellen 180-181, 328-334 z-Übertragungsfunktion 151-153, 164-165 Zufallsfolgen-Erzeugung 312-315 Zufallsfunktionen 285 - stationäre 296, 299-300, 315, 317-319